Enoncés - Animath

OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES
2011-2012
ENVOI NUMÉRO 2
ÀRENVOYER AU PLUS TARD LE LUNDI 5DÉCEMBRE
CONSIGNES POUR LES EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
- Les solutions des énoncés d’entraînement ne sont pas à rédiger et à renvoyer.
CONSIGNES POUR LES EXERCICES À RENVOYER
- Les exercices doivent être cherchés de manière individuelle.
- Utiliser des feuilles différentes pour des exercices différents.

Éxercices à renvoyer
Arithmétique
Exercice 1
Trouver tous les nombres premiers p,q,rtels que 15p+7pq +qr =pqr.
Exercice 2
Trouver tous les entiers n≥0 pour lesquels 28+211 +2nest le carré d’un entier.
Exercice 3
Trouver tous les couples (a,b)de nombres entiers tels que a3−b5= (a+b)2dans les deux cas
suivants :
1) aet bsont deux nombres premiers.
2) aet bsont deux nombres entiers relatifs premiers entre eux.
Équations fonctionnelles
Exercice 4
Trouver toutes les applications f:R→Rtelles que pour tous x,yréels on ait
x(f(x) + f(y)) = f(x)f(x+y).
Exercice 5
Trouver toutes les applications f:R+∗→R+∗continues telles que pour tous réels x>0 on
ait
f(f(x)) = xet f(x+1) = f(x)
f(x) + 1.
Exercice 6
Trouver toutes les applications f:R→Rtelles que pour tous x,yréels on ait
f(x+y)f(x−y) = f(x2)−f(y2).

Énoncés d’entraînement
Arithmétique
Exercice 7
Montrer que l’équation x5−y2=4 n’a pas de solution (x,y)constituée de deux entiers.
Exercice 8
Trouver tous les nombres premiers ppour lesquels le système d’équations :
p+1=2x2,p2+1=2y2
admet une solution (x,y), avec xet yentiers.
Exercice 9
On se donne 2011 chiffres, entre 0 et 9, parmi lesquels figurent au moins une fois les chiffres 1,
3, 7 et 9. Montrer qu’au moins un nombre écrit, dans le système décimal, avec ces 2011 chiffres
est non premier.
Équations fonctionnelles
Exercice 10
Trouver toutes les applications f:R→Rtelles que pour tous x,yréels on ait
f(f(x)) + f(f(y)) = 2y+f(x−y).
Exercice 11
Trouver toutes les applications f:N∗→N∗telles que pour tout entier n≥1 on ait :
ff(n)(n) = n+1 où fk(n) = f◦f◦... ◦f(n) (kfois).
Exercice 12
Trouver toutes les applications f:N∗→N∗telles que pour tous entiers m,n≥1 on ait
f(m2+2n2) = f(m)2+2f(n)2.
Exercice 13
Trouver toutes les applications f:R+∗→R+∗telles que pour tous entiers x,y>0 on ait
f(x)f(y f (x)) = f(x+y).