TD 2 : Espaces affines généraux
publicité
Université de Caen UFR Sciences Licence 3 de Mathématiques Année 2010-2011 Géométrie Feuille d’exercices n˚2 → − − → − → Exercice 1 : Soit E un espace affine. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E et soient A et B deux points de E. Montrer que − → → − → − − → −−→ − → (A, F ) ⊂ (B, G ) ⇐⇒ ( F ⊂ G et AB ∈ G ). Exercice 2 : À partir des axiomes des espaces affines, redémontrer la relation de Chasles. Exercice 3 : 1. Montrer que l’ensemble des fonctions f : C → C telles quef (i) = 3 est un sous-espace affine des fonctions de C dans C. Donner sa dimension et sa direction ? 2. Montrer que l’ensemble des fonctions f : R → R telles que pour tout x dans R, on a f (x + 1) = f (x) + 1 est un sous-espace affine des fonctions de R dans R. Déterminer un point et sa direction. 3. Montrer que l’ensemble des solutions de l’équation différentielle ordinaire f ′′ (x) + f ′ (x) + f (x) = sin(x) dans l’ensemble des fonctions de R dans R, est un espace affine dont on donnera une direction. Exercice 4 : Soit E un espace affine sur R. Soient A et B deux points de E. −−→ −−→ 1. Montrer que A ⊎ 21 AB = B ⊎ 21 BA. On appelle I ce point. −−→ −−→ − → 2. Montrer que I est l’unique point M de E tel que AM + BM = 0 . Exercice 5 : :Soit E un espace affine. Soit X et Y deux parties de E. 1. Montrer que si X ⊂ Y alors Af f (X) ⊂ Af f (Y ). 2. Donner un contre-exemple à la réciproque. 3. Montrer que X est un sous-espace affine si et seulement si Af f (X) = X Exercice 6 : Soit E un espace affine et Y une partie de E. Montrer que Y est un sous-espace affine si et seulement si toute droite de E contenant deux points de Y est incluse dans Y . Exercice 7 : Soit E un espace affine. On considère trois points A, B et C de E. → − −−→ 1. Montrer que l’application f de E dans E qui à M dans E associe le vecteur f (M ) = 5M A − −−→ −−→ 7M B + 2M C est constante. 2. Montrer plus généralement que si a, b et c sont des scalaires tels que a+ b + c = 0 alors l’application → − −−→ −−→ −−→ f de E dans E qui à M associe f (M ) = aM A + bM B + cM C est constante. Exercice 8 : Soient E un espace affine et A, B, C, D quatre points de E. On rappelle que ABCD −−→ −−→ est un parallélogramme si par définition, on a AB = DC. Montrer l’équivalence entre les trois assertions suivantes : i) ABCD forme un parallélogramme. ii) BCDA forme un parallélogramme. iii) Le milieu de A et C est égal à celui de B et D Exercice 9 : (Théorème de Varignon) Soit E un espace affine. Soient A, B, C, D quatre points de E. On note I le milieu de A et de B, J le milieu de B et de C, K le milieu de C et de D et L le milieu de D et A. Montrer que IJKL est un parallélograme
