Les ensembles de nombres

2nde 5 Sept 12 année 2012-2013
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Les ensembles de nombres
I. Activité
1) A partir des entiers naturels et l’addition
a) Résoudre les équations suivantes où l’inconnue est x est un nombre
x+2=5 et x+10=5
b) La solution existe-elle toujours ? Est-ce toujours un entier naturel?
2) A partir des entiers relatifs et la multiplication
a) Résoudre les équations suivantes où l inconnue est x est un nombre
4x=12 -7x=2 5x=8 3x=0 -3x=7 -21x=-9
b) La solution et-elle toujours un entier relatif?
3) A partir des entiers et à l élévation à une puissance
a) Résoudre les équations suivantes où l inconnue est x est un nombre
x2=9 x2=-2 x2=8 x2=-4 x3=-27
b) Les solutions éventuelles sont-elles des entiers relatifs ?
II. Synthèse : Ensembles de nombres
1) Ensemble des entiers naturels noté É
 É est un ensemble infini . Chaque entier naturel n possède un successeur n+1
 Le plus petit entier naturel est 0 .
 On note É* l ensemble des entiers naturels non nuls .
n appartient à É se note : n É
2) Ensemble des entiers relatifs noté Î
Î contient tous les entiers naturels et leurs opposés .
On a donc que É est inclus dans Î : on note É  Î
3) Ensemble des rationnels noté Í , ensemble des décimaux relatifs noté Ì
Définition :
On appelle nombre rationnel , tout nombre qui peut s écrire sous la forme d un quotient a
b avec a Î et b É*
Cas particulier : Décimal
On appelle nombre décimal tout nombre qui peut s écrire sous la forme d un quotient d un entier relatif par
une puissance de 10.
Un décimal est donc un rationnel : Ì Í

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4) Ensemble des réels noté Ë
On a vu qu il existe des nombres qui ne sont pas des rationnels : on dira que ce sont des irrationnels .
On rassemble tous les nombres rationnels et irrationnels dans un même ensemble appelé ensemble des réels et
noté Ë .
É  Î  Í Ë
Ë = { ;……}
A chaque point de la droite graduée correspond un seul nombre réel : c est l abscisse de ce point
A chaque réel correspond un seul point de la droite graduée .
L ensemble des réels est l ensemble des abscisses de tous les points de la droite graduée : on dit que la droite
graduée est la droite réelle
Ecriture décimale d’un réel
Un décimal a une écriture décimale ………………………………………………
Un rationnel a une écriture décimale ……………………………………………..
Un nombre irrationnel a une écriture décimale ………………………………….
Ecriture scientifique d’un réel positif
Tout réel positif peut s’écrire sous la forme d’un produit d’un réel compris entre 1 et 10 (10 exclu) par une
puissance de 10 : x = a 10n avec 1≤ a < 10 et n Î
5) Application
a) Compléter
b) Déterminer la nature de chacun des nombres ( donner le plus petit ensemble auquel il
appartient ).Ensuite les placer dans le schéma précedent

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III. Intervalles de Ë
1) Les différents intervalles de Ë
L ensemble des réels compris au sens large , entre deux nombres a et b est appelé intervalle de Ë et désigne tous
les réels x vérifiant a ≤ x ≤ b. On le note [ a ; b ]
Exemple : L’ensemble de tous les nombres réels x tels que -2 ≤ x ≤ 7 se note : [-2 ; 7].
Nombres réels x
Intervalles
Représentation
a ≤ x ≤ b
[ a ; b ]
a < x ≤ b
] a ; b ]
a ≤ x < b
[ a ; b [
a < x < b
] a ; b [
x ≥ a
[ a ; +∞ [
∞ désigne l’infini
x > a
] a ; +∞ [
x ≤ b
] -∞ ; b ]
x < b
] -∞ ; b [
Remarque :L’ensemble des nombres réels Ë est un intervalle qui peut se noter ] -∞ ; +∞[.
Exemple :
L’ensemble de tous les nombres réels x tels que x < 7 se note ] - ∞ ; 7 [ et peut se représenter comme ci-
dessous :
.
0 1
b
0 1
b
0 1
a
0 1
a
0 1
a b
0 1
a b
0 1
a b
0 1
a b
0
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2) Intersections et unions d’intervalles
Définitions
L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui appartiennent aux deux ensembles
c’est à dire à A et à B et se note AB.
La réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à au moins l’un des deux
ensembles c'est-à-dire à A ou à B et se note AB.
Méthode : Déterminer l’intersection et la réunion d’intervalles
Dans les cas suivants, déterminer l'intersection et la réunion des intervalles I et J :
1) I =[-1 ; 3] et J = ]0 ; 4[ 2) I = ] -∞ ; -1] et J = [1 ; 4]
1) Pour visualiser les ensembles solutions, on peut représenter les intervalles I et J sur un même axe gradué.
Les nombres de l'intersection des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent à la fois aux deux
ensembles. Il s’agit donc de la zone de l’axe gradué où les deux ensembles se superposent.
Ainsi I  J = ]0 ; 3].
Les nombres de la réunion des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent au moins à l'un des deux
ensembles. Il s’agit donc de la zone de l’axe gradué marquée soit par l’intervalle I soit par l’intervalle J.
Ainsi I  J = [-1 ; 4[.
2)
I  J =, car les ensembles I et J n’ont pas aucun nombre en commun.
I J = ] -∞ ; -1]  [1 ; 4] on ne peut réduire l écriture
I
0 1
J
I  J
0 1
I  J
0 1
I
0 1
J