avec correction

Exercice : Dire dans chaque cas si l’appartenance ou l’inclusion est vraie
ou fausse.
1) Si E={0; 1; 8; −7}:
•8∈E:vrai
• {8} ∈ E:faux
• {8} ⊂ E:vrai
Correction : L’ensemble E, par définition, contient quatre éléments : les entiers
0,1,8, et −7. Quel que soit l’objet mathématique x, il appartient à Esi et seulement
si il est égal à un de ces quatre nombres.
C’est le cas de 8d’où la première réponse.
En revanche, {8}est le singleton contenant uniquement le nombre 8. C’est un
ensemble qui n’est pas égal à 0,1,8, ou −7(ce n’est même pas un nombre), donc
il n’appartient pas à E.
Enfin, quel que soit l’objet mathématique x, dire que {x} ⊂ Erevient à dire que
tout élément de {x}est un élément de E. Mais comme {x}contient exclusivement
x, c’est la même chose que dire simplement x∈E. Donc c’est vrai pour x= 8.
Mais par exemple, {4} ⊂ Eserait faux.
2) Si E={8; N;R}:
•8∈E:vrai
•4∈E:faux
•R∈E:vrai
•R⊂E:faux
Correction : L’ensemble E, par définition, contient trois éléments : le nombre
8, l’ensemble Net l’ensemble R.
Le nombre 8est bien un de ces trois éléments, mais pas le nombre 4(puisque
46= 8,46=Net 46=R). D’où les deux premières réponses.
L’ensemble Rest bien un des trois éléments de E, d’où la troisième réponse.
En revanche, dire R⊂Erevient à dire que tous les nombres réels sont dans E.
Mais Ene contient que trois éléments ! On voit mal comment il pourrait contenir
tous les nombres réels. Qui plus est, on a déjà dit qu’il ne contenait pas 4(en fait,
on voit que le seul nombre qu’il contient est 8; autrement dit, R∩E={8}).
3) Si E=P(R):
•R∈E:vrai
•R⊂E:faux
• {R} ∈ E:faux

Correction : L’ensemble E, par définition, contient exactement les sous-ensembles
de R. Donc quel que soit l’objet mathématique x, dire x∈Eest synonyme de x⊂R.
L’ensemble Rest bien un sous-ensemble de lui-même (on a bien R⊂R), donc
R∈Eest correct.
En revanche, dire R⊂Erevient à dire que tous les nombres réels sont des
éléments de E, donc que tous les nombres réels sont des sous-ensembles de R. C’est
faux : un nombre réel est un élément de R, pas un sous-ensemble (on a par exemple
3∈R, mais pas 3⊂R; à ne pas confondre avec {3} ⊂ R, qui est vrai).
Enfin, {R} ∈ Erevient à dire {R} ⊂ R, ce qui signifie que tout élément de
{R}est un nombre réel ; mais {R}n’a qu’un seul élément, qui est R, et Rn’est
certainement pas un nombre réel !