Convergence faible

Convergence faible
R´esum´e du cours de MEDP
Maˆıtrise de math´ematiques 2001 – 2002
2001nov18 (medp-conv-faible.tex)
1 Rappels
Rappelons les trois th´eor`emes importants fondamentaux (voir [1]).
1.1 Th´eor`eme. (Hahn – Banach, version g´eom´etrique) Soit (E, k · kE)un espace vectoriel
norm´e r´eel. Soient A⊂Eun convexe ferm´e et B⊂Eun convexe compact. On suppose de
plus Aet Bnon vides et disjoints. Alors, il existe un hyperplan ferm´e qui s´epare strictement
Aet Bc’est `a dire, il existe une forme lin´eaire continue fsur (E, k·kE)et des nombres
α∈Ret ε > 0tels que
(∀x∈A, f(x)≤α−ε ,
∀x∈B, f(x)≥α+ε .
1.2 Th´eor`eme. (Th´eor`eme de projection sur un convexe) Soit Hun espace pr´e-hilbertien
r´eel et soit Kun convexe complet non vide de H. Alors, pour tout x∈H, il existe yun
´el´ement et un seul dans Ktel que
kx−yk=d(x, K) := inf{kx−zk | z∈K}.
Cet ´el´ement yest not´e PK(x)et il est caract´eris´e par
y∈Ket ∀z∈K , hz−y, x −yi ≤ 0.
1.3 Th´eor`eme. (Th´eor`eme de repr´esentation de Riesz)Soit Hun espace de Hilbert r´eel.
alors, l’application
j:H→H0x7→ j(x):=hx, ·i
est une isom´etrie lin´eaire de (H, k·kH)sur son dual topologique (H0,k·kH0).

2 Convergence faible : d´efinition et propri´et´es g´en´erales
Pour la d´efinition de la topologie faible sur un espace vectoriel norm´e, nous renvoyons `a [1].
Nous nous limiterons ici `a la seule notion de convergence faible.
Soit {xn}n≥1une suite de l’espace vectoriel norm´e (E, k·kE). On dit que {xn}converge
faiblement dans Es’il existe un ´el´ement x∈Etel que
∀f∈E0,lim
n∞f(xn) = f(x).(1)
Notation. On notera xn* x, ou xn
E
* x pour ˆetre pr´ecis, la convergence faible dans E.
On notera de mˆeme xn→x, ou xn
E
→xpour ˆetre pr´ecis, la convergence forte dans E(c’est
`a dire la convergence en norme).
On dit qu’une suite {xn}est faiblement de Cauchy si la suite {f(xn)}est de Cauchy pour
toute forme lin´eaire continue f∈E0. On dit qu’un espace vectoriel norm´e Eest faiblement
complet si toute suite de Equi est faiblement de Cauchy converge faiblement dans E.
2.1 Proposition. Soit (E, k · k)un espace vectoriel norm´e. Alors, la convergence forte
implique la convergence faible,
xn
E
→x⇒xn
E
* x .
2.2 Exercice. Montrer que la convergence faible n’implique pas la convergence forte. Indi-
cation : On pourra consid´erer une suite orthonorm´ee dans un espace de Hilbert de dimension
infinie puis montrer qu’elle converge faiblement vers 0, mais que l’on ne peut en extraire
aucune sous-suite fortement convergente. 
2.3 Proposition. Une suite {xn}a au plus une limite faible.
Cette proposition signifie que la “topologie faible” est s´epar´ee. Sa d´emonstration utilise la
version g´eom´etrique du th´eor`eme de Hahn – Banach (Th´eor`eme 1.1) dans le cas g´en´eral ou
bien un argument ´el´ementaire dans le cas particulier o`u Eest un espace de Hilbert.
2.4 Proposition. Soit Eun espace de Banach. Si xn* x dans E, alors la suite {kxnk}
est born´ee et kxk ≤ lim inf kxnk.
2.5 Exercice. Montrer que l’in´egalit´e dans la proposition ci-dessus est stricte en g´en´eral.
2.6 Proposition. Soit Eun espace de Banach. Si xn
E
* x et si fn
E0
→falors, fn(xn)→
f(x)(dans le corps des scalaires).
2.7 Proposition. Soit Eun espace de Banach eet soit Sune partie dense du dual topolo-
gique E0. Si la suite {kxnk} est born´ee et s’il existe x∈Etel que f(xn)→f(x)pour tout
f∈S, alors xn
E
* x.
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2.8 Exercices.
E1) Comparer les notions de convergence forte et faible dans un espace vectoriel norm´e de
dimension finie.
E2) Avec les d´efinitions ´evidentes, comparer les notions d’ensemble fortement ferm´e et
d’ensemble faiblement ferm´e.
2.9 Proposition. Soit C⊂(E, k·k)un ensemble convexe. Alors, les deux assertions sui-
vantes sont ´equivalentes :
(i) L’ensemble Cest faiblement ferm´e.
(ii) L’ensemble Cest fortement ferm´e.
2.10 Proposition. Soient Eet Fdeux espaces de Banach. Soit Tune application lin´eaire
continue de Edans Fet soit {xn}une suite de Etelle que xn
E
* x. Alors, T(xn)F * T (x).
2.11 Exercice. Soit Tune application lin´eaire de Evers F(deux espaces de Banach). On
suppose que Ta la propri´et´e suivante
xn
E
* x ⇒T(xn)F * T (x).
Montrer que Test une application lin´eaire continue. [Indication : utiliser le th´eor`eme du
graphe ferm´e.] 
On dit qu’un op´erateur lin´eaire T:E→F(E, F deux espaces vectoriels norm´es) est
compact si l’image par Td’une partie born´ee de Eest une partie relativement compacte de
F.
2.12 Exercice. Montrer qu’un op´erateur lin´eaire compact est un op´erateur continu. 
2.13 Exercice. Soit kune fonction continue sur [0,1] ×[0,1]. Montrer que l’op´erateur
K:Lp([0,1]) →Lp([0,1]) ,1≤p , d´efini par
K(f)(x) = Z1
0
k(x, y)f(y)dy ,
est un op´erateur compact. Indication : Remarquer que K(f)∈C0([0,1]) et utiliser le
th´eor`eme d’Ascoli. 
Rappelons le th´eor`eme suivant qui donne un crit`ere commode de (relative) compacit´e.
2.14 Th´eor`eme. Soit (E, d)un espace m´etrique complet ete soit A⊂Eune partie de E.
Les deux assertions suivantes sont ´equivalentes
(i) La partie Aest relativement compacte dans E(c’est `a dire, son adh´erence ¯ Aest une
partie compacte de E).
(ii) La partie Aest pr´ecompacte1(c’est `a dire, pour tout ε > 0, il existe une famille finie
{x1, . . . , xN(ε)}d’´el´ements de Atelle que A⊂ ∪N(ε)
j=1 B(xj, ε)).
1On dit aussi que Aest totalement born´ee ou bien qu’elle v´erifie la propri´et´e des r´everb`eres.
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2.15 Th´eor`eme. Soient Eet Fdeux espaces de Banach et soit T:E→Fun op´erateur
compact. Soit {xn}une suite de Equi converge faiblement vers xdans E. Alors, la suite
{T(xn)}converge fortement vers T(x)dans F.
Remarque. Le th´eor`eme pr´ec´edent est particuli`erement utile pour les m´ethodes variation-
nelles.
3 Convergence faible dans les espaces de Hilbert
3.1 Proposition. Tout espace de Hilbert Hest faiblement complet.
3.2 Proposition. Soit Hun espace de Hilbert. Soit {xn}une suite de Htelle que
xn
H
* x et lim sup kxnk ≤ kxk.
Alors, la suite {xn}converge fortement vers x,xn
H
→x. C’est en particulier le cas si xn* x
et si kxnk→kxk.
Le th´eor`eme suivant joue un rˆole fondamental dans l’´etude des probl`emes variationnels.
3.3 Th´eor`eme. (Propri´et´e de compacit´e faible de la boule unit´e) Soit {xn}une suite born´ee
d’un espace de Hilbert H. Alors on peut en extraire une sous-suite faiblement convergente.
R´ef´erences
[1] Brezis, Haim. — Analyse fonctionnelle, Th´eorie et Applications. Masson 1987
Pierre B´erard
Institut Fourier
UMR 5582 UJF – CNRS
[email protected]
www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard/notes_cours.html
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