Chap 21 puissance de 10

LES PUISSANCES DE 10
écrire le titre après l'intro
I Introduction :
Un nouveau virus informatique est détecté ; il se nomme « Puis Sens Disse », nom de code : PS10. Ce virus
envahit un secteur du disque dur et le rend inutilisable. Au bout d’une heure, PS10 a infecté dix nouveaux
secteurs, et ainsi de suite : durant chaque heure suivante, chaque secteur contamine dix nouveaux secteurs sains.
1) Combien de secteur sont contaminés :
durant la 2ème heure ? …10 × 10 ………=…100… = 102…
Au secours ….
durant la 3ème heure ? …10 × 10 × 10……=…1 000… = 103…
durant la 5ème heure ? …10 × 10 × 10 × 10 × 10 =100 000 = 105
Rajouter la notation en
puissance
2) L’ordinateur est contaminé depuis 8 heures. Sur l’écran, on peut lire : «108 secteurs détruits durant la 8ème
heure». Pourquoi a-t-on cette notation 108 ? …10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 108……………
Donne l’écriture décimale de ce nombre : 108 = …100 000 000…………………………
3) Cent mille millions de secteurs viennent d’être contaminés. Quel message peut-on lire à l’écran ?
100 000 000 000 = 1011
« 1011 secteurs détruits durant la 11ème heure »……
4) Grâce à un antivirus « TuMaT », PS10 devient moins virulent. Il infecte 10 fois moins de secteurs d’heure
en heure. Complète la suite suivante :
÷ 10
÷ 10
÷ 10
÷ 10
÷ 10
÷ 10
1 000
100
103
10
102
101
1
0,1
0,01
0,001
100
1
1
= 1
10 10
10−1
1
1
= 2
100 10
10−2
1
1
= 3
1 000 10
10−3
II Définitions :
Soit n un entier positif :
10n = 10 × 10 × … × 10 = 1 0…….0
n facteurs
(104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000)
n zéros
n chiffres après la virgule
10 − n = 0,0…..0 1.
(10 − 3 = 0,001)
n zéros
Remarques :
1) 10 3 × 10 – 3 = 1 donc 10 3 et 10 – 3 sont des nombres inverses
2) Sur ma calculatrice pour obtenir 10−5, j’utilise la touche puissance déjà vu au chapitre sur les puissances.
Avec la texas instruments on tape la séquence suivante
Avec la casio on tape la séquence suivante
10
x
10
^
-
5
5
)
=
EXE
Avec la casio , si le résultat n’est pas décimal mais scientifique, il faut passer en mode normal 2 , met la notation scientifique qu’à partir de 10-9 .
Avec ta calculatrice qui n’est ni une casio ni une texas instrument tu tapes :
faire sur des exemples 105 = …. et 10−4 = ….
10 6 : million
10 12 : billion
10 18 : trillion
On lit les nombres par tranches de six chiffres :
7 358 957 281 000 se lit 7 billions 358 957 millions 281 000 unités
10 24 : quatrillion
Puissance de 10
Préfixe
Abréviation
1
déca
da
2
hecto
h
3
kilo
k
6
méga
M
9
giga
G
12
téra
T
15
peta
P
18
exa
E
21
zetta
Z
24
yotta
Y
Puissance de 10
Préfixe
Abréviation
–1
déci
d
–2
centi
c
–3
milli
m
–6
micro
µ
–9
nano
n
– 12
pico
p
– 15
femto
f
– 18
atto
a
– 21
zepto
z
– 24
yocto
y
III Opérations sur les puissances de 10 :
1) Introduction :
Puissance de puissance
Division
Multiplication
8
3
7
10
100
000
000
(103)2 = 103 × 103
10 × 10
= 1 000 × 10 000 000
=
5
10
100 000
= 1 000 × 1 000
= 10 000 000 000
10
=
1
000
=
1 000 000
= 10
3
= 10
= 106
Faire remarquer que l’on retrouve des propriétés déjà vues au chapitre sur les puissances
2) Propriétés ( admise) :
Propriété 1 : soient a un nombre relatif non nul, n et p deux entiers relatifs :
10n × 10p = 10n+p (103 × 102 = 105)
Propriété 2 : soient a un nombre relatif non nul, n et p deux entiers relatifs :
10n
n−p
p = 10
10
105
=105−2=103)
102
Propriété 3 : soient a et b deux nombres relatifs non nuls, et n et p deux entiers relatifs :
(10p)n = 10 p × n
(
(103)7 = 103 × 7 = 1021)
IV Multiplication d'un nombre par une puissance de 10 :
1) Introduction :
Dans l’écriture décimale d’un nombre, chaque chiffre correspond à une puissance de 10. Par exemple :
milliers
4
centaines
7
dizaines
5
Unités
2
= 4 × 1 000 + 7 × 100. + 5 × 10 + 2 × 1…..
= 4 × 103 + 7 × 102 + 5 × 101 + 2 × 100
le 4 est suivi de 3 chiffres donc 10 puissance 3
a) Indique les puissances de 10 qui correspondent aux chiffres repérés par des flèches :
103
102
101
100
3 956 000 000
106
109
Complète :
105
100
Commencer par compléter le 6
, il est suivi de 6 chiffres
3 956 000 000 = 3 956 × …1 000 000……………. = 3 956 × …106…
3 956 000 000 = 395,6 × …10 000 000…………. = 395,6 × …107……
3 956 000 000 = 3,956 × …1 000 000 000………. = 3,956 × …109……
b) On étudie le nombre
0 , 0 0 0 0 0 5 2 1.
10−6
10−8
= 5,21 × …10−6 ……
= 521 × …10−8……
le 5 est situé 6 chiffres après la virgule
le 5 est précédé de 6 chiffres
2) Exercices types :
Ecris chacun des nombres soulignés, en utilisant une puissance de dix.
a) Trois millions de cheveux recouvrent notre crâne depuis notre naissance jusqu’à notre mort
3 millions = 3 suivi de 6 zéros donc 106
3 000 000 = 3 × 106
b) Quatorze mille millions de neurones se déchaînent perpétuellement dans notre cerveau
14 000 000 000 = 14 × 109
c) Un micro-ordinateur exécute une instruction de son programme en 0,000 000 003 seconde
0,000 000 003 = 3 × 10−9
= 3 est le 9ème chiffre après la virgule donc 10−9 ème
3 chiffre après la virgule
d) Certaines feuilles de papier pèsent 0,013 g. 0,013 = 13 × 10−3 = 3 est le
donc 10−3
×
×
−
-
Pour chacune des phrases suivantes, écris le nombre souligné, sous forme décimale.
5
e) La lumière se propage a environ 3 × 10 kilomètres par seconde = 300 000 = 3 est suivi de 5 chiffres
8
f) La distance en kilomètres qui sépare le Soleil de la Terre est 1,5 × 10 = 150 000 000
= 1 est suivi de 8 chiffres et on place dans ses 8 chiffres, le 5
−3
g) Les plus grosses cellules (rondes) dans la moelle osseuse ont un diamètre de 210 × 10 mm = 0,210
= dans 210 , le 0 est le 3ème chiffre après la virgule
h) Le virus le plus petit mesure 7 × 10
−6
mm de diamètre. =0,000 007
= 7 est le 6ème chiffre après la virgule
V Notation ou écriture scientifique :
1) Usage de la calculatrice :
Il existe sur les calculatrices une autre touche pour les puissances de 10
A la calculatrice, tu vas taper 5 × 104 en appuyant sur les touches :
5 ×10x 4
tu obtiens : ………………………………
Avec ta calculatrice qui n’est ni une casio ni une texas instrument
tu tapes :
Tape les nombres suivants, exécute et écris le résultat obtenu :
894,56 × 108
= ……………………………………
500 000 000 000
= ……………………………………
125,8 × 10−12
= ……………………………………
On remarque que tu obtiens 1 chiffre avant la virgule suivi d’une puissance de 10.
5 × 1011 est l’écriture scientifique de 500 000 000 000
1,258 × 10−10 est l’écriture scientifique de 125,8 × 10−12
2) Définition :
p
L'
écriture scientifique d'
un nombre décimal est la seule écriture de la forme a × 10 , c’est à dire le produit
d'
un nombre décimal a ayant un seul chiffre, non nul (autre que 0), avant la virgule par une puissance de 10.
!
!
$
"
#
"
×
$
"
×
×
"
3) Exercices types :
T = 40 000
Y = 0,000 02
= 4 × 104
= 2 × 10−5
A = 791 × 105
A = 7,91 × 10² × 105
A = 7,91 × 107
Ecriture scientifique
A = 79 100 000
Ecriture en nombre entier
M = 350 × 10-5
−
P = 4 150
= 4,15 × 103
150 × 103 × 8 × 105
B=
6 × 107
150 × 8
103 × 105
B=
×
6
107
B = 200 ×
101
B = 2 × 10² × 101
B = 2 × 103 Ecriture scientifique
B = 2 000 Ecriture entière
M = 3,5 ×10² ×10-5
×
−
E = 0,0053
= 5,3 × 10−3
S = 402,78
= 4,0278 × 102
103 × 105
107
108
10−7
7
10
M = 3,5 × 10-3 écriture scientifique
M = 0,0035 écriture décimale
4) Thèmes de convergence :
Physique :En astronomie, pour exprimer les distances entre les planètes du système solaire, on utilise une unité
de longueur notée U.A. (unité astronomique) voisine de la distance Terre-Soleil. 1 U.A. 149 600 000 km.
Donne sa notation scientifique. 149 600 000 km = 1,496 × 108 km
L’année lumière (a.l.) est la distance parcourue en un an par la lumière dans le vide. 1 a.l.≈ 9 460 milliards de
km. Donne sa notation scientifique. 9 460 milliards de km = 9 460 000 000 000 = 9,46 × 1012
SVT :
Les plus petits animaux unicellulaires ont un diamètre d’environ 0,000 002 m. Donne sa notation scientifique.
0,000 002 m = 2 × 10−6
VI Ordre de grandeur :
Le diamètre de la Lune mesure environ DL = 3 500 km, celui de la Terre DT = 12 700 km, celui du Soleil
DS = 1 390 000 km et celui d’un globule rouge est DG = 0,000 000 006 58 km.
1) Donne l’écriture scientifique de chacun de ses diamètres.
3500 = 3,5 × 103
12 700 = 1,27 × 104 1390000 = 1,39 × 106
0,00000000658 = 6,58 × 10−9
2) Donne un ordre de grandeur de chacun de ses diamètres en utilisant une puissance de 10.
3500
12700
1000 ou 10 000 plus proche de 1000 donc de 103
10 000 =104
0,000 000 00658
1 390 000
1 000 000 = 106
0,000 000 01000 ou 0,000 000 00100 plus proche de 0,000 000 01000 donc 10−8
3) Encadre par des puissances de 10 d’exposants consécutifs le diamètre de la Terre.
104 < 12 700 = 1,27 × 104 < 105
4) Même question pour celui du globules rouges. 10−9 < 0,00000000658 = 6,58 × 10−9 < 10−8
Application :
On désire savoir avec combien de chiffres l’on peut écrire le nombre 2 140
Trouver une puissance de 2 proche d’une puissance de 10
D’après le tableau de la légende de Sessa, on a 2 10 ≈ 1000 soit 2 10 ≈ 10 3
Or 2 140 = ( 2 10 ) 14 donc 2 140 ≈ ( 10 3 ) 14 , c’est à dire 10 42 . Le nombre s’écrit avec 43 chiffres
2 140 = 1,3 937 965 749 081 639 463 459 823 920 405 × 10 42
En utilisant une méthode similaire, déterminer le nombre de chiffres de 3 78