Trigonométrie

Trigonométrie
7. Equations trigonométriques simples.
Opérations de base.
Il faut toujours s'arranger afin de revenir à l'une de ces 4 opérations de base.
Sin x = sin a
Cos x = Cos a
Tg x = tg a
Cotg x = cotg a
La résolution d'une équation revient à rechercher la ou les valeurs possibles pour l'angle x.
Résolution de ces équations de base.
L'équation de base sin x = sin a
admet 2 solutions : x = a + (k x 360°) ou x = 180° - a + (k x 360°)
Ou k représente un réel entier (0, 1, 2, 3, 4,…) auquel on donnera successivement toutes ces
valeurs lors de la recherche finale des solutions.
L'équation de base cos x =cos a
admet 2 solutions : x = a + (k x 360°) ou x = -a + (k x 360°).
L'équation de base tg x = tg a
admet une seule solution : x = a + (k x 180°)
L'équation de base cotg x= cotg a
admet une seule solution : x = a + (k x 180°)
Changements de signes.
Pour changer le signe d'un sinus ou d'un cosinus, il suffit d'ajouter 180° à l'angle. Ceci revient
à travailler avec son angle supplémentaire.
Exemple : - sin 30° = sin (30°+180°) = sin 210°
Pour changer le signe d'une tangente ou d'une cotangente, il suffit de "transférer" le signe.
Ceci revient à travailler avec son angle opposé.
Exemple : - tg 30° = tg (- 30°)

Exemples résolus.
1) Equation : cos x = ½.
Il faut donc s'arranger pour arriver à cos x = cos a.
Le membre de gauche (cos x) est déjà en cos x.
Le membre de droite (1/2) doit être transformé en cos.
Dans la table page 8 on trouve les valeurs de sin, cos, tg et cotg pour les angles (6. Valeurs
numériques des nombres….)
On y lit que ½ correspond au cosinus de l'angle 60°.
Donc nous pouvons remplacer ½ par cos 60°.
Ce qui nous donne : cos x = cos 60°.
Nous sommes bien parvenu à une équation de base décrite ci-dessus (cos x = cos a).
Cette équation amdet 2 solutions : x = a = (k x 360°) et x = - a + (k x 360°)
Donc nous écrirons :
x = 60° + (k x 360°) et x = -60° + (k x 360°)
Donnons toutes les valeurs possibles pour k et calculons :
X = 60° + (0 x 360°) = 60° x = - 60° + (0 x 360°) = - 60°
X = 60° + (1 x 360°) = 420° x = - 60° + (1 x 360°) = 300°
X = 60° + (2 x 360°) = 780° x = - 60° + (2 x 360°) = 660°
Etc… Etc…
Pour écrire la solution, il ne faut retenir que les valeurs comprises entre 0° et 360°.
Ces valeurs sont 60° et 300°.
Ces deux valeurs représentent les valeurs possibles de l'angle x pour un cos 60° (soit ½).
Si on contrôle à la machine : 60° => cos = 0,5 et 300° => cos = 0,5.
On constate également qu'il ne sert à rien de donner à k des valeurs qui vont faire dépasser la
limite de 360°.
2) Equation : tg x/3 = -1
Il faut modifier le membre de gauche pour arriver à une équation de base (tg x = tg a)
Dans le tableau page 8, on voit que 1 est la tangente de l'angle 45°.
Donc 1 = tg 45° et donc – 1 = - tg 45°.
Que l'on doit écrire tg (-45°) (voir ci-dessus : changement de signes)
On écrira donc : tg x/3 = tg (-45°).
Cette équation de base admet une seules solution : x = a + (k x 180°)
On écrira donc x/3 = -45° + (k x 180°)
On effectue x = -45° x 3 + (k x 180° x 3)
X = - 135° + (k x 540°)
En donnant les valeurs successives à k , on trouve les solutions suivantes (on arrête dès que la
réponse dépasse 360°)
X = - 135° + (0 x 540°) = - 135°
X = - 135° + (1 x 540°) = 405°
Les solutions sont donc – 135° et 405 ° (Dans le cas de tg et cotg, on peur prendre des angles
négatifs et supérieurs à 360°.

3) Equation : sin (4 x + 180°) = sin (x – 90°).
On a déjà la forme d'une équation de base, à savoir sin x = sin a
x étant représenté par (4x + 180°) et a étant représenté par (x – 90°).
Les 2 solutions admises sont x = a + (kx 360°) et x = 180° - a + (k x 360°)
On écrira :
4x + 180° = (x – 90°) + (k x 360°) et 4x + 180° = 180° - (x – 90°) + (k x 360°)
4x = - 180° + x – 90° + k.360° 4x = -180° + 180° - x + 90° + k.360°
4x – x = - 270° + k.360° 4 x + x = 90° + k.360°
3x = - 270° + k.360° 5x = 90° + k.360°
x = - 270°/3 + k. 360°/3 x = 90°/5 + k.360°/5
et enfin
x = - 90° + k.120° x = 18° + k.72°
en donnant les valeurs successives pour k (jusque max 360°) on trouve
x = - 90° + 0 = - 90° x = 18° + 0 = 18°
x = -90° + 120° = 30° x = 18° + 72° = 90°
x = -90° + 240° = 150° x = 18° + 144° = 162°
x = -90° + 360° = 270° x = 18° + 216° = 234°
x = -90° + 480° = 390° x = 18° + 288° = 306°
x = 18° + 360° = 378°
on arrête ici car les réponses sont > 360°
Donc les solutions comprises entre 0° et 360° sont, dans l'ordre :
18°, 30°, 90°, 150° , 162° , 234°, 270° et 306°.
Exercices proposés.
Sin (3a + 120°) = √3/2
√3/2 = sin de l'angle 60°  sin (3a + 120°) = sin 60°
solutions : x = a + k.360° et x = 180° - a + k.360°
 3a + 120° = 60° + k.360° 3a + 120° = 180° - 60° + k.360°
3a = 60° - 120° + K.360° 3a = - 120° + 180° - 60° + k.360°
3a = - 60° + k.360° 3a = k.360°
a = -60°/3 + k.360°/3 a = k.360°/3
a = -20° + k.120° a = k.120°
En donnant à k toutes les valeurs successives (0,1,2,…) on trouve comme solutions
a = -20°,100°,220° et 340° a = 0°, 120°, 240° et 360°
En ne retenant que celles comprises entre 0° et 360° : (0°, 100°, 120°, 220°, 240°, 340°, 360°)