Fonctions polynomiales, racines

Ici, K est un corps commutatif quelconque.
I Fonction polynomiale
Définition :
Soit
][XP K
,
Nk
k
kXaP
où les
k
a
sont nuls à partir d’un certain rang.
La fonction polynomiale associée à P est la fonction :
N
KK
k
k
kxaxPx
P)(
~
:
~
Attention :
][XP K
, c’est un polynôme formel,
),(
~KKFP
, c’est une fonction polynomiale.
Théorème :
Soit
Kx
. Alors, pour tous
][, 21 XPP K
et tout
K
:
)(
~
~)(
)(
~
)(
~
)(
~)(
~
)(
~
)(
~
11
2121
2121
xPxP
xPxPxPP
xPxPxPP
K
1)(1
~x
(Démonstration immédiate)
On en tire alors le théorème :
),(
11
2121
2121
11
~
~
~
~~
~
~~
~
KKF
PP
PPPP
PPPP
(Car
))(
~~
()(
~
,2121 xPPxPPx  K
, et de même pour les autres)
Ainsi, l’application
PP
X~),(][
KKK F
est un morphisme de l’anneau
),],[( XK
vers
l’anneau
),),,(( KKF
.
II Racines
A) Définition et caractérisation formelle
Soit
][XP K
et
K
.
On dit que est une racine (dans K) de P lorsque
K
0)(
~
P
Théorème :
Soit
][XP K
et
K
.
Alors est racine de P si et seulement si
)( X
divise P.
Démonstration :
Déjà,
)( X
est non nul.
On peut donc faire la division euclidienne de P par
)( X
:
RQXP  )(
, où
][XQ K
et
][
0XR K
, soit
K rR
.
Donc
rQXP  )(
Donc
rQXP ~
~
)
~
(
~
d’où
rrQP  )(
~
0)(
~
K
.
Donc est racine de P si et seulement si
0r
soit si
)( X
divise P.
Fonctions polynomiales, racines

B) Multiplicité
Soit
K
K0\][XP
.
Soit un scalaire. On suppose que est racine de P. La multiplicité de dans P
est, par définition,
PXkm k divise )(,max  N
.
La définition est bien correcte car l’ensemble est non vide (contient 1) et est
majoré (par
)deg(P
)
On peut convenir que est de multiplicité 0 lorsque n’est pas racine de P.
C) Le premier théorème de factorisation
Théorème :
Soit
K
K0\][XP
. Soient
p
,..., 21
des racines distinctes de P de multiplicités
au moins égales à
p
,..., 21
.
Alors
p
iii
X
1)(
divise P.
Démonstration :
Les polynômes
niX i,1),(
sont irréductibles dans
][XK
(car de degré 1).
Ils tous distincts et unitaires, donc les
niX i
i,1,)( 
sont premiers entre eux. De
plus, ils divisent tous P. Donc leur produit divise P.
Conséquence :
Soit
K
K0\][XP
de degré
Nn
. Alors le nombre de racines de P (en les
comptant selon leur multiplicité) est inférieur ou égal à n.
Démonstration :
Si P admet les racines
p
,..., 21
distinctes avec les multiplicités
p
,..., 21
,
alors
p
iii
X
1)(
, de degré
n
kk 1
, divise P donc
n
n
kk 1
.
Conséquence pratique :
Si
][XP n K
, et si on a trouvé
1n
racines distinctes à P, alors
0P
.
Conséquence :
On suppose K infini.
Alors l’application
PP
X~),(][
KKK F
est injective :
Si
QP ~
~
, alors
K
0
~
~ QP
, soit
K
0
~ QP
, c'est-à-dire
K
K0)(
~
, xQPx
. Donc
QP
~
a une infinité de racines. Donc
K
0QP
. Donc
QP 
.
Dans la suite du chapitre, K est un sous corps de C. K est donc infini (car il contient au
minimum Q puisqu’il contient 0 et 1 et est stable par +, et passage à l’inverse)
Ainsi, on a l’équivalence, pour tout
][, XQP K
:
QPQP  ~
~
.
On peut donc retirer les ~ mais on distinguera
Nk
k
kXaP
et la fonction
)(xPx 
.
III Dérivation formelle
A) Définition
Soit
][XP K
,
Nk
k
kXaP
où les
k
a
sont nuls à partir d’un certain rang.

Alors le polynôme dérivé de P est par définition le polynôme :
*
1
'Nk
k
kXkaP
On définit par récurrence le polynôme dérivé n fois de P :
)'(*, )()1(
)0(
nn PPn
PP N
Remarque : si on considère la fonction
)(
:xPx P
CR 
, on remarque que
')'(PP 
B) Propriétés
 Si
nP deg
, alors
)(n
P
est constant, non nul si et seulement si
nP deg
.
En effet :
Si
01
1
1... aXaXaXaP n n
n
n 
,
Alors
1
2
1
1...)1(' aXanXnaPn
n
n
n 
Donc si
1deg  nP
, alors
1'deg  nP
, d’où par récurrence
0deg )( 
n
P
.
Et si
0 degP
, alors
0'P
.
)(''))'((
)1(')'(
)('')'(
.).('.)'.(
)('')'(
1
0
)()()(
)()(
)()()(
QPQQP
mPmPP
QPCPQPQQPQP
PPPP
QPQPQPQP
mm
k
i
ikii
k
k
nn
kkk
Démonstration :
(1) On a :
)(')(')()'(, xQxPxQPx  R
Donc
'')'(QPQP 
a une infinité de racines, donc
'')'(QPQP 
.
De même, (2), (3), (4), puis par récurrence pour les dérivées k-ièmes.
Pour (5), la démonstration ne convient pas si Q n’est pas à coefficients réels.
Dans ce dernier cas (et aussi dans les autres) :
Nk
k
kQaQP )(
Donc
*
1
'))'(( Nk
k
kQkQaQP
(d’après (1), (2), (4))
Soit
)('''))'(( *
1QPQkQaQQP k k
k 
N
.
Remarque :
piX
ipppi
Xip
ip 0 si
)!(!
si 0
)( )(
Ainsi,
pip
pi
XD pi si !
si 0
)0)((
)(
C) Formule de Taylor pour les polynômes
Théorème :
Soit P un polynôme, soit
Nn
tel que
Pn deg
.
Alors pour tout
Kba,
:

)(...)('')(')()( )(
!!2
2aPaPabPaPbaP n
n
bb n
Démonstration :
- Si
0a
:
On veut montrer que
)0(...)0(')0()(, )(
!n n
xPxPPxPx n
 K
n
k
k
kXaP 0
.
Donc pour tout
Np
:
n
k
kp
k
pXDaPD 0 )()( )()(
Donc
p
papPD !)0)(( )( 
. Donc
!)0)((
)(
p
PD
ap
p
.
- Cas général :
On pose
)()( XaPXQ 
.
Alors
)()(, )()( XaPXQk kk  N
(car
1)'( Xa
)
Donc
 n
k
k
kx
k
Q
xQx 0
)(
!)0(
)(,K
Soit
 n
k
k
kx
kaP
xaPx 0
)(
!)(
)(,K
Théorème (plus général) :
Soit
][XP K
. Soit
Nn
tel que
Pn deg
. Alors, pour tous
][, XBA K
:
 n
k
k
kB
kAP
BAP 0
)(
!)(
)(
.
Démonstration :
Pour tout
Kx
, on a :
 n
k
k
kkxAP
xBxBxAP 0
)(
!))((
))(())()((
(d’après le théorème précédent avec
)(xAa 
et
)(xBb 
)
D’où l’égalité des polynômes formels
)( BAP 
et
n
k
k
kkAP
B
0
)(
!)(
puisqu’ils
coïncident sur K.
D) Application à la multiplicité
Théorème :
Soient
0\][XP K
,
K
et
*Nk
. Alors est racine d’ordre au moins k
de P si et seulement si :
0)()...()( )1()1()0(  
k
PPP
Par conséquent, est racine de P d’ordre exactement k si et seulement si :
0)()...()( )1()1()0(  
k
PPP
et
0)(
)(  k
P
.
Démonstration :
Soit
Nn
tel que
Pn deg
et
kn
. Alors :
   k
X
n
n
kR
k
kP
n
X
P
k
X
PXP
XPXP
)(par divisible polynôme
)(
1 degré de polynôme
)1(
1)(
!)(
...)(
)!1( )(
...)(')()(
))(()(
Donc R est le reste dans la division euclidienne de P par
k
X)(
.
On a donc les équivalences :

0
!)(
,1,0
0
!)(
)(
0
divise )( de moinsau ordred' racineest
)(
1
0
)(
i
P
ki
i
P
X
R
PXPk
i
k
i
i
i
k
Pour la dernière équivalence (l’un des sens étant évident) :
Si
0
!)(
)(
1
0
)( 
k
i
i
ii
P
X
, alors
0
!)(
)(, 1
0
)(  
k
i
i
ii
P
xx K
,
donc
0
!)(
,1
0
)(  
k
i
i
ii
P
yy K
.
Ainsi,
0
!)(
1
0
)( 
k
i
i
ii
P
X
, d’où
0
!)(
,1,0 )(  i
P
ki i
.
IV Polynôme scindé
A) Définition
Soit
][XP K
, de degré
1n
.
On dit que P est scindé (dans K) lorsque P a toutes ses racines dans K, ce qui
équivaut à dire que P admet exactement n racines dans K en comptant les multiplicités
et aussi à dire qu’il existe
*Np
, des éléments
p
,...,21
de K distincts, des éléments
p
,..., 21
de
*N
et
*Ka
tels que
 p
iii
XaP 1)(
(théorème de factorisation),
ou à dire qu’il existe n éléments
n
,..., 21
de K et
*Ka
tels que
 n
ii
XaP 1
.
Exemple :
1
3X
est scindé dans
][XC
mais pas dans
][XR
B) Relations entre coefficients et racines pour un polynôme scindé
1) Fonctions symétriques élémentaires
Soit
*Nn
. On définit les fonctions
n
,..., 21
de
n
K
dans K par les
formules :
n
iinn
kji kjin
ji jinnnnn
n
iinn
1
21
213
123213121212
1
21211
),...,(
),...,(
.........),...,(
...),...,(
Pour
k
k
iii iiink
nk ...
21
21
21 ...),...,(,,1
Ces fonctions sont symétriques, c'est-à-dire :
Etant donnée
KK 
n
f:
, on dit que f est symétrique lorsque :
)...,()...,(,,),...,( 21)()2()1(21 nnsssn
n
nxxxfxxxfsxxx  SK
.
Ce sont les fonctions symétriques élémentaires sur n éléments en vertu d’un
résultat (hors programme) : toutes les fonctions symétriques rationnelles sur n
éléments sont fonctions rationnelles des
k
.