ED 107 THÉOR`EMES DE L`INDICE ET ANOMALIES Le théor`eme
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ED 107 THÉORÈMES DE L’INDICE ET ANOMALIES PAUL WINDEY Le théorème de l’indice d’Atiyah et Singer (A-S) est un des grands développements des mathématiques du XXe siècle. Il relie en profondeur géométrie, topologie et opérateurs différentiels tels l’opérateur de Dirac. Ses cas particuliers sont nombreux, le plus ancien et le plus connu peut-être étant le théorème de Gauss-Bonnet qui lie la courbure d’une surface (géométrie) à sa caractéristique d’Euler (topologie : sphère, tore,...) et aux nombres de solutions d’une équation différentielle (opérateurs). Il possède des liens avec la théorie des nombres et pourtant ses liens avec la physique sont profonds puisqu’il régit entre autres la désintégration du pion en photons ou le spectre des fermions de masse nulle en théorie de jauge. Le premier exemple est la manifestation observable de la brisure d’une symétrie classique globale par des effets quantiques, ce qui entraı̂ne la non conservation du courant associé à cette symétrie. Le second exemple est lui lié à la nécessité de préserver une symétrie de jauge locale sous peine de rendre la théorie inconsistante. On appelle anomalies ces deux phénomènes bien qu’il soient de nature à priori différente. L’un est relié au théorème d’A-S, l’autre à ce qu’on appelle le théorème des familles d’A-S. Sans pouvoir explorer toutes les facettes du théorème de l’indice, nous nous attacherons à montrer qu’il possède une expression simple et naturelle en mécanique quantique et d’importantes généralisations en théorie des cordes. Tout au long du cours on s’attachera à étudier le lien entre différents aspects des théorèmes de l’indice et les anomalies en théorie quantique des champs et en théorie des cordes, anomalies qui sont pour un physicien une des principales raison de s’intéresser aux théorèmes de l’indice. Le cours présentera en détail les théorèmes de l’indice du point de vue de la théorie quantique des champs. Après une introduction détaillé du théorème d’AtiyahSinger, on étudiera ses généralisations équivariantes et les théorèmes de point fixe. Les extensions au cas des espaces de boucles, qui découlent directement de la théorie des cordes, et qui donnent une autre classe de théorèmes de l’indice dits genres de corde ou genres elliptiques, seront ensuite étudiées. On étudiera aussi les indices de familles d’opérateurs de Dirac et les développements récents qui permettent d’obtenir un théorème pour les familles d’opérateurs de Dirac-Ramond et qui possèdent un lien étroit avec la célèbre phase de Berry. Les notions mathématiques et physiques nécessaires seront toutes introduites au fur et à mesure. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) Anomalies Supersymétrie et opérateur de Dirac L’indice de l’opérateur de Dirac ou Lagrange vs. Hamilton L’anomalie chirale et l’indice d’A-S. Obstructions globales et déterminants Euler, Hirzebruch, Todd et autres variantes d’A-S Théorèmes de point fixe Anomalies locales et globales Annulation des anomalies de Green-Schwarz et théorie des cordes Indice des familles, Born-Oppenheimer et phase de Berry Genre de cordes et genre elliptique Familles d’opérateurs de Dirac-Ramond et formes modulaires.
