2010/2011 Alger Examen semestriel

E.S.I.
10-02-2011
1.C.P.A et 1.C.P.B
ALGEBRE 1
Durée : 2H
Examen Semestriel
L’usage de la calculatrice et du mobile est interdit.
Exercice 1 : (Les questions sont indépendantes) (9 pts)
Soit K un corps commutatif, tel que : K = R ou C.
1- Monter que tout polynôme de degré n 1 admet au plus n racines.
2- Soient les deux polynômes de K [X] suivants :
A = X 5 + aX 2 + b et B = X 3 + X 2 + cX + 1:
a/ E¤ectuer la division euclidienne de A par B.
b/ Déterminer, quand ils existent, a; b et c pour que B divise A dans R [X].
c/ Déterminer, quand ils existent, a; b et c pour que B divise A dans C [X].
3- Soit P 2 R [X] et un nombre complexe non réel, et soit m 2 N . Montrer que si
est une racine de P de multiplicité m alors est une racine de P de multiplicité m, (
désigne le conjugué de ).
4- On pose : = j, = i et = 1 (on rappelle que i est le nombre complexe véri…ant
2
i = 1 et j est le nombre complexe de partie imaginaire positive et racine de X 2 + X + 1),
et soient les deux polynômes de K [X] suivants :
P = X 7 + 2X 6 + 3X 5 + X 4 X 3 3X 2 2X
Q = X 6 2X 5 + 3X 4 4X 3 + 3X 2 2X + 1
1 et
a/ Montrer que et sont racines de P et donner la multiplicité de chacune d’elles.
b/ Montrer que et sont racines de Q et donner la multiplicité de chacune d’elles.
c/ En déduire la factorisation de P et Q dans R [X] ainsi que P GCD (P; Q).
Exercice 2 : (5 pts)
On considère le corps commutatif (C; +; :), et soit :
A = Z [i] = a + ib : a; b 2 Z et i est le nombre complexe véri…ant i2 =
1234-
1 :
Montrer que Z [i] est un sous-anneau de C.
Soit z 2 A. Montrer que : z 2 Z [i] et que jzj2 2 N, (z désigne le conjugué de z).
Soit z 2 A. Montrer que : z est invesible si et seulement si jzj2 = 1.
En déduire les éléments inversibles de Z [i].
1
Exercice 3 : (Les questions sont indépendantes) (6 pts)
Soit (A; +; :) un anneau commutatif unitaire d’élément neutre 0 et d’unité 1, avec 0 6= 1,
et soit I une partie de A. On dit que I est un idéal de A si les deux conditions suivantes
sont véri…ées :
i/ I sous groupe de (A; +).
ii/ Pour tout a 2 A et pour tout x 2 I : a:x 2 I.
1- Montrer que si 1 2 I alors I = A:
2- Soit f : (A; +; :) ! (A; +; :) un morphisme d’anneaux. Montrer que ker f est un idéal
de A.
3- On pose : A = Z et soit n 2 N . Montrer que I = nZ est un idéal de Z.
4- On pose : A = R [X] et B un polynôme non nul de R [X]. On dé…nit une relation
binaire R sur R [X] comme suit :
8 (P1 ; P2 ) 2 (R [X])2 : (P1 R P2 , B divise P1
P2 ) .
a/ Montrer que R est une relation d’équivalence sur R [X].
b/ Déterminer 0 et 1.
c/ Soit P 2 R [X] tel que B divise P . Déterminer P , puis montrer que P est un
idéal de R [X].
Bon courage
2