Polynômes

Maple TP n°6
Polynômes : rappels mathématiques
Monôme
produit d’une constante (le coefficient) et de puissances
entières d’une ou plusieurs variables. ex : 3*x^2*y
Expression polynomiale (ou polynôme) : somme de monômes. ex : 2*x^3+1 (1
inconnue) ; 2*x^3+3*y*x (2 inconnues)
Fonction polynomiale : fonction dont l’expression générale est un polynôme ;
ex : x->2*x^2+3*x+1 (1variable) ; (x,y)->x^2*y (2 variables). Un
même polynôme peut définir plusieurs fonctions polynomiales
différentes, selon l’ensemble de définition choisi.
MANIPULER UNE EXPRESSION POLYNOMIALE
eval(P,x=10)
calcule la valeur de l’expression P en 10
subs(x=10,P)
remplace x par 10 dans l’expression P
expand(expr)
développe l’expression expr
collect(P,x)
écrit l’expression P en tant que polynôme en x. ex :
collect(x*t^2+3*t^2+t*x,x) ; donne (t^2+t)*x+3t^2
sort(P,x)
ordonne le polynôme P selon les puissances (décroissantes)
de
x. Cette commande modifie l’expression P.
simplify(expr)
simplifie une expression (p.ex, un quotient)
COEFFICIENTS/DEGRÉS
coeff(P,x,n)
coefficient du degré n dans P, polynôme en x. [NB : coeff(P,x^n)
est possible mais ne fonctionne pas pour n=0].
coeffs(P,x)
séquence des coefficients de P (dans un ordre imprévisible).
lcoeff(P,x)
coefficient dominant de P (leading coefficient)
tcoeff(P,x)
coefficient du plus bas degré de P (trailing coefficient)
degree(P,x)
degré de P
ldegree(P,x)
valuation (=plus bas degré) de P (lowest degree)
ARITHMETIQUE
divide(P,Q)
[lire « peut-on diviser P par Q ? »] renvoie true (=vrai) si Q
divise P et false sinon
quo(A,B)
quotient de la division euclidienne de A par B
rem(A,B)
reste (remainder) de la division euclidienne de A par B
ALGORITHMIQUE
if condition then commande1 ; commande2 ; … fi ;
les commandes1, 2, etc. sont exécutées seulement si la condition
a pour valeur true (vrai)
FACTORISATION/RACINES
Racine
valeur où la fonction polynomiale s’annule. Elle dépend de
l’ensemble de définition choisi
solve et fsolve
résolution d’équations (cf. TP précédents)
RootOf(P,x)
désigne une racine du polynôme P
allvalues(expr)
remplace successivement dans expr, les RootOf(P,x) par toutes
les racines (écrites avec radicaux, si possible) du polynôme P**
convert(expr ,radical)
remplace les RootOf(P,x) de expr par une des racines du
polynôme P (écrite avec radicaux, si possible)
evalc()
écrit les complexes sous forme cartésienne ; evalc simplifie,
par ex, les racines de nombres négatifs, etc. Rappel : evalc
considère les variables libres comme des réels**
evalf()
écrit une approximation décimale (éventuellement, des parties
réelles et imaginaires)**.
split(P,x)
factorise un polynôme dans C. Il faut charger la fonction par
>readlib(split) ; NB : la réponse comporte souvent des RootOf().

En général, les commandes Maple ne sont pas destructrices. Par exemple, après

E :=a*x+3 ;
la commande

subs(a=2,E) ;
donne 2x+3 mais ne change pas l’expression E, qui vaut toujours a*x+3. Si on veut que E soit modifié, il
faut faire :

E :=subs(a=2,E) ;
**
On peut appliquer directement la commande à une liste ou à un ensemble de valeurs.