TD 2 : Espaces affines généraux

Universit´e de Caen Licence 3 de Math´ematiques
UFR Sciences Ann´ee 2010-2011
G´eom´etrie
Feuille d’exercices n˚2
Exercice 1 : Soit E un espace affine. Soient −→ Fet −→ Gdeux sous-espaces vectoriels de −→ Eet soient
A et B deux points de E. Montrer que
(A, −→ F)⊂(B, −→ G)⇐⇒ (−→ F⊂
−→
Get −−→ AB ∈
−→
G).
Exercice 2 : ` A partir des axiomes des espaces affines, red´emontrer la relation de Chasles.
Exercice 3 :
1. Montrer que l’ensemble des fonctions f:C→Ctelles quef(i) = 3 est un sous-espace affine des
fonctions de Cdans C. Donner sa dimension et sa direction ?
2. Montrer que l’ensemble des fonctions f:R→Rtelles que pour tout xdans R, on a f(x+ 1) =
f(x) + 1 est un sous-espace affine des fonctions de R dans R. D´eterminer un point et sa direction.
3. Montrer que l’ensemble des solutions de l’´equation diff´erentielle ordinaire
f′′ (x) + f′(x) + f(x) = sin(x)
dans l’ensemble des fonctions de Rdans R, est un espace affine dont on donnera une direction.
Exercice 4 : Soit E un espace affine sur R. Soient Aet Bdeux points de E.
1. Montrer que A⊎1
2
−−→
AB =B⊎1
2
−−→
BA. On appelle Ice point.
2. Montrer que Iest l’unique point Mde Etel que −−→ AM +−−→ BM =−→ 0 .
Exercice 5 : :Soit Eun espace affine. Soit Xet Ydeux parties de E.
1. Montrer que si X⊂Yalors Af f(X)⊂Aff(Y).
2. Donner un contre-exemple `a la r´eciproque.
3. Montrer que Xest un sous-espace affine si et seulement si Aff(X) = X
Exercice 6 : Soit Eun espace affine et Yune partie de E. Montrer que Yest un sous-espace
affine si et seulement si toute droite de Econtenant deux points de Yest incluse dans Y.
Exercice 7 : Soit Eun espace affine. On consid`ere trois points A,Bet Cde E.
1. Montrer que l’application fde Edans −→ Equi `a Mdans Eassocie le vecteur f(M) = 5−−→ MA −
7−−→
MB + 2−−→
MC est constante.
2. Montrer plus g´en´eralement que si a,bet csont des scalaires tels que a+b+c= 0 alors l’application
fde Edans −→ Equi `a Massocie f(M) = a−−→ MA +b−−→ MB +c−−→ MC est constante.
Exercice 8 : Soient Eun espace affine et A,B,C,Dquatre points de E. On rappelle que ABCD
est un parall´elogramme si par d´efinition, on a −−→ AB =−−→ DC. Montrer l’´equivalence entre les trois
assertions suivantes :
i) ABCD forme un parall´elogramme.
ii) BCDA forme un parall´elogramme.
iii) Le milieu de Aet Cest ´egal `a celui de Bet D
Exercice 9 : (Th´eor`eme de Varignon)
Soit Eun espace affine. Soient A,B,C,Dquatre points de E. On note Ile milieu de Aet de B,
Jle milieu de Bet de C,Kle milieu de Cet de Det Lle milieu de Det A.
Montrer que IJKL est un parall´elograme