ED 107 THÉOR`EMES DE L`INDICE ET ANOMALIES Le théor`eme

ED 107
TH ´ EOR ` EMES DE L’INDICE ET ANOMALIES
PAUL WINDEY
Le th´eor`eme de l’indice d’Atiyah et Singer (A-S) est un des grands d´eveloppements
des math´ematiques du XXe si`ecle. Il relie en profondeur g´eom´etrie, topologie et
op´erateurs diff´erentiels tels l’op´erateur de Dirac. Ses cas particuliers sont nombreux,
le plus ancien et le plus connu peut-ˆetre ´etant le th´eor`eme de Gauss-Bonnet qui lie la
courbure d’une surface (g´eom´etrie) `a sa caract´eristique d’Euler (topologie : sph`ere,
tore,...) et aux nombres de solutions d’une ´equation diff´erentielle (op´erateurs). Il
poss`ede des liens avec la th´eorie des nombres et pourtant ses liens avec la physique
sont profonds puisqu’il r´egit entre autres la d´esint´egration du pion en photons ou
le spectre des fermions de masse nulle en th´eorie de jauge. Le premier exemple est
la manifestation observable de la brisure d’une sym´etrie classique globale par des
effets quantiques, ce qui entraˆıne la non conservation du courant associ´e `a cette
sym´etrie. Le second exemple est lui li´e `a la n´ecessit´e de pr´eserver une sym´etrie de
jauge locale sous peine de rendre la th´eorie inconsistante. On appelle anomalies ces
deux ph´enom`enes bien qu’il soient de nature `a priori diff´erente. L’un est reli´e au
th´eor`eme d’A-S, l’autre `a ce qu’on appelle le th´eor`eme des familles d’A-S.
Sans pouvoir explorer toutes les facettes du th´eor`eme de l’indice, nous nous at-
tacherons `a montrer qu’il poss`ede une expression simple et naturelle en m´ecanique
quantique et d’importantes g´en´eralisations en th´eorie des cordes. Tout au long
du cours on s’attachera `a ´etudier le lien entre diff´erents aspects des th´eor`emes de
l’indice et les anomalies en th´eorie quantique des champs et en th´eorie des cordes,
anomalies qui sont pour un physicien une des principales raison de s’int´eresser aux
th´eor`emes de l’indice.
Le cours pr´esentera en d´etail les th´eor`emes de l’indice du point de vue de la th´eorie
quantique des champs. Apr`es une introduction d´etaill´e du th´eor`eme d’Atiyah-
Singer, on ´etudiera ses g´en´eralisations ´equivariantes et les th´eor`emes de point fixe.
Les extensions au cas des espaces de boucles, qui d´ecoulent directement de la th´eorie
des cordes, et qui donnent une autre classe de th´eor`emes de l’indice dits genres
de corde ou genres elliptiques, seront ensuite ´etudi´ees. On ´etudiera aussi les in-
dices de familles d’op´erateurs de Dirac et les d´eveloppements r´ecents qui permet-
tent d’obtenir un th´eor`eme pour les familles d’op´erateurs de Dirac-Ramond et qui
poss`edent un lien ´etroit avec la c´el`ebre phase de Berry. Les notions math´ematiques
et physiques n´ecessaires seront toutes introduites au fur et `a mesure.
(1) Anomalies
(2) Supersym´etrie et op´erateur de Dirac
(3) L’indice de l’op´erateur de Dirac ou Lagrange vs. Hamilton
(4) L’anomalie chirale et l’indice d’A-S.
(5) Obstructions globales et d´eterminants
(6) Euler, Hirzebruch, Todd et autres variantes d’A-S
(7) Th´eor`emes de point fixe
(8) Anomalies locales et globales
(9) Annulation des anomalies de Green-Schwarz et th´eorie des cordes
(10) Indice des familles, Born-Oppenheimer et phase de Berry
(11) Genre de cordes et genre elliptique
(12) Familles d’op´erateurs de Dirac-Ramond et formes modulaires.