avec correction

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Exercice : Dire dans chaque cas si l’appartenance ou l’inclusion est vraie
ou fausse.
1) Si E = {0; 1; 8; −7} :
• 8 ∈ E : vrai
• {8} ∈ E : faux
• {8} ⊂ E : v rai
Correction : L’ensemble E, par définition, contient quatre éléments : les entiers
0, 1, 8, et −7. Quel que soit l’objet mathématique x, il appartient à E si et seulement
si il est égal à un de ces quatre nombres.
C’est le cas de 8 d’où la première réponse.
En revanche, {8} est le singleton contenant uniquement le nombre 8. C’est un
ensemble qui n’est pas égal à 0, 1, 8, ou −7 (ce n’est même pas un nombre), donc
il n’appartient pas à E.
Enfin, quel que soit l’objet mathématique x, dire que {x} ⊂ E revient à dire que
tout élément de {x} est un élément de E. Mais comme {x} contient exclusivement
x, c’est la même chose que dire simplement x ∈ E. Donc c’est vrai pour x = 8.
Mais par exemple, {4} ⊂ E serait faux.
2) Si E = {8; N; R} :
• 8 ∈ E : vrai
• 4 ∈ E : faux
• R ∈ E : vrai
• R ⊂ E : faux
Correction : L’ensemble E, par définition, contient trois éléments : le nombre
8, l’ensemble N et l’ensemble R.
Le nombre 8 est bien un de ces trois éléments, mais pas le nombre 4 (puisque
4 6= 8, 4 6= N et 4 6= R). D’où les deux premières réponses.
L’ensemble R est bien un des trois éléments de E, d’où la troisième réponse.
En revanche, dire R ⊂ E revient à dire que tous les nombres réels sont dans E.
Mais E ne contient que trois éléments ! On voit mal comment il pourrait contenir
tous les nombres réels. Qui plus est, on a déjà dit qu’il ne contenait pas 4 (en fait,
on voit que le seul nombre qu’il contient est 8 ; autrement dit, R ∩ E = {8}).
3) Si E = P(R) :
• R ∈ E : vrai
• R ⊂ E : faux
• {R} ∈ E : faux
Correction : L’ensemble E, par définition, contient exactement les sous-ensembles
de R. Donc quel que soit l’objet mathématique x, dire x ∈ E est synonyme de x ⊂ R.
L’ensemble R est bien un sous-ensemble de lui-même (on a bien R ⊂ R), donc
R ∈ E est correct.
En revanche, dire R ⊂ E revient à dire que tous les nombres réels sont des
éléments de E, donc que tous les nombres réels sont des sous-ensembles de R. C’est
faux : un nombre réel est un élément de R, pas un sous-ensemble (on a par exemple
3 ∈ R, mais pas 3 ⊂ R ; à ne pas confondre avec {3} ⊂ R, qui est vrai).
Enfin, {R} ∈ E revient à dire {R} ⊂ R, ce qui signifie que tout élément de
{R} est un nombre réel ; mais {R} n’a qu’un seul élément, qui est R, et R n’est
certainement pas un nombre réel !
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