Géométrie analytique - Sébastien Godillon

Feuille de TD no13
Géométrie analytique
Exercice 1
Soient A,Bet Ctrois points distincts du plan affine. On note Ile milieu de [BC]et H
le projeté orthogonal de Asur (BC). Montrer les égalités suivantes :
AB2+AC2= 2AI2+ 2BI2(1)
−−→
AB.−→ AC =AI2−BI2(2)
|AB2−AC2|= 2BC ×IH. (3)
Plus généralement, si Jest un point de ]BC[montrer que :
AB2+λAC2= (1 + λ)AJ2+1 + 1
λBJ 2où λ=BJ CJ .(4)
Exercice 2
On considère un triangle du plan affine dont on désigne par a,bet cles longueurs des
côtés, et par α,βet γles mesures de leurs angles opposés respectifs.
1. Démontrer que a2=b2+c2−2bc cos(α)et trouver deux autres formules similaires.
2. Calculer α,βet γsi a= 2,b= 3 et c= 4.
3. Calculer csi a= 2,b= 3 et α=π
6.
Exercice 3
1. Montrer que ∀(−→ u , −→ v)∈(R2)2,−→ u⊥−→ v⇐⇒ k−→ u+−→ vk=k−→ u−−→ vk.
2. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu’un parallélogramme soit
un rectangle.
Exercice 4
Soit ABC un triangle du plan affine.
1. Démontrer pour tout point Mdu plan affine que :
−−→
MA.−−→ BC +−−→ MB.−→ CA +−−→ MC.−−→ AB = 0.
2. On note Hl’intersection des hauteurs issues de Aet B. Déduire du résultat pré-
cédent que Happartient à la hauteur issue de C.
Exercice 5
Soit −→ w=α
βun vecteur non nul du plan euclidien R2.
1. Déterminer tous les scalaires λ∈Rtel que le vecteur −→ u=λ−→ wsoit de norme 1.
2. Déterminer tous les vecteurs −→ v∈R2tels que (−→ u , −→ v)forme une base orthonormée
du plan euclidien R2.
3. On pose :
λ=1
pα2+β2et −→
v=1
pα2+β2−β
α.
Soit M(a, b)un plan du plan affine (muni de la base canonique). Déterminer les
coordonnées de Mdans la base (−→ u , −→ v).
Exercice 6
On considère les vecteurs suivants de l’espace euclidien :
−→
u=
1
−2
3
,−→
v=
−1
1
1
et −→
w=
0
1
−1
.
1. Montrer que −→ u,−→ vet −→ wne sont pas coplanaires.
2. On considère le point Ade l’espace affine de coordonnées A(−1,3,2) dans la base
canonique. Déterminer les coordonnées de Adans la base (−→ u , −→ v , −→ w).
3. Plus généralement, déterminer les coordonnées dans la base (−→ u , −→ v , −→ w)de tout
point Mde l’espace affine de coordonnées M(a, b, c)dans la base canonique.
Exercice 7
On considère les points du plan affine de coordonnées A(−1,1),B(3,−3) et C(5,−1).
Calculer les coordonnées du barycentre du système ((A, 1),(B, −2),(C, 3)).
Exercice 8
Soit ABC un triangle équilatéral du plan affine. On note Ile milieu de [BC]et Hle
projeté orthogonal de Isur (AB).
1) Montrer que Hest le barycentre du système ((A, 1),(B, 3)).
2) Montrer que le barycentre du système ((A, 1),(B, 5),(C, 2)) est le milieu de [IH].
Exercice 9
1. Déterminer le centre et le rayon du cercle C1d’équation cartésienne :
x2+y2−8x+y+ 10 = 0.
2. Déterminer l’équation cartésienne du cercle C2de diamètre [AB]où les points A
et Bont pour coordonnées A(3,1) et B(7,−1).
3. Déterminer C1∩ C2.
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 1 sur 2 Sébastien Godillon

Exercice 10
Déterminer en fonction du paramètre m∈Rl’ensemble des points du plan affine vérifiant
l’équation cartésienne x2−2mx +y2+ 2y+ 5 = 0.
Exercice 11
Soient A,B,Cet Dquatre points de l’espace affine. Déterminer en fonction du para-
mètre m∈Rl’ensemble Emdes points Mtels que (−−→ MA +−−→ MB +−−→ MC).−−→ MD = 3m.
Exercice 12
On considère les points de l’espace affine de coordonnées A(1,2,−1) et B(−2,4,0).
1. Déterminer une représentation paramétrique et une représentation cartésienne de
la droite (AB).
2. Déterminer en fonction du paramètre m∈Rl’intersection de (AB)avec la droite
Dmde représentation paramétrique suivante :
x=s+ 3
y=−2s+ 2
z= 2s+m
, s ∈R.
Exercice 13
Dans l’espace affine, on considère le point de coordonnées M(1,1,1) et la droite Dde
représentation cartésienne suivante :
x+y+ 1 = 0
y+z+ 1 = 0 .
Déterminer une représentation paramétrique et une équation cartésienne du plan conte-
nant Met D.
Exercice 14
Dans le plan affine, on considère les points de coordonnées A(2,1),B(3,2) et C(6,−2).
Déterminer les coordonnées de l’orthocentre de ABC.
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 2 sur 2 Sébastien Godillon