Compléments d`analyse fonctionnelle

Compl´ements d’analyse fonctionnelle
R´esum´e du cours de MEDP
Maˆıtrise de math´ematiques 2001 – 2002
medp-ana-fonctnelle.tex (2001oct09)
1 Th´eor`eme de Baire
1.1 Proposition. Soit Xun espace topologique. Il est ´equivalent de dire
(1) Si {On}∞
n=1 est une suite d’ouverts denses de X, l’intersection A=T∞
n=1 Onest dense
dans X.
(2) Si {Fn}∞
n=1 est une suite de ferm´es de Xd’int´erieurs vides, la r´eunion B=S∞
n=1 Fn
est d’int´erieur vide dans X.
Un espace topologique Xest dit espace de Baire si l’intersection d’une famille d´enombrable
d’ouverts denses de Xest une partie dense dans X.
1.2 Proposition. Si Xest un espace de Baire et s’il peut s’´ecrire comme une r´eunion
d´enombrable X=S∞
n=1 Fnde ferm´es, alors l’un au moins des ferm´es Fnest d’int´erieur
non vide, il existe un entier n0tel que int(Fn0)6=∅.
1.3 Th´eor`eme. (Th´eor`eme de Baire)
(1) Un espace topologique localement compact est un espace de Baire.
(2) Un espace m´etrique complet est un espace de Baire.
Note. Dans la suite, nous appliquerons essentiellement le th´eor`eme de Baire dans les
espaces de Banach. Rappelons qu’un espace vectoriel norm´e est localement compact si et
seulement s’il est de dimension finie.
Applications. Comme application du th´eor`eme de Baire, on peut montrer que ‘presque
toute’ (en un sens `a pr´eciser) fonction continue sur un intervalle [a, b] n’est nulle part
d´erivable (voir [3], Chapitre 5, Exercice 14, page 115 ou [2], Chapitre XIV, §4.2, p. 300
ff). On peut ´egalement montrer que ‘presque toute’ fonction C∞sur un intervalle de Rn’est
nulle part d´eveloppable en s´erie enti`ere ([2], §4.3, page 301 ff).

2 Fonctionnelles convexes
Soit (E, k · k) un espace vectoriel norm´e (sur K=Rou C). Une fonctionnelle convexe (ou
une semi-norme) est une application p:E→Rqui v´erifie les deux axiomes suivants
(1) ∀u, v ∈E, p(u+v)≤p(u) + p(v),
(2) ∀u∈E, ∀λ∈K, p(λu) = |λ|p(u).
Remarque. Les axiomes (1) et (2) ci-dessus impliquent que l’on a
p(0) = 0 et p(u)≥0,∀u∈E .
Une fonctionnelle convexe est en particulier une fonction convexe.
On dit qu’une fonctionnelle convexe est born´ee s’il existe une constante C(ind´ependante de
u) telle que p(u)≤Ckukpour tout ´el´ement u∈E.
2.1 Proposition. Soit pune fonctionnelle convexe sur l’espace vectoriel norm´e E. Les deux
assertions suivantes sont ´equivalentes :
(1) La fonctionnelle pest continue.
(3) La fonctionnelle pest born´ee.
Remarque. On retrouve en particulier la caract´erisation des applications lin´eaires conti-
nues entre espaces vectoriels norm´es.
3 Th´eor`eme de Banach – Steinhaus
3.1 Th´eor`eme. (Th´eor`eme de Banach – Steinhaus) Soit (E, k·k)un espace de Banach.
Soit pα, α ∈A, une famille (non n´ecessairement d´enombrable) de fonctionnelles convexes
born´ees. On d´efinit une application p:E→R∪ {∞} par
p(x) = sup{pα(x)|α∈A}.
Alors,
•Ou bien p(x)est finie pour tout x∈Eet c’est alors une fonctionnelle convexe born´ee
sur E: il existe une constante C, ind´ependante de α∈Aet de x∈E, telle que
∀α∈A, ∀x∈E, pα(x)≤p(x)≤Ckxk.
•Ou bien il existe un ensemble Gδ(c’est `a dire une intersection d´enombrable d’ouverts
denses) X⊂E, tel que
∀x∈X, p(x) = +∞.
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3.2 Corollaire. Soient E, F deux espaces de Banach. Soit {Tα, α ∈A}une famille
d’op´erateurs lin´eaires continus de Edans F. On suppose que
∀x∈E, sup{kTα(x)kF|α∈A}<∞.
Alors, il existe une constante C, ind´ependante de α∈Aet de x∈E, telle que
∀x∈E, ∀α∈A, kTα(x)kF≤CkxkE,
c’est `a dire,
∀α∈A, kTαkE,F ≤C .
3.3 Corollaire. Soient E, F , deux espaces de Banach et soit {Tn}n≥1une suite d’applica-
tions lin´eaires continues de Edans F. On suppose que pour tout x∈E, la suite {Tn(x)}
converge, dans F, vers un ´el´ement not´e T(x). Alors,
(1) supnkTnkE,F <∞,
(2) Test une application lin´eaire continue de Edans F,
(3) kTkE,F ≤lim inf kTnkE,F .
Application. Pour une application du th´eor`eme de Banach – Steinhaus `a l’´etude des s´eries
de Fourier des fonctions continues, voir [3], §5.11, p. 101 ff.
4 Th´eor`eme de Hahn – Banach
4.1 Th´eor`eme. (Hahn – Banach, version analytique) Soit (E, k · kE)un espace vectoriel
norm´e. Soit G⊂Eun sous espace vectoriel et soit gune forme lin´eaire continue sur
(G, k·kE). Alors il existe une forme lin´eaire continue fsur (E, k·kE), qui ´etend get telle
que kfkE0=kgkG0.
4.2 Corollaire. Soit Eun espace vectoriel norm´e sur Rou C. Alors,
1. Pour tout x∈E, il existe une forme lin´eaire continue gx∈E0telle que
gx(x) = kxk2
Eet kgxkE0=kxkE.
2. Pour tout x∈E, on a
kxkE= sup{|f(x)|f∈E0et kfkE0≤1}= max{|f(x)|f∈E0et kfkE0≤1}.
4.3 Th´eor`eme. (Hahn – Banach, version g´eom´etrique) Soit (E, k · kE)un espace vectoriel
norm´e r´eel. Soient A⊂Eun convexe ferm´e et B⊂Eun convexe compact. On suppose de
plus Aet Bnon vides et disjoints. Alors, il existe un hyperplan ferm´e qui s´epare strictement
Aet Bc’est `a dire, il existe une forme lin´eaire continue fsur (E, k·kE)et des nombres
α∈Ret ε > 0tels que
(∀x∈A, f(x)≤α−ε ,
∀x∈B, f (x)≥α+ε .
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5 Cons´equences du th´eor`eme de Banach – Steinhaus
et du th´eor`eme de Hahn – Banach
5.1 Corollaire. Soit Eun espace de Banach et soit A⊂E. Il est ´equivalent de dire
(1) La partie Aest born´ee dans E.
(2) ∀f∈E0,l’ensemble f(A)est born´e.
Note. La d´emonstration de ce corollaire utilise la version analytique du th´eor`eme de Hahn
– Banach (voir Section 4).
5.2 Corollaire. Soit Eun espace de Banach et soit B⊂E0. Il est ´equivalent de dire
(1) La partie Best born´ee dans E0(pour la norme dans le dual).
(2) ∀x∈E , l’ensemble B(x) = {f(x)|f∈B}est born´e.
6 Th´eor`eme de l’application ouverte
6.1 Th´eor`eme. Soient Eet Fdeux espaces de Banach et soit Tun op´erateur lin´eaire,
continu et surjectif de Esur F. Alors, il existe un nombre r > 0tel que
TBE(0,1)⊃BF(0, r).
6.2 Corollaire. Soient Eet Fdeux espaces de Banach et soit Tun op´erateur lin´eaire,
continu et bijectif de Esur F. Alors, l’op´erateur T−1est continu de Fsur E.
Application. Pour une application du th´eor`eme de l’application ouverte `a l’´etude des
s´eries de Fourier des fonctions L1, voir [3], §5.14, p. 103 ff.
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7 Th´eor`eme du graphe ferm´e
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Etant donn´e un op´erateur T:E→F, on appelle graphe de Tle sous-ensemble
G(T) := x, T (x)|x∈E.
7.1 Th´eor`eme. Soient Eet Fdeux espaces de Banach. Soit Tun op´erateur lin´eaire de
Edans F. On suppose que le graphe G(T)de l’op´erateur Test ferm´e dans E×F. Alors,
l’op´erateur Test continu.
R´ef´erences
[1] Brezis, Ha¨ım. — Analyse fonctionnelle, Th´eorie et applications. Masson 1987
[2] Dugundji, James. — Topology, Allyn and Bacon 1966
[3] Rudin, Walter. — Real and complex analysis, International student edition,
McGraw-Hill 1970 (il existe une traduction fran¸caise)
[4] Rudin, Walter. — Functional analysis, McGraw-Hill 1973
Pierre B´erard
Institut Fourier
UMR 5582 UJF – CNRS
[email protected]
www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard/notes_cours.html
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