Exercice : Dire dans chaque cas si l’appartenance ou l’inclusion est vraie ou fausse. 1) Si E = {0; 1; 8; −7} : • 8 ∈ E : vrai • {8} ∈ E : faux • {8} ⊂ E : v rai Correction : L’ensemble E, par définition, contient quatre éléments : les entiers 0, 1, 8, et −7. Quel que soit l’objet mathématique x, il appartient à E si et seulement si il est égal à un de ces quatre nombres. C’est le cas de 8 d’où la première réponse. En revanche, {8} est le singleton contenant uniquement le nombre 8. C’est un ensemble qui n’est pas égal à 0, 1, 8, ou −7 (ce n’est même pas un nombre), donc il n’appartient pas à E. Enfin, quel que soit l’objet mathématique x, dire que {x} ⊂ E revient à dire que tout élément de {x} est un élément de E. Mais comme {x} contient exclusivement x, c’est la même chose que dire simplement x ∈ E. Donc c’est vrai pour x = 8. Mais par exemple, {4} ⊂ E serait faux. 2) Si E = {8; N; R} : • 8 ∈ E : vrai • 4 ∈ E : faux • R ∈ E : vrai • R ⊂ E : faux Correction : L’ensemble E, par définition, contient trois éléments : le nombre 8, l’ensemble N et l’ensemble R. Le nombre 8 est bien un de ces trois éléments, mais pas le nombre 4 (puisque 4 6= 8, 4 6= N et 4 6= R). D’où les deux premières réponses. L’ensemble R est bien un des trois éléments de E, d’où la troisième réponse. En revanche, dire R ⊂ E revient à dire que tous les nombres réels sont dans E. Mais E ne contient que trois éléments ! On voit mal comment il pourrait contenir tous les nombres réels. Qui plus est, on a déjà dit qu’il ne contenait pas 4 (en fait, on voit que le seul nombre qu’il contient est 8 ; autrement dit, R ∩ E = {8}). 3) Si E = P(R) : • R ∈ E : vrai • R ⊂ E : faux • {R} ∈ E : faux Correction : L’ensemble E, par définition, contient exactement les sous-ensembles de R. Donc quel que soit l’objet mathématique x, dire x ∈ E est synonyme de x ⊂ R. L’ensemble R est bien un sous-ensemble de lui-même (on a bien R ⊂ R), donc R ∈ E est correct. En revanche, dire R ⊂ E revient à dire que tous les nombres réels sont des éléments de E, donc que tous les nombres réels sont des sous-ensembles de R. C’est faux : un nombre réel est un élément de R, pas un sous-ensemble (on a par exemple 3 ∈ R, mais pas 3 ⊂ R ; à ne pas confondre avec {3} ⊂ R, qui est vrai). Enfin, {R} ∈ E revient à dire {R} ⊂ R, ce qui signifie que tout élément de {R} est un nombre réel ; mais {R} n’a qu’un seul élément, qui est R, et R n’est certainement pas un nombre réel !