Applications linéaires continues

Analyse 10 – Applications lin´eaires continues entre espaces vectoriels norm´es.
Exemples et applications.
On note K=Rou C,E, F, G d´esignent des e.v.n. et T
est une application lin´eaire de Edans F.
1. G´ en´ eralit´ es
D´efinition. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :
(i)Test continue sur E
(ii)Test continue en 0
(iii)Test uniform´ement continue
(iv)Test Lipschitzienne
(v)Test born´ee sur la sph`ere unit´e S
(vi)Test born´ee sur la boule unit´e ferm´ee B
On note L(E, F ) l’ensemble des applications lin´eaires
continues de Edans F(et L(E) = L(E, E)).
Exemple. L1→L1, f 7→ b fest continue.
Exemple. Soit E=R[X] muni de 
PaiXi =
max |ai|alors T:P7→ P0n’est pas continue.
Remarque. Si Eest de dimension finie alors toute ap-
plication lin´eaire de Edans Fest continue. Sinon, il
existe toujours une application lin´eaire non continue.
Proposition. L(E, F )est un espace vectoriel ; de plus,
si S∈ L(F, G)alors |||S◦T||| ≤ |||S||| · |||T|||.
Proposition. On d´efinit une norme sur L(E, F )par
|||T||| = sup
x6=0
kT(x)k
kxk= sup
kxk≤1kT(x)k
= sup
kxk=1 kT(x)k= inf{c > 0; ∀x, kT(x)k ≤ ckxk}
Exemple. Soit E=Lpmuni de k kp,g∈Efix´ee et
T(f) = Rfg alors |||T||| =kgkqo`u 1
p+1 q= 1.
Exemple. Soit E=c0muni de k k∞et T(u) = Pun
2n+1
alors |||T||| = 1 mais cette norme n’est pas atteinte.
Exemple. Si E=Rnest muni de la norme k k2alors
la norme induite sur L(E) est donn´ee par |||T|||2=
pρ(T∗T).
Application. Si |||T||| <1 alors id −Test inversible
d’inverse PTn.
Proposition. Si Fest complet alors L(E, F )est com-
plet pour ||| |||.
Exemple. Le dual E0=L(E, K) de Eest complet.
2. Dualit´ e et formes lin´ eaires
On suppose ici que Test une forme lin´eaire sur E.
Proposition. On a ´equivalence entre
(i)Test continue,
(ii) ker Test ferm´e,
(iii)E\ker Tn’est pas connexe par arcs.
Remarque. Si T∈E0alors d(x, ker T) = |T(x)|
|||T||| .
Th´eor`eme de Hahn-Banach (version analytique).
Soit Mun sous-espace de Eet ϕ∈M0. Alors il existe
T∈E0qui prolonge ϕet telle que |||T||| =|||ϕ|||.
Application. Soit Mun sous-espace ferm´e de Eet
x0/∈E. Il existe T∈E0nulle sur Met telle que |||T||| = 1
et d(x0, M) = T(x0).
Application. Un sous-espace Mde Eest dense si et
seulement si tout ϕ∈E0nulle sur Mest identiquement
nulle.
Application. kxk= sup
|||T|||≤1kT(x)k
Il s’ensuit que Eest isom´etrique `a un sous-espace de
E00.
Th´eor`eme de Hahn-Banach (version g´eom´etrique).
Soit Mun sous-espace de Eet Aun ouvert convexe non
vide de Etel que M∩A=∅. Alors il existe un hyperplan
lin´eaire ferm´e Hde Etel que M⊂Het H∩A=∅.
Corollaire. Soit Aun convexe ferm´e de Eet Kun
convexe compact de Etels que A∩K=∅. Alors il
existe T∈E0telle que : sup
x∈K
Re T(x)<inf
y∈ARe T(y).
Corollaire. Soit Kune partie compacte de E. Alors
x∈Eest adh´erent `a l’enveloppe convexe de Ksi et
seulement si pour tout T∈E0, on a : Re T(x)≤
sup
y∈K
Re T(y).
Application. L’enveloppe convexe de O(n) dans
Mn(R) est la boule unit´e pour ||| |||2.
D´efinition. On dit qu’une suite (xn)nde Econverge
faiblement vers xsi `(xn)→`(x) pour tout `∈E0.
On dit qu’une suite (`n)nde E0converge faiblement-?
vers `si `n(x)→`(x) pour tout x∈E.
Th´eor`eme de Banach-Alaoglu. Si Eest s´eparable
alors la boule unit´e ferm´ee de E0est faiblement-?com-
pacte.
3. Cas des espaces de Banach
Th´eor`eme de Banach-Steinhaus. Si Eest de
Banach et si (fi)i∈Iest dans L(E, F )et v´erifie
sup
i∈Ikfi(x)k<∞pour tout x∈E, alors sup i∈I|||fi||| <∞.
Application. Si une suite (xn)nde Etend faible-
ment vers xalors (xn)nest fortement born´ee et kxk ≤
lim inf kxnk.
Application. Il existe une fonction continue dont la
s´erie de Fourier diverge en 0.
Th´eor`eme de l’application ouverte. Si Eet Fsont
de Banach et T∈ L(E, F )est surjective alors Test ou-
verte.
Remarque. L’hypoth`ese de compl´etude est n´ecessaire :
prendre E=C(N)norm´e par k k∞et l’application
lin´eaire continue bijective (un)n7→ (un
n)n(de norme
1).

Corollaire (Banach).Si Eet Fsont de Banach et
T∈ L(E, F )est bijective alors T−1∈ L(F, E).
Corollaire (graphe ferm´e).Si Eet Fsont de Banach
et si le graphe de Test ferm´e alors T∈ L(E, F ).
Application. Soit Fun sous-espace ferm´e d’un espace
de Banach, on a ´equivalence entre :
(i)Fposs`ede un suppl´ementaire ferm´e
(ii) il existe une projection continue de Esur F
Application. L1([0,2π]) →c0(Z), f 7→ (b f(n))n∈Zest
continue, injective, de norme 1 mais n’est pas surjective.
4. Cas des espaces de Hilbert
On note Hun espace de Hilbert.
4.1. Th´eor`eme de Riesz.
Th´eor`eme de Riesz. Pour tout T∈H0, il existe a∈
Hunique tel que T=ha, ·i. De plus, on a |||T||| =kak.
Exemple. g7→ Rfg est une isom´etrie de L2sur L2.
Application. Dual de Lpen mesure finie pour 1 < p <
2.
Application. D´efinition de l’adjoint T∗de T.
4.2. Op´erateurs compacts.
D´efinition. On dit que T∈ L(E, F ) est un op´erateur
compact si l’image par Tde la boule unit´e ferm´ee de E
est relativement compacte dans F.
Exemple. Soit E=C([0,1],C) et K: [0,1]2→C
continue, on pose T(f)(x) = R1
0K(x, t)f(t)dt alors T
est un op´erateur compact.
Exemple. Si Hest s´eparable et si T∈ L(H) est tel
qu’il existe une base orthonorm´ee (en)nde Hv´erifiant
PkT(en)k2converge, alors Test un op´erateur compact.
Contre-exemple. Soit E=`2et T((xn)n) = (yn)no`u
ym=Pxn
n+malors Tn’est pas un op´erateur compact.
Proposition. Si Hest s´eparable alors T∈ L(H)est
un op´erateur compact si et seulement si kT(xn)k → 0
pour toute suite (xn)ntendant faiblement vers 0.
Proposition. Tout op´erateur compact sur Hest limite
d’une suite d’op´erateurs de rang fini.
Proposition (alternative de Fredholm).Si Test un
op´erateur compact sur Halors S= id −Test injectif si
et seulement si Sest surjectif.
Application. ´ Etude de l’´equation int´egrale de Fred-
holm.
4.3. Analyse de Fourier dans L2.
−→ Vecteurs propres de la transformation de Fourier
D´ eveloppements
Caract´erisation de la continuit´e d’une forme
lin´eaire.
Enveloppe convexe de O(n).
Dual de Lp.
Vecteurs propres de la transformation de Fou-
rier.
R´ ef´ erences
[1] H. Brezis, Analyse fonctionnelle, Dunod, 1999.
[2] W. Rudin, Analyse r´eelle et complexe, Dunod, 1998.
[3] Y. Sonntag, Topologie et analyse fonctionnelle, Ellipses, 1998.
[4] H. Queff´elec et C. Zuily, ´ El´ements d’analyse pour l’agr´egation,
Dunod, 2002.