MAT561 – Equation de Schrödinger non linéaire : des condensats

MAT561 – Equation de Schr¨odinger non lin´eaire :
des condensats de Bose Einstein aux supersolides
Feuille d’exercices Janvier 2013. 2
On rappelle certaines identit´es permettant d’int´egrer par parties sur un
domaine Ω r´egulier :
ZΩ
divu=Z∂Ω u·n
ZΩ
divuv=−ZΩ u· ∇v+Z∂Ω vu·n
Cela s’obtient `a partir de la pr´ec´edente en consid´erant div(uv). De plus si
u=∇w, on a
ZΩ
∆wv =−ZΩ∇w· ∇v+Z∂Ω v∇w·n
1. V´erifier les calcul des exemples 3.2.7 et 3.2.8 du poly.
2. Montrer que l’application f=k.k2est d´erivable sur Rn\0 et que f0(a)·h=
PN
i=1 aihi
kak2.
Monter que l’application f=k.k∞est d´erivable en asi et seulement si il
existe un indice i0tel que |ai0|>|ai|pour tout idiff´erent de i0.
3. Trouver les extrema relatifs de la fonction J(x1, x2) = x2
2sur l’ensemble
x2
1+x2 2= 1, et de la fonction J(x1, x2) = x1+ (x2−1)2sur l’ensemble x2 1= 1.
4. Convergence faible (i) Soit uune fonction C∞(R) `a support compact.
Montrer que un(x) = u(x−n) converge vers 0 faiblement mais pas fortement.
(ii) Soit uune fonction C∞(R) `a support compact. Montrer que un(x) =
√nu(nx) converge vers 0 faiblement mais pas fortement.
(iii) Soit uune fonction 1 p´eriodique non constante et un(x) = u(nx).
Montrer que uconverge faiblement vers R1
0u(s)ds, mais pas fortement.
5. Th´eor`eme du viriel et identit´e de Pohozaev— Soit uun minimiseur
de
E(u) = Z1
2|∇u|2+1 2V(x)|u|2+F(u)
1

sous R|u|2= 1 et µle multiplicateur de Lagrange, c’est `a dire
−∆u+V(x)u+F0(u) = µu. (1)
On suppose que le probl`eme est pos´e sur RN, soit sur l’espace tout entier,
soit sur un domaine born´e avec u= 0 sur le bord. On suppose que F(0) = 0.
On veut montrer que
Z(N−2)
2|∇u|2+1 2(x· ∇V(x) + NV (x))|u|2−µN 2|u|2+NF (u) = 0 (2)
Pour cela, on considere u(x) = 1
λN/2uλ(x
λ) et g(λ) = E(uλ). Calculer g0(λ) et
d´eduire (2) de g0(1) = 0 et de l’´equation.
De mani`ere rigoureuse, il n’est pas forc´ement facile de prouver que gest
d´erivable, c’est `a dire que uλd´ecrit une courbe C1dans H1. On peut prouver
ce th´eor`eme d’une autre mani`ere.
(i) On consid`ere l’´equation (1) v´erifi´ee par u, on la multiplie par x· ∇u
et on int`egre les termes par partie. Montrer que
ZΩ
(V(x)u+f(u)−µu)x·∇u=−ZΩ (NV (x)+x·∇V)|u|2
2+NF (u)−Nµ 2|u|2
o`u Fest une primitive de f. Montrer ensuite que
−ZΩ ∆ux · ∇u=ZΩ∇u· ∇(x· ∇u)−Z∂Ω|∇u|2x·n
et enfin que
ZΩ∇u· ∇(x· ∇u) = −(N−2)
2ZΩ|∇u|2+1 2Z∂Ω
x·n|∇u|2
Ceci permet de d´eduire (2), appel´ee aussi identit´e de Pohozaev (avec un
terme de bord dans un domaine born´e).
(ii) Ecrire cette identit´e dans le cas V= 0 sur RNet utiliser (1) multipli´ee
par upour en d´eduire que
−Z|∇u|2+ZN(F(u)−1
2uF 0(u)) = 0
retrouver que pour F(u) = u4, il n’y a pas d’autre solution que la solution
nulle.
(iii) Si µ= 0, on voit que en dimension N, seul l’exposant p= (2N)/(N−
2) permet d’avoir des solutions de l’´equation avec F(u) = up.
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