Ensembles de nombres

Chapitre 0
Ensembles et notations (des notions utiles tout au long de l’année)
I/ Ensembles de nombres
• N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …} est l’ensemble des entiers naturels.
N est un ensemble infini. Chaque entier n admet un successeur
n+1. « 1 » est un élément de N. On dit que 1 appartient à N, et
que 0,3 n’appartient pas à N.
• Z = {… ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …} est l’ensemble des
entiers relatifs (entiers positifs/négatifs). Z est un ensemble
infini. N est inclus dans Z (notation : N C Z).
• D est l’ensemble des nombres décimaux. Un décimal est un
nombre qui peut s’écrire sous la forme a
avec a appartient à
Z et n appartient à N. Les décimaux ont un nombre fini de
chiffres après la virgule.
10n
Exemples :
5,117 appartient à D.
3
=
3
appartient à D.
3
1000
10
-3 =
-3
donc -3 appartient à D.
0
10
mais 3 n’appartient pas à D
7
Z C D.
• Q est l’ensemble des nombres rationnels. Un rationnel est un
nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction
irréductible a avec a appartient à Z, b appartient à Z et b ≠
0.
b
Exemples :
2 appartient à Q
3
7,12 = 712 donc 7,12 appartient à Q
103
D C Q.
• R est l’ensemble des réels. On représente l’ensemble des réels
par une droite graduée. Tout point de la droite graduée a pour
abscisse un réel, et, réciproquement, tout réel est l’abscisse
d’un nombre de cette droite graduée.
Q C R.
R contient également l’ensemble des irrationnels tels que √2, π,
cos 23°, √3…
4
L’ensemble des irrationnels se note R-Q.
ou R\Q (R privé de Q).
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N C Z C D C Q C R.
II/ Notations
B
b
A
a
A et B sont 2 ensembles.
A C B.
a appartient à A. b appartient à B.
a appartient à B. b appartient à B-A. mais b n’appartient pas à
A.
Quand un ensemble ne comporte qu’un seul élément, c’est un
singleton.
III/ Intervalles de R
A) Définition
• écrire -1< x ≤ 3
• représenter ces solutions sur une droite graduée :
• ou sous forme d’une intervalle x € ]-1 ; 3]
sont 3 manières d’écrire la même chose.
a et b désignent 2 réels tels que a<b. Compléter les
représentations graphiques.
Intervalles
Inégalités
Représentations
bornés
[a ; b]
a ≤ x ≤ b
]a ; b]
a < x ≤ b
[a ; b[
a ≤ x < b
]a ; b[
a < x < b
Intervalles
non bornés
Inégalités
Représentations
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Ensembles et notations (des notions utiles tout au long de l’année)
[a ; + ∞[
a ≤ x ou x ≥ a
]a ; + ∞ [
a < x ou x > a
] - ∞ ; a]
x ≤ a
] - ∞ ; a[
x < a
Remarque : +∞ et -∞ ne sont pas considérés comme des nombres.
Leur crochet est toujours ouvert.
Cas particuliers : R = ]- ∞ ; +∞ [
; [a ; a]={a}
]a ; a[=Ø (ensemble vide)
B) Intersection et réunion
∩ : symbole de l’intersection (correspond au « et » en
français)
U : symbole de la (ré)union (correspond au « ou » en français)
Soit I et J deux intervalles de R.
I ∩ J sont tous les réels contenus dans I et dans J.
I U J sont tous les réels contenus dans I ou dans J.
Exemple :
I= ]-2 ; 5] et J=[3 ; 6]
I
J = [3 ; 5]
I U J = ]-2 ; 5] U [3 ; 6]
I U J = ]-2 ; 6]
Remarque : si I
J=Ø, on dit que I et J sont disjoints et que I
U J ne se simplifie pas.
Cas particuliers :
réels non nuls)
R*=
]- ∞ ; 0[ U ]0 ; +∞ [ (ensemble des
= R-* U R+*
= R - {0}
R+= [0 ; +∞ [
R+*= ]0 ; +∞ [
positifs non nuls)
= R+ - {0}
R- =]- ∞ ; 0]
(ensemble des réels
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Ensembles et notations (des notions utiles tout au long de l’année)
R-*=]- ∞ ; 0[
négatifs non nuls)
= R- - {0}
(ensemble des réels