1 L`anneau des polynômes - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

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POLYNÔMES
Dans tout le chapitre, Kdésigne le corps Rou C.
1 L’anneau des polynômes
1.1 Polynômes et opérations
Définition 1 Un polynôme est une suite d’éléments de Knulle à partir d’un certain rang. On note K[X]
l’ensemble des polynômes à coefficients dans K.
Principe d’identification : deux polynômes sont égaux ssi ils ont les mêmes coefficients.
Notations : on pose Xk= (0, . . . , 0,1
|{z }
(k+1)termes
,0,...), désormais on écrira P=Pn
k=0 akXkou P=P+∞
k=0 akXk.
Opérations : combinaison linéaire et produit : si P=Pp
k=0 akXket Q=Pq k=0 bkXk, alors P Q =
Pp+q
k=0 ckXkavec
ck=X
i+j=k
aibj=
k
X
i=0
aibk−i.
On dit que K[X] muni de l’addition et du produit est un anneau commutatif.
Exercice : démontrer que Pn
k=0 n
k2=2n
nen calculant de deux façons différentes le terme de degré nde
(X+ 1)n(X+ 1)n.
1.2 Degré
Définition 2 Soit P=P+∞
n=0 anXnnon nul, on appelle degré de Pl’entier deg P= max{n∈N|an6= 0}.
Si P= 0, on pose deg 0 = −∞.
Dire que deg P=nrevient à dire que P=Pn
k=0 akXkavec an6= 0. Le nombre anest appelé coefficient
dominant. Lorsqu’il est égal à 1, on dit que Pest unitaire.
Proposition 3 (Degré d’un produit et d’une somme) On a
deg(P Q) = deg P+ deg Qet deg(P+Q)6max(deg P, deg Q).
Exemple : degré d’une composée de polynômes. On a par exemple deg P(X5) = 5 deg P(comprendre aussi
pourquoi si P= 1 et Q=X, on a P(X+ 1) = 1 et Q(X+ 1) = X+ 1).
Exercice : déterminer les polynômes Pde K[X] tels que P(X3) = X2P(X).
Corollaire 4 (Intégrité) Si P Q = 0, alors P= 0 ou Q= 0. On dit que K[X]est un anneau intègre.
Remarque : l’anneau Z/6Zn’est pas intègre car 3 ×2 = 0 mod 6. L’anneau des fonctions de Rdans Rnon
plus, prendre...
1.3 Substitution
Proposition 5 (Fonction polynomiale) Si P=Pn
k=0 akXkest un polynôme de K[X], pour tout α∈K,
on note P(α)l’élément Pn
k=0 akαkde K. La fonction e
P:K→Kqui à xassocie P(x)est appelée fonction
polynomiale associée au polynôme P. On a pour tout Pet Qdans K[X],
^
P+Q=e P+e Qet g P Q =e Pe Q.

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1.4 Point de vue informatique
On peut modéliser un polynôme par un tableau ou une liste de coefficients (des entiers, des flottants, ou des
matrices...).
On peu alors programmer une fonction degré, l’addition et la multiplication à l’aide des formules
sk=ak+bket ck=X
i+j=k
aibj=
k
X
i=0
aibk−i.
L’algorithme d’Horner permet d’évaluer un polynôme Pen une valeur αde manière efficace 1.
1.5 Notion de fraction rationnelle
On appelle fraction rationnelle un élément Fdu type P
Qavec Pet Qdans K[X] et Qnon nul. On appelle
degré de Fle nombre de Z∪ {−∞} défini par deg F= deg P−deg Q. L’ensemble des fractions rationnelles sur
Knoté est noté K(X). On dit que l’ensemble (K(X),+,×) est un corps.
2 La division euclidienne de K[X]
Définition 6 Soit Aet Bdeux polynômes de K[X]. On dit que Adivise Bs’il existe un polynôme Pde K[X]
tel que B=AP .
Proposition 7 Soit Aet Bdans K[X].
• Si Adivise Bnon nul, alors deg A6deg B.
• Si D∈K[X]divise Aet B, alors Ddivise D|AU +BV avec Uet Vdans K[X].
Comme sur Z, il y a une division euclidienne sur K[X]. C’est essentiellement grâce à cet outil fondamental
que les anneaux Zet K[X] se ressemblent beaucoup d’un point de vue arithmétique.
Théorème 8 (Division euclidienne) Soit Aet Bdans K[X]avec Bnon nul. Il existe un unique couple
(Q, R)de polynômes de K[X]tels que
A=BQ +Ret deg R < deg B.
Ce théorème assure l’existence mais fournit surtout un algorithme permettant d’effectuer cette division.
Exercice : reste de Xn+ 2X+ 1 dans la division euclidienne par X2−1.
3 Racines et factorisation
3.1 Lien entre racines et factorisation
Proposition 9 (aracine ssi factorisation par X−a)Soit P∈K[X]. Alors
a∈Kest une racine de P, c’est-à-dire P(a) = 0 ssi X−adivise P.
Proposition 10 (Multiplicité d’une racine) On dit que a∈Kest une racine de Pd’ordre (ou de multipli-
cité) r∈N∗lorsque l’une des deux propriétés suivantes équivalentes est vérifiée :
(i) (X−a)rdivise Pet (X−a)r+1 ne divise pas P
1. Si Pde degré n, pour évaluer P(α), avec un algorithme naïf, il faut faire Pn
k=1 k=n(n+1)
2multiplications et nadditions. C’est
une complexité quadratique. Avec l’Algorithme de HORNER, seulement nmultiplications et nadditions, donc une complexité
linéaire.

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(ii) il existe Q∈K[X]tel que P= (X−a)rQavec Q(a)6= 0
Si an’est pas racine de P, on dit que la multiplicité de avaut 0.
Théorème 11 (Majoration du nombre de racines par le degré) Soit P∈K[X]ayant a1,...,appour
racines de multiplicité r1,...,rp. Alors :
(X−a1)r1···(X−ap)rpdivise P.
De plus, la somme des multiplicités des racines est inférieure ou égale au degré du polynôme.
Exercice : Démontrer que X2+X+ 1 divise X311 +X82 +X15.
Corollaire 12 Un polynôme de degré inférieur ou égal à nqui admet n+ 1 racines est nul. En particulier, un
polynôme qui admet une infinité de racines est nul.
Applications :
• La fonction sinus n’est pas polynomiale.
• Déterminer les polynômes Pde degré 4 tels que P(0) = P(1) = 1, P (2) = 4, P (3) = 9 et P(4) = 16.
• Identification polynôme et fonction polynomiale
Corollaire 13 (Notion de polynôme scindé) Soit P∈K[X]ayant a1,...,appour racines de multiplicité
r1,...,rp. Si la somme des mutiplicité est égale au degré (c’est-à-dire r1+···+rp=n), alors
P=λ
p
Y
i=1
(X−ai)riavec λ∈Kle coefficient dominant.
On dit alors que Pest scindé sur K.
Exemples :
• le polynôme X2+ 1 n’est pas scindé sur Rmais l’est sur Ccar égal à (X−i)(X+i).
•
5X3+ 5X2+ 5X= 5X(X−j)(X−j) et Xn−1 =
n−1
Y
k=0
(X−ei2kπ
n).
• Les polynômes de Tchebychev sont scindés (pour tout n∈N, on note Tnl’unique polynôme de R[X] tel
que
∀θ∈R,cos(nθ) = Tn(cos θ).
3.2 Relations coefficients racines pour les polynômes scindés
On a en développant (X−x1)(X−x2) = X2−(x1+x2
|{z }
S
)X+x1x2
|{z}
P
avec Set Pla somme et le produit des
racines. On généralise :
Soit P=Pn
k=0 akXkun polynôme scindé de degré n>1. On a
P=an(X−x1)× · · · × (X−xn)
=an
Xn−(x1+···+xn)Xn−1+ (x1x2+x1x3+···+xn−1xn)
|{z }
somme de tous les produits de deux racines
Xn−2+···+ (−1)nx1. . . xn

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D’où
P=anXn−σ1Xn−1+σ2Xn−2+···+ (−1)nσn
où σ1,...,σnsont les fonctions symétriques élémentaires de x1,...,xn. Elles sont définies par
σk=X
16i1<...<ik6n
xi1xi2. . . xik.
L’expression σkest la somme de tous les produits de kracines de Pparmi les n(il y a en particulier n
k
produits de ce type). Par identification, on obtient σk= (−1)kan−k
an
.
En particulier, on a σ1=x1+···+xn=−an−1
anet σn=x1. . . xn= (−1)na0 an.
Exemples :
• Soit z1, z2, z3les racines complexes de P= 2X3+ 5X2+ 7. On a (z1+z2)2+ (z1+z3)2+ (z2+z3)2=
2σ2
1−2σ2=...
• Si P= (2X+ 1)n+ 1, alors σ1=−n
2, σ2=(n
2)
22et σn=(−1)n 2n−1.
4 Dérivation
4.1 Généralités
Définition 14 Soit P=P+∞
n=0 anXndans K[X], on définit le polynôme dérivé de Ppar :
P′=
+∞
X
n=1
nanXn−1=
+∞
X
n=0
(n+ 1)an+1Xn.
Par récurrence on définit pour tout n∈N, la dérivée n-ième de Ppar P(0) =Pet P(n+1) = (P(n))′.
Cette définition de dérivation coïncide avec la dérivation des fonctions polynomiales réelles.
Proposition 15 Si P∈K[X]est non constant, alors deg P′= deg P−1.
Exemple : déterminer les polynômes P∈K[X] tels que P′+XP =X2+ 1.
Proposition 16 (Opérations sur les polynômes dérivés) Soit Pet Qdans K[X].
(i) La dérivation est linéaire.
(ii) Dérivée d’un produit : (P Q)′=P′Q+P Q′.
(iii) Formule de Leibniz : pour tout n∈N,(P Q)(n)=
n
X
k=0 n
kP(k)Q(n−k).
4.2 Lien entre les dérivées successives et les coefficients
Proposition 17 (Formule de Taylor) Soit Pdans K[X], on a pour tout α∈K:
P=
+∞
X
k=0
P(k)(α)
k!(X−α)k.
En particulier, si P=Pn
k=0 akXk, on a ∀k∈N, ak=P(k)(0)
k!.

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4.3 Lien entre les dérivées successives et l’ordre de multiplicité d’une racine
Proposition 18 Si αest racine de Pd’ordre r>1alors αest racine de P′d’ordre r−1.
La réciproque est fausse, CEX P=X3+ 1 et P′= 3X2
Exercice : trouver le reste de la division euclidienne de A= (X−2)n+ (X−1)n−2 par B= (X−1)2.
Proposition 19 (Caractérisation de la multiplicité) Soit P∈K[X]. Les deux propositions sont équiva-
lentes :
(i) αest racine de Pd’ordre r
(ii) P(α) = P′(α) = ···=P(r−1)(α) = 0 et P(r)(α)6= 0.
Exercice : P=X7+ 7X6+pX +qadmet une racine triple ssi (p, q) = (0,0) ou (p, q) = (−7×55,57).
5 Décomposition en facteurs irréductibles dans C[X]ou R[X]
5.1 Notion de polynôme irréductible
Définition 20 Un polynôme Pde K[X]est dit irréductible si deg P>1et si ses seuls diviseurs sont les
scalaires non nuls et ses polynômes associés : λP avec λ∈K∗.
Les polynômes irréductibles sont aux polynômes ce que sont les nombres premiers pour les entiers.
Exemples :
• tout polynôme de degré 1 est irréductible.
• soit P∈K[X] avec deg P>2. Si Padmet une racine adans Kalors Pn’est pas irréductible car divisible
par X−a.
• La réciproque est fausse puisque (X2+ 1)2n’admet pas de racines réelles mais est réductible dans R[X].
• Attention la notion d’irréductibilité dépend du corps de base : X2+ 1 est irréductible dans R[X] mais pas
dans C[X] car X2+ 1 = (X−i)(X+i).
5.2 Décomposition dans C[X]
Le théorème suivant admis est parfois appelé théorème fondamental de l’algèbre :
Théorème 21 (D’Alembert-Gauss) Tout polynôme non constant de C[X]admet au moins une racine dans
C.
Exercice : les polynômes P∈C[X] vérifiant P(X2) = P2sont de la forme Xnet P= 0.
Corollaire 22
1. Les polynômes irréductibles de C[X]sont les polynômes de degré 1.
2. tout polynôme de C[X]est scindé sur C.