2010/2011 Alger Examen semestriel

E.S.I. 10-02-2011 1.C.P.A et 1.C.P.B ALGEBRE 1 Durée : 2H
Examen Semestriel
L’usage de la calculatrice et du mobile est interdit.
Exercice 1 : (Les questions sont indépendantes) (9 pts)
Soit Kun corps commutatif, tel que : K=Rou C.
1- Monter que tout polynôme de degré n1admet au plus nracines.
2- Soient les deux polynômes de K[X]suivants :
A=X5+aX2+bet B=X3+X2+cX + 1:
a/ E¤ectuer la division euclidienne de Apar B.
b/ Déterminer, quand ils existent, a; b et cpour que Bdivise Adans R[X].
c/ Déterminer, quand ils existent, a; b et cpour que Bdivise Adans C[X].
3- Soit P2R[X]et un nombre complexe non réel, et soit m2N. Montrer que si
est une racine de Pde multiplicité malors est une racine de Pde multiplicité m, (
désigne le conjugué de ).
4- On pose : =j,=iet = 1 (on rappelle que iest le nombre complexe véri…ant
i2=1et jest le nombre complexe de partie imaginaire positive et racine de X2+X+ 1),
et soient les deux polynômes de K[X]suivants :
P=X7+ 2X6+ 3X5+X4X33X22X1et
Q=X62X5+ 3X44X3+ 3X22X+ 1
a/ Montrer que et sont racines de Pet donner la multiplicité de chacune d’elles.
b/ Montrer que et sont racines de Qet donner la multiplicité de chacune d’elles.
c/ En déduire la factorisation de Pet Qdans R[X]ainsi que P GCD (P; Q).
Exercice 2 : (5 pts)
On considère le corps commutatif (C;+; :), et soit :
A=Z[i] = a+ib :a; b 2Zet iest le nombre complexe véri…ant i2=1:
1- Montrer que Z[i]est un sous-anneau de C.
2- Soit z2A. Montrer que : z2Z[i]et que jzj22N, (zdésigne le conjugué de z).
3- Soit z2A. Montrer que : zest invesible si et seulement si jzj2= 1.
4- En déduire les éléments inversibles de Z[i].
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Exercice 3 : (Les questions sont indépendantes) (6 pts)
Soit (A; +; :)un anneau commutatif unitaire d’élément neutre 0et d’unité 1, avec 06= 1,
et soit Iune partie de A. On dit que Iest un idéal de Asi les deux conditions suivantes
sont véri…ées :
i/ Isous groupe de (A; +).
ii/ Pour tout a2Aet pour tout x2I:a:x 2I.
1- Montrer que si 12Ialors I=A:
2- Soit f:(A; +; :)!(A; +; :)un morphisme d’anneaux. Montrer que ker fest un idéal
de A.
3- On pose : A=Zet soit n2N. Montrer que I=nZest un idéal de Z.
4- On pose : A=R[X]et Bun polynôme non nul de R[X]. On dé…nit une relation
binaire Rsur R[X]comme suit :
8(P1; P2)2(R[X])2: (P1RP2,Bdivise P1P2).
a/ Montrer que Rest une relation d’équivalence sur R[X].
b/ Déterminer 0et 1.
c/ Soit P2R[X]tel que Bdivise P. Déterminer P, puis montrer que Pest un
idéal de R[X].
Bon courage
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