Compléments d`analyse fonctionnelle

Compléments d’analyse fonctionnelle
Résumé du cours de MEDP
Maı̂trise de mathématiques 2001 – 2002
medp-ana-fonctnelle.tex (2001oct09)
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Théorème de Baire
1.1 Proposition. Soit X un espace topologique. Il est équivalent de dire
T∞
(1) Si {On }∞
n=1 est une suite d’ouverts denses de X, l’intersection A =
n=1 On est dense
dans X.
S∞
(2) Si {Fn }∞
n=1 est une suite de fermés de X d’intérieurs vides, la réunion B =
n=1 Fn
est d’intérieur vide dans X.
Un espace topologique X est dit espace de Baire si l’intersection d’une famille dénombrable
d’ouverts denses de X est une partie dense dans X.
1.2 Proposition. SSi X est un espace de Baire et s’il peut s’écrire comme une réunion
∞
dénombrable X = n=1 Fn de fermés, alors l’un au moins des fermés Fn est d’intérieur
non vide, il existe un entier n0 tel que int(Fn0 ) 6= ∅.
1.3 Théorème. (Théorème de Baire)
(1) Un espace topologique localement compact est un espace de Baire.
(2) Un espace métrique complet est un espace de Baire.
Note. Dans la suite, nous appliquerons essentiellement le théorème de Baire dans les
espaces de Banach. Rappelons qu’un espace vectoriel normé est localement compact si et
seulement s’il est de dimension finie.
Applications. Comme application du théorème de Baire, on peut montrer que ‘presque
toute’ (en un sens à préciser) fonction continue sur un intervalle [a, b] n’est nulle part
dérivable (voir [3], Chapitre 5, Exercice 14, page 115 ou [2], Chapitre XIV, §4.2, p. 300
ff). On peut également montrer que ‘presque toute’ fonction C ∞ sur un intervalle de R n’est
nulle part développable en série entière ([2], §4.3, page 301 ff).
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Fonctionnelles convexes
Soit (E, k · k) un espace vectoriel normé (sur K = R ou C). Une fonctionnelle convexe (ou
une semi-norme) est une application p : E → R qui vérifie les deux axiomes suivants


(1) ∀ u, v ∈ E,


(2) ∀ u ∈ E,
p(u + v) ≤ p(u) + p(v) ,
∀ λ ∈ K,
p(λu) = |λ| p(u) .
Remarque. Les axiomes (1) et (2) ci-dessus impliquent que l’on a
p(0) = 0
et
p(u) ≥ 0,
∀u ∈ E .
Une fonctionnelle convexe est en particulier une fonction convexe.
On dit qu’une fonctionnelle convexe est bornée s’il existe une constante C (indépendante de
u) telle que p(u) ≤ Ckuk pour tout élément u ∈ E.
2.1 Proposition. Soit p une fonctionnelle convexe sur l’espace vectoriel normé E. Les deux
assertions suivantes sont équivalentes :
(1) La fonctionnelle p est continue.
(3) La fonctionnelle p est bornée.
Remarque. On retrouve en particulier la caractérisation des applications linéaires continues entre espaces vectoriels normés.
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Théorème de Banach – Steinhaus
3.1 Théorème. (Théorème de Banach – Steinhaus) Soit (E, k · k) un espace de Banach.
Soit pα , α ∈ A, une famille (non nécessairement dénombrable) de fonctionnelles convexes
bornées. On définit une application p : E → R ∪ {∞} par
p(x) = sup{pα (x) | α ∈ A} .
Alors,
• Ou bien p(x) est finie pour tout x ∈ E et c’est alors une fonctionnelle convexe bornée
sur E : il existe une constante C, indépendante de α ∈ A et de x ∈ E, telle que
∀α ∈ A,
∀x ∈ E,
pα (x) ≤ p(x) ≤ C kxk .
• Ou bien il existe un ensemble Gδ (c’est à dire une intersection dénombrable d’ouverts
denses) X ⊂ E, tel que
∀x ∈ X,
p(x) = +∞ .
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3.2 Corollaire. Soient E, F deux espaces de Banach. Soit {Tα ,
d’opérateurs linéaires continus de E dans F . On suppose que
∀ x ∈ E,
α ∈ A} une famille
sup{kTα (x)kF | α ∈ A} < ∞ .
Alors, il existe une constante C, indépendante de α ∈ A et de x ∈ E, telle que
∀ x ∈ E,
∀ α ∈ A,
kTα (x)kF ≤ C kxkE ,
c’est à dire,
∀ α ∈ A,
kTα kE,F ≤ C .
3.3 Corollaire. Soient E, F , deux espaces de Banach et soit {Tn }n≥1 une suite d’applications linéaires continues de E dans F . On suppose que pour tout x ∈ E, la suite {Tn (x)}
converge, dans F , vers un élément noté T (x). Alors,
(1) supn kTn kE,F < ∞ ,
(2) T est une application linéaire continue de E dans F ,
(3) kT kE,F ≤ lim inf kTn kE,F .
Application. Pour une application du théorème de Banach – Steinhaus à l’étude des séries
de Fourier des fonctions continues, voir [3], §5.11, p. 101 ff.
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Théorème de Hahn – Banach
4.1 Théorème. (Hahn – Banach, version analytique) Soit (E, k · kE ) un espace vectoriel
normé. Soit G ⊂ E un sous espace vectoriel et soit g une forme linéaire continue sur
(G, k · kE ). Alors il existe une forme linéaire continue f sur (E, k · kE ), qui étend g et telle
que kf kE 0 = kgkG0 .
4.2 Corollaire. Soit E un espace vectoriel normé sur R ou C. Alors,
1. Pour tout x ∈ E, il existe une forme linéaire continue gx ∈ E 0 telle que
gx (x) = kxk2E et kgx kE 0 = kxkE .
2. Pour tout x ∈ E, on a
kxkE = sup{|f (x)| f ∈ E 0 et kf kE 0 ≤ 1} = max{|f (x)| f ∈ E 0 et kf kE 0 ≤ 1} .
4.3 Théorème. (Hahn – Banach, version géométrique) Soit (E, k · kE ) un espace vectoriel
normé réel. Soient A ⊂ E un convexe fermé et B ⊂ E un convexe compact. On suppose de
plus A et B non vides et disjoints. Alors, il existe un hyperplan fermé qui sépare strictement
A et B c’est à dire, il existe une forme linéaire continue f sur (E, k · kE ) et des nombres
α ∈ R et ε > 0 tels que
(
∀ x ∈ A,
∀ x ∈ B,
f (x) ≤ α − ε ,
f (x) ≥ α + ε .
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Conséquences du théorème de Banach – Steinhaus
et du théorème de Hahn – Banach
5.1 Corollaire. Soit E un espace de Banach et soit A ⊂ E. Il est équivalent de dire
(1) La partie A est bornée dans E.
(2) ∀ f ∈ E 0 ,
l’ensemble f (A) est borné.
Note. La démonstration de ce corollaire utilise la version analytique du théorème de Hahn
– Banach (voir Section 4).
5.2 Corollaire. Soit E un espace de Banach et soit B ⊂ E 0 . Il est équivalent de dire
(1) La partie B est bornée dans E 0 (pour la norme dans le dual).
(2) ∀ x ∈ E , l’ensemble B(x) = {f (x) | f ∈ B} est borné.
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Théorème de l’application ouverte
6.1 Théorème. Soient E et F deux espaces de Banach et soit T un opérateur linéaire,
continu et surjectif de E sur F . Alors, il existe un nombre r > 0 tel que
T BE (0, 1) ⊃ BF (0, r) .
6.2 Corollaire. Soient E et F deux espaces de Banach et soit T un opérateur linéaire,
continu et bijectif de E sur F . Alors, l’opérateur T −1 est continu de F sur E.
Application. Pour une application du théorème de l’application ouverte à l’étude des
séries de Fourier des fonctions L1 , voir [3], §5.14, p. 103 ff.
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Théorème du graphe fermé
Étant donné un opérateur T : E → F , on appelle graphe de T le sous-ensemble
G(T ) := x, T (x) | x ∈ E .
7.1 Théorème. Soient E et F deux espaces de Banach. Soit T un opérateur linéaire de
E dans F . On suppose que le graphe G(T ) de l’opérateur T est fermé dans E × F . Alors,
l’opérateur T est continu.
Références
[1] Brezis, Haı̈m. — Analyse fonctionnelle, Théorie et applications. Masson 1987
[2] Dugundji, James. — Topology, Allyn and Bacon 1966
[3] Rudin, Walter. — Real and complex analysis, International student edition,
McGraw-Hill 1970 (il existe une traduction française)
[4] Rudin, Walter. — Functional analysis, McGraw-Hill 1973
Pierre Bérard
Institut Fourier
UMR 5582 UJF – CNRS
[email protected]
www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard/notes_cours.html
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