MAT561 – Equation de Schrödinger non linéaire : des condensats

MAT561 – Equation de Schrödinger non linéaire :
des condensats de Bose Einstein aux supersolides
Feuille d’exercices Janvier 2013. 2
On rappelle certaines identités permettant d’intégrer par parties sur un
domaine Ω régulier :
Z
Z
divu =
u·n
Ω
∂Ω
Z
Z
divuv = −
Ω
Z
u · ∇v +
Ω
vu · n
∂Ω
Cela s’obtient à partir de la précédente en considérant div(uv). De plus si
u = ∇w, on a
Z
Z
Z
∆wv = − ∇w · ∇v +
v∇w · n
Ω
Ω
∂Ω
1. Vérifier les calcul des exemples 3.2.7 et 3.2.8 du poly.
2.
Montrer que l’application f = k.k2 est dérivable sur Rn \0 et que f 0 (a)·h =
PN
i=1 ai hi
.
kak2
Monter que l’application f = k.k∞ est dérivable en a si et seulement si il
existe un indice i0 tel que |ai0 | > |ai | pour tout i différent de i0 .
3. Trouver les extrema relatifs de la fonction J(x1 , x2 ) = x22 sur l’ensemble
x21 + x22 = 1, et de la fonction J(x1 , x2 ) = x1 + (x2 − 1)2 sur l’ensemble x21 = 1.
4. Convergence faible (i) Soit u une fonction C ∞ (R) à support compact.
Montrer que un (x) = u(x−n) converge vers 0 faiblement mais pas fortement.
∞
√ (ii) Soit u une fonction C (R) à support compact. Montrer que un (x) =
nu(nx) converge vers 0 faiblement mais pas fortement.
(iii) Soit u une fonction 1 périodiqueR non constante et un (x) = u(nx).
1
Montrer que u converge faiblement vers 0 u(s) ds, mais pas fortement.
5. Théorème du viriel et identité de Pohozaev— Soit u un minimiseur
de
Z
1
1
E(u) =
|∇u|2 + V (x)|u|2 + F (u)
2
2
1
sous
R
|u|2 = 1 et µ le multiplicateur de Lagrange, c’est à dire
−∆u + V (x)u + F 0 (u) = µu.
(1)
On suppose que le problème est posé sur RN , soit sur l’espace tout entier,
soit sur un domaine borné avec u = 0 sur le bord. On suppose que F (0) = 0.
On veut montrer que
Z
1
N
(N − 2)
|∇u|2 + (x · ∇V (x) + N V (x))|u|2 − µ |u|2 + N F (u) = 0 (2)
2
2
2
1
Pour cela, on considere u(x) = λN/2
uλ ( λx ) et g(λ) = E(uλ ). Calculer g 0 (λ) et
0
déduire (2) de g (1) = 0 et de l’équation.
De manière rigoureuse, il n’est pas forcément facile de prouver que g est
dérivable, c’est à dire que uλ décrit une courbe C 1 dans H 1 . On peut prouver
ce théorème d’une autre manière.
(i) On considère l’équation (1) vérifiée par u, on la multiplie par x · ∇u
et on intègre les termes par partie. Montrer que
Z
Z
Nµ 2
|u|2
+N F (u)−
|u|
(V (x)u+f (u)−µu)x·∇u = − (N V (x)+x·∇V )
2
2
Ω
Ω
où F est une primitive de f . Montrer ensuite que
Z
Z
Z
− ∆ux · ∇u =
∇u · ∇(x · ∇u) −
Ω
Ω
|∇u|2 x · n
∂Ω
et enfin que
Z
Z
Z
(N − 2)
1
2
∇u · ∇(x · ∇u) = −
|∇u| +
x · n|∇u|2
2
2
Ω
Ω
∂Ω
Ceci permet de déduire (2), appelée aussi identité de Pohozaev (avec un
terme de bord dans un domaine borné).
(ii) Ecrire cette identité dans le cas V = 0 sur RN et utiliser (1) multipliée
par u pour en déduire que
Z
Z
1
2
− |∇u| + N (F (u) − uF 0 (u)) = 0
2
retrouver que pour F (u) = u4 , il n’y a pas d’autre solution que la solution
nulle.
(iii) Si µ = 0, on voit que en dimension N , seul l’exposant p = (2N )/(N −
2) permet d’avoir des solutions de l’équation avec F (u) = up .
2