Notes de cours - Mathématiques en PCSI 834 à Masséna

Gaudino, casier 5 version N1.2
P.C.S.I. 834 Manipulations algébriques Lycée Masséna
I. Récurrence
I.1. Majoration et minoration
Th´ eor` eme 1 (admis).Tout ensemble non-vide d’entiers naturels admet un plus petit élément. Tout ensemble non-vide
majoré d’entiers naturels admet un plus grand élément.
I.2. Récurrence faible
Th´ eor` eme 2 (prouvé).Soit P(n)un propriété qui vérifie
–P(0) ;
–∀n∈N,P(n) =⇒ P(n+ 1).
alors on a ∀n∈N,P(n).
Exemple du calcul de la somme des carrés :
n
X
k=1
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6. sin(x+nπ), cos(nπ)
I.3. Récurrence forte
Th´ eor` eme 3 (admis).Soit P(n)un propriété qui vérifie
–P(0) ;
–∀n∈N,hP(0) et P(1) et · · · et P(n)=⇒ P(n+ 1)i.
alors on a ∀n∈N,P(n).
Application à la divisibilité par un nombre premier.
Soit une suite (un)n∈Nvérifiant : u0= 1 et un+1 =
n
X
k=0
uk. Montrer que pour tout n≥1, un= 2n−1.
I.4. Autres types
Exemple d’une récurrence à deux pas, avec la suite u0= 2, u1= 3 et ∀n∈N, un+2 = 3un+1 −2un. On ”prouve” deux
propriétés :
∀n∈N, un= 2n+ 1 et un= 2n+1
II. Sommes et produits
II.1. Notations
Somme et produit d’une famille finie de nombres complexes : notations X
i∈I
ai,
n
X
i=1
ai,Y
i∈I
ai,
n
Y
i=1
ai. Travail sur la
différence de deux sommes, couper une somme en deux (indices pairs et impairs), . . .
II.2. Téléscopage
Sommation de la suite de terme général un=tn+1 −tn:∀n∈N,
n
X
k=0
uk=tn+1 −t0. Preuve par récurrence, et aussi
par renumérotation.
Exemple avec la distance totale d’un chemin.
II.3. an−bn
Th´ eor` eme 4. Soient aet bdeux réels ou complexes, et n∈N∗. On a
an−bn= (a−b)
n−1
X
k=0
akbn−1−k= (a−b)
n−1
X
k=0
bkan−1−k
1

Preuve par changement d’indices.
Exemple : résoudre de deux manières différentes dans Rl’équation : x3−1 = 0.
II.4. Somme d’une progression arithmétique ou géométrique finie de nombres réels ou
complexes
Th´ eor` eme 5 (suite arithmétique).Soit (un)n∈Nune suite arithmétique de raison r, de premier terme u0, donc de
terme général un=u0+nr. On a
n
X
k=0
uk= (n+ 1)u0+n(n+ 1)
2r
Th´ eor` eme 6 (suite géométrique).Soit (un)n∈Nune suite géométrique de raison q6= 1, de premier terme u0, donc de
terme général un=u0qn. On a
n
X
k=0
uk=u0
1−qn+1
1−q
Variantes quand on somme à partir de n0. Lien avec an−bn.
II.5. Sommes doubles
On note ai,j des réels qui dépendent de deux indices (qu’on représente sur un dessin).
– sur un rectangle (ou un carré) :
n
X
i=0
m
X
j=0
ai,j =
m
X
j=0
n
X
i=0
ai,j . Ex avec ai,j = 2j.
– produit de deux sommes finies : on se ramène au cas précédant.
– sur un triangle : donner une autre expression de
n
X
i=0
i
X
j=0
ai,j .
III. Coefficients binomiaux et formule du binôme
Voir aussi le chapitre dénombrement.
III.1. Factorielle
d´ efinition 1. On pose 0! = 1 et, pour tout entier naturel n≥1;n! =
n
Y
i=1
i.
Exemples de rapports, de factorisation.
III.2. Coefficients binomiaux
d´ efinition 2. Pour deux entiers net ptels que 0≤p≤n, on pose n
p=n! p!(n−p)! .
III.3. Relations
n
p= 0 si p>n.n n= 1. n 0= 1. n p=n n−psi 0 ≤p≤n.
III.4. Triangle de Pascal
Th´ eor` eme 7. n
p=n−1 p+n−1 p−1pour n≥1et n−1≥p≥1.
III.5. Binôme de Newton
Th´ eor` eme 8. Soient aet bdeux réels ou complexes, et n∈N∗. On a
(a+b)n=
n
X
k=0 n
kakbn−k=
n
X
k=0 n
kbkan−k
Pour a=b= 1, on trouve 2n. Exemple avec le carré, le cube.
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