Propriétés et applications

LP 31 Propriétés et applications
Du rayonnement dipolaire électrique
Intro: Nous avons étudié précédemment la propagation des ondes électromagnétiques dans
le vide ou dans les milieux matériels, mais sans nous préoccuper de leur production par des
charges en mouvement.
Ici nous allons étudier un système simple mais important : le rayonnement dipolaire
électrique. Ce système est fondamental, car il permet de donner une interprétation du
rayonnement électromagnétique à partir du mouvement d'oscillation de charges électriques.
Par ailleurs, il permet également de comprendre les aspects de la diffusion, dont la
conséquence la plus commune est la couleur bleue du ciel, ainsi que le fonctionnement des
antennes.
A) Etude du rayonnement du dipôle:
1) Potentiels créés par le dipôle:
r1
Le potentiel vecteur créé par cette distribution de courant vaut:
 

r  r' 
+q

r2
i t 
 
c  
 0  a 
-q
Ar  
ez
dr '
 

4  a
r  r'


où r est le point où l'on calcule le potentiel et r ' la position du
point courant le long de la distribution de courant.
Dans toute la suite on supposera r  a .
On a, dans le cadre de cette approximation, à l'ordre zéro pour le potentiel vecteur:
 r
i t  
 

c 
Ar   0 a 
ez .
4
r
dq d  p  1 o

    p , où p est le module du moment dipolaire p  q NP .
Or on a i 
dt dt  a  a
On tire de ceci que:
o
 r
p t  
 

c 
Ar   0 
ez
4
r

r
 1 V
0
Pour calculer V, on dispose de la jauge de Lorentz divA  2
C t
 A A r A z
1 V


 2
Or divA 
z r z r r
C t
oo
 o

A
cos   pt  r / c  pt  r / c 
2
dt  

Donc V  C cos .

r
40  
rc
r2


Et finalement, après intégration:

V r , t  
o





p
t

r
/
c
p
t  r / c 

cos



40
rc
r2


1
2) Champ électromagnétique créé par le dipôle:


On a directement le champ magnétique par B  rot A
On a donc, en coordonnées cartésiennes:
A
y A

y
r r
x A

r r
Bx 
By

A  y 
x 
d'où B     e x  e y 
r  r
r 
0 x/r  y/r
 

Or on a e z  er  0  y / r  x / r  sin  .e
1 z/r
0


A
On a donc B   sin  .e et enfin
r
 
1 oo
1 o

B  0 sin   2 pt  r / c   pt  r / c 
4
rc
r




A
On tire alors E de E   gradV 
t
Soit
o
oo
oo

 






1
2
p
t

r
/
c
2
p
t

r
/
c
p
t

r
/
c
  0 cos . pt  r / c 
Er  
cos 


3
2
2

 4
40
r
r
r c
rc


o





p
t

r
/
c
p
t  r / c 


2 cos


40
r3
r 2c 


De même on calcule:
o
oo






1
p
t

r
/
c
p
t

r
/
c
pt  r / c 
E 
sin  




40
r3
r 2c
rc 2


1
Finalement on a comme expression
o





p
t

r
/
c
p
t  r / c 

2 cos 


4 0
r3
r 2c 


o
oo







1
p
t

r
/
c
p
t

r
/
c
pt  r / c  
E
sin  




4 0
r3
r 2c
rc 2


0
1
On fait à présent l'hypothèse que r   . Cette approximation est plus forte que
r'
r
t   t  car on a r  r '  a  t  r / c  t  r ' / c  a / c donc si a / c  T , on peut
c
c
a
négliger le décalage. Or  T  a  cT  a   .
c
Cette approximation permet alors de définir trois domaines dont la zone de rayonnement,
par opposition à la zone statique.
En effet, si on suppose que pt   p0 cos t , on a:
Zone statique
r  
p pà

r3 r3
Zone intermédiaire
r 
o
p
p
 30
2
r c r
Zone de rayonnement
r  
oo
r
 

p
rc 2
r
 

2
Dans le cadre de cette approximation, on a alors:

E

oo
E 
  0 p

p
sin  .e ; B 
sin  .e 
e
4rc
c
40 rc 2
oo
On remarque donc les propriétés suivantes :


1
- E et B varient en , ce qui les différencient du champ électromagnétique créé par un
r
1
dipôle statique où les champs varient en 3 .
r
  er  
 
- EB et B     E donc le champ électromagnétique a une structure locale d'onde
c

plane de direction de propagation er .



- E et B sont en phase.
E
3) Aspect énergétique:
Le vecteur de Poynting s'écrit pour le rayonnement dipolaire:
 
 EB
R
0

R
oo 2

1
p sin 2  .er
2 2 3
16 r c
D'où on tire la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting, en régime sinusoïdal:
2

  2 p0 sin   
1

 .er
R 
r
32 2 0 c 3 

Ainsi, la puissance moyenne rayonnée à travers une sphère de rayon r vaut:
2
 4 p02  3
1  4 p02
P 
sin

.
d

d


0
40 3c 3
32 2 0 c 3 0
Et en remaniant quelque peu l'expression:
  0   a  I m2
 . p0
   
, avec I m 
a
  0    2
On définit alors la résistance au rayonnement par
2
2
P
2   0   a 
a

     790  
Rr  2 2 
3   0    
Im

2
P 
3
2
B) Conséquences et applications:
1) Diffusion atomique:
Considérons un modèle classique de l'atome:

E

p
On interprète le phénomène de diffusion par un modèle de l'électron élastiquement lié dans

lequel un électron atomique est soumis à une force de rappel de la forme  me 02 r et à une

dr
force de frottement visqueux  
et enfin à la force de Lorentz  e.E m e  it due au champ
dt
électrique incident.
On a donc, en projection suivant Oz , direction de polarisation du champ incident:
oo
o
me z  me 02 z   z  e.E m e it
oo
Soit z 
m
1o
e
z   02 z  
.E m e it , où   e

me

D'où on tire directement
 e.E m
z
e it
i



me   02   2  
 


2
 e .E m

p
e it
i 

me   02   2  
 





La puissance rayonnée s'écrit alors:
2
4
e 4 .E m2  4
1  p 0  
P 

i 
4 0
3c 3

12 0 c 3 me  02   2   
 

soit
rc 
donc

1 E m2
P    
    R ,
c 2 0
avec

8rc2 
4
   

3  2
2
2 2
 2
  0  








et
e2
, grandeur appelée rayon classique de l'électron.
40 me c 2
Remarque: dimensionnellement, on a    L2 . C'est la section efficace de rayonnement :
c'est la fraction de la puissance par unité de surface empruntée au champ incident.
Application: pour le ciel, on a    0 car  0  1017 Hz et . vis  1014 Hz , donc
l'expression de la section efficace de rayonnement se réduit à:
cste
    4 .

Le phénomène de diffusion est donc plus fort dans les courtes longueurs d'ondes (bleu), ce
qui explique la couleur du ciel. Par ailleurs, la couleur rouge du soleil couchant provient du
même phénomène. Lorsque la lumière solaire à traversé une grande épaisseur d'atmosphère
(soleil couchant en incidence rasante), il a plus diffusé dans le bleu que dans rouge, et donc la
lumière transmise contient plus d'intensité dans le rouge que dans le bleu.
2) Antennes:
Une antenne peut-être considérée comme une assemblée de petits dipôles oscillants.
En remaniant un peut l'expression du champ électrique rayonné par un dipôle en régime
 r

  0  I m a sin  i  t  c  
 . p0
sinusoïdal, on obtient que E   
, intensité
e
e , avec I m 
a
  0  2r
maximale.
Pour un petit dipôle de longueur dz ,dans le cas usuel des antennes rectilignes, on a alors:
 PM 

  0  iz dz sin  i  t  c  


dE   
e
e
  0  2.PM
Or on a

PM  r 2  OP 2  2r .OP

P

 r  er .OP
Et donc, pour le champ électrique:
 Pr 

  0  sin  i  t  c  
E   
e
e  iz e i 2u. z dz
  0  2.r
cos
avec u 



On voit donc que l'on retrouve le champ électromagnétique produit par un dipôle unique

centré en O multiplié par la transformée de Fourier spatiale de im z  , i u 
Si on étudie alors le cas important des antennes demi-onde, c'est-à-dire les antennes de

 2 
z  , on trouve:
longueur l  dans laquelle iz   I m cos
2
  
  cos   
cos  .


I m  
2
  et donc comme expression de E :

i u   
  sin 2 







E    0
 0
 cos
cos 
 I m 
2

 

sin 
  2r 

 i  t  r 
 e  c  e

Exprimons le vecteur de Poynting, puisque l'onde est localement plane:
 cos 
cos 2 
2


1
1  Im 
2  

 
R 
E 2 er  2
er
c 0
8  0 c  r 
sin 2 
Si on calcule alors le flux de ce vecteur à travers une surface sphérique de centre O et de
rayon r, on a:
 cos 
cos 2  .


 
1
2 

2
P   R dS 
I m 
d
sin

4 2 0 c
 0
Qui donne numériquement:
P  36,5I m2
Soit une résistance au rayonnement Rr  73  . Le rayonnement électromagnétique d'une
antenne demi-onde est donc plus fort que celui d'un simple dipôle, d'où l'intérêt du système.
Ces antennes sont très utilisées dans l'émission radio par exemple, mais aussi dans les
radars où elles sont plusieurs parcourues par un courant qui est déphasé d'une antenne sur
l'autre. Ceci permet de réaliser une anisotropie du rayonnement qui est très utilisé dans les
radars. La variation temporelle du déphasage permet par ailleurs de réaliser des radars
"tournants" à grande vitesse, sans passer par une rotation mécanique du système.