Nombres complexes

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Nombres complexes
I-  :
1) Définitions :
Exemples :
+démonstration.
Exemples :
   : un nombre complexe de forme algébrique  avec  est appelé imaginaire pur.
   : la   .
On appelle ensemble des nombres complexes, et on note, un ensemble contenant    
tel que :
multiplication de  et qui suivent les mêmes règles de calcul.
 Il existe dans  un nombre complexe noté  tel que .
   où  et  sont des réels.
 On le note généralement.
DEFINITIONS
    , où  et  sont des réels, est unique.
PROPRIETE
Soit  un nombre complexe.
    , où  et  sont des réels, est appelée forme algébrique du nombre
complexe .
  est appelé partie réelle de .
  est appelé partie imaginaire de .
On note     
DEFINITIONS

2
+ démonstration.
Exercice :
1) Soient    et    .
Calculer et écrire sous la forme algébrique :     .
(Si votre calculatrice le permet, vérifier le résultat)
2) Soit       .
a- A quelle condition  est-il un réel ?
b- A quelle condition  est-il un imaginaire pur ?
3) a- Résoudre dans     .
b- Montrer que    
c-    .
2) Représentation dans le plan complexe :
Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même
partie imaginaire.
-à-dire que si  sont des réels, on a :
PROPRIETE
On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct 
.
Au point  de coordonnées , on peut associer le nombre complexe    .
On dit que     est de  ou que  est
 de    .
Au vecteur 
de coordonnées 
, on peut associer le nombre
complexe    .
On dit que     est  de 
ou que 
vectorielle de   
DEFINITIONS

3
se place dans le plan complexe.
Exercice :
 :
+ démonstration.
+ démonstration.
[
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O
Si  a pour affixe    et si  a pour affixe    avec  réels, alors :
 Le vecteur 
a pour affixe    ;
 Le milieu  de  a pour affixe  
PROPRIETES
Si 
a pour affixe  et 
pour affixe , alors 
a pour affixe .
Si  est un réel, alors 
a pour affixe .
PROPRIETES

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Exercice :
1) Etant donné un point     , avec  et  réels, placer :
 Le point     
 Le point    
 Le point       
2) a- Calculer . En déduire la forme algébrique de 
b- Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes suivants :
3) Inverse et quotient :
4)  :
Remarque :
Si   alors le point   est le symétrique de  
abscisses.
Exercice :
Soit    et   .
Calculer 
Tout nombre complexe  non nul admet dans  un inverse noté 
PROPRIETE (admise)
Soit  un nombre complexe non nul. On définit le quotient 
 par 
DEFINITION
Soit  un nombre complexe de forme algébrique .
On appelle conjugué de  le nombre complexe noté  tel que   .
DEFINITION

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+ démonstration.
Exercice :
1) Ecrire sous la forme algébrique les nombres complexes suivants :
2)   , donner la solution sous la forme algébrique.
3) Le nombre complexe  est-   ?
4) Le nombre complexe 
 est-    ?
5) Ecrire plus simplement le nombre complexe :   
 .
II- Forme trigonométrique  Module  Argument :
1) Forme trigonométrique :
Pour tous nombres complexes  et , on a :
*    * est un réel positif
* 
 * 
 * 
  est réel     *  est imaginaire pur    
PROPRIETES
Tout nombre complexe non nul     , avec
 et .
On dit que    est une forme trigonométrique de.
DEFINITION
Si deux nombres complexes  et  sont écrits sous forme trigonométrique :
   et    , alors :
   + démonstration.
PROPRIETE