Convergence faible

Convergence faible
Résumé du cours de MEDP
Maı̂trise de mathématiques 2001 – 2002
2001nov18 (medp-conv-faible.tex)
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Rappels
Rappelons les trois théorèmes importants fondamentaux (voir [1]).
1.1 Théorème. (Hahn – Banach, version géométrique) Soit (E, k · kE ) un espace vectoriel
normé réel. Soient A ⊂ E un convexe fermé et B ⊂ E un convexe compact. On suppose de
plus A et B non vides et disjoints. Alors, il existe un hyperplan fermé qui sépare strictement
A et B c’est à dire, il existe une forme linéaire continue f sur (E, k · kE ) et des nombres
α ∈ R et ε > 0 tels que
(
∀ x ∈ A,
∀ x ∈ B,
f (x) ≤ α − ε ,
f (x) ≥ α + ε .
1.2 Théorème. (Théorème de projection sur un convexe) Soit H un espace pré-hilbertien
réel et soit K un convexe complet non vide de H. Alors, pour tout x ∈ H, il existe y un
élément et un seul dans K tel que
kx − yk = d(x, K) := inf{kx − zk | z ∈ K} .
Cet élément y est noté PK (x) et il est caractérisé par
y∈K
et
∀z ∈ K ,
hz − y, x − yi ≤ 0 .
1.3 Théorème. (Théorème de représentation de Riesz)Soit H un espace de Hilbert réel.
alors, l’application
j : H → H0
x 7→ j(x) := hx, ·i
est une isométrie linéaire de (H, k · kH ) sur son dual topologique (H 0 , k · kH 0 ).
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Convergence faible : définition et propriétés générales
Pour la définition de la topologie faible sur un espace vectoriel normé, nous renvoyons à [1].
Nous nous limiterons ici à la seule notion de convergence faible.
Soit {xn }n≥1 une suite de l’espace vectoriel normé (E, k · kE ). On dit que {xn } converge
faiblement dans E s’il existe un élément x ∈ E tel que
(1)
∀ f ∈ E0 ,
lim f (xn ) = f (x) .
n∞
E
Notation. On notera xn * x, ou xn * x pour être précis, la convergence faible dans E.
E
On notera de même xn → x, ou xn → x pour être précis, la convergence forte dans E (c’est
à dire la convergence en norme).
On dit qu’une suite {xn } est faiblement de Cauchy si la suite {f (xn )} est de Cauchy pour
toute forme linéaire continue f ∈ E 0 . On dit qu’un espace vectoriel normé E est faiblement
complet si toute suite de E qui est faiblement de Cauchy converge faiblement dans E.
2.1 Proposition. Soit (E, k · k) un espace vectoriel normé. Alors, la convergence forte
implique la convergence faible,
E
xn → x
⇒
E
xn * x .
2.2 Exercice. Montrer que la convergence faible n’implique pas la convergence forte. Indication : On pourra considérer une suite orthonormée dans un espace de Hilbert de dimension
infinie puis montrer qu’elle converge faiblement vers 0, mais que l’on ne peut en extraire
aucune sous-suite fortement convergente. 2.3 Proposition. Une suite {xn } a au plus une limite faible.
Cette proposition signifie que la “topologie faible” est séparée. Sa démonstration utilise la
version géométrique du théorème de Hahn – Banach (Théorème 1.1) dans le cas général ou
bien un argument élémentaire dans le cas particulier où E est un espace de Hilbert.
2.4 Proposition. Soit E un espace de Banach. Si xn * x dans E, alors la suite {kxn k}
est bornée et kxk ≤ lim inf kxn k.
2.5 Exercice. Montrer que l’inégalité dans la proposition ci-dessus est stricte en général.
E
E0
2.6 Proposition. Soit E un espace de Banach. Si xn * x et si fn → f alors, fn (xn ) →
f (x) (dans le corps des scalaires).
2.7 Proposition. Soit E un espace de Banach eet soit S une partie dense du dual topologique E 0 . Si la suite {kxn k} est bornée et s’il existe x ∈ E tel que f (xn ) → f (x) pour tout
E
f ∈ S, alors xn * x.
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2.8 Exercices.
E1) Comparer les notions de convergence forte et faible dans un espace vectoriel normé de
dimension finie.
E2) Avec les définitions évidentes, comparer les notions d’ensemble fortement fermé et
d’ensemble faiblement fermé.
2.9 Proposition. Soit C ⊂ (E, k · k) un ensemble convexe. Alors, les deux assertions suivantes sont équivalentes :
(i) L’ensemble C est faiblement fermé.
(ii) L’ensemble C est fortement fermé.
2.10 Proposition. Soient E et F deux espaces de Banach. Soit T une application linéaire
E
F
continue de E dans F et soit {xn } une suite de E telle que xn * x. Alors, T (xn ) * T (x).
2.11 Exercice. Soit T une application linéaire de E vers F (deux espaces de Banach). On
suppose que T a la propriété suivante
E
xn * x
F
⇒
T (xn ) * T (x) .
Montrer que T est une application linéaire continue. [Indication : utiliser le théorème du
graphe fermé.] On dit qu’un opérateur linéaire T : E → F (E, F deux espaces vectoriels normés) est
compact si l’image par T d’une partie bornée de E est une partie relativement compacte de
F.
2.12 Exercice. Montrer qu’un opérateur linéaire compact est un opérateur continu.
2.13 Exercice. Soit k une fonction continue sur [0, 1] × [0, 1]. Montrer que l’opérateur
K : Lp ([0, 1]) → Lp ([0, 1]) , 1 ≤ p , défini par
Z
K(f )(x) =
1
k(x, y) f (y) dy ,
0
est un opérateur compact. Indication : Remarquer que K(f ) ∈ C 0 ([0, 1]) et utiliser le
théorème d’Ascoli. Rappelons le théorème suivant qui donne un critère commode de (relative) compacité.
2.14 Théorème. Soit (E, d) un espace métrique complet ete soit A ⊂ E une partie de E.
Les deux assertions suivantes sont équivalentes
(i) La partie A est relativement compacte dans E (c’est à dire, son adhérence Ā est une
partie compacte de E).
(ii) La partie A est précompacte1 (c’est à dire, pour tout ε > 0, il existe une famille finie
N (ε)
{x1 , . . . , xN (ε) } d’éléments de A telle que A ⊂ ∪j=1 B(xj , ε)).
1 On
dit aussi que A est totalement bornée ou bien qu’elle vérifie la propriété des réverbères.
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2.15 Théorème. Soient E et F deux espaces de Banach et soit T : E → F un opérateur
compact. Soit {xn } une suite de E qui converge faiblement vers x dans E. Alors, la suite
{T (xn )} converge fortement vers T (x) dans F .
Remarque. Le théorème précédent est particulièrement utile pour les méthodes variationnelles.
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Convergence faible dans les espaces de Hilbert
3.1 Proposition. Tout espace de Hilbert H est faiblement complet.
3.2 Proposition. Soit H un espace de Hilbert. Soit {xn } une suite de H telle que
H
xn * x et lim sup kxn k ≤ kxk .
H
Alors, la suite {xn } converge fortement vers x, xn → x. C’est en particulier le cas si xn * x
et si kxn k → kxk.
Le théorème suivant joue un rôle fondamental dans l’étude des problèmes variationnels.
3.3 Théorème. (Propriété de compacité faible de la boule unité) Soit {xn } une suite bornée
d’un espace de Hilbert H. Alors on peut en extraire une sous-suite faiblement convergente.
Références
[1] Brezis, Haim. — Analyse fonctionnelle, Théorie et Applications. Masson 1987
Pierre Bérard
Institut Fourier
UMR 5582 UJF – CNRS
[email protected]
www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard/notes_cours.html
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