Corrigé de la série 2

I.P.E.I.N Filière SP
Corrigé de la série de TD n°2
ELECTROSTATIQUE
Exercice n°1
1°-a) Négliger les effets de bords revient à supposer les plaques
infinies et le système est donc invariant par translation suivant x et y.
Le potentiel s’écrit
)(zV
et l’équation de Laplace donne
0V
0
2
2
zV
k
z
V
'kkzV
à
0z
,
0V
0'k
et
kdVdV  0 )(
d
V
k0
et
z
d
V
zV 0 )( 
1°-b)
z
e
z
V
E
z
e
d
V
E
0
1°-c) Sur la plaque supérieur (
dz 
)
z
à
zee
d
V
E  0
Soit
d
V00
Sur la plaque inférieure (
0z
) le même
raisonnement donne
z
à
zee
d
V
E  0
et
d
V00
1°-d) La charge
Q
sur la plaque est
A
d
V
AQ 00
et la capacité s’écrit
dA
C0
1°-e) Application numérique :
nFC44,0
0
;
nCQ176
0
Calcul de la force qui s’exerce sur les armatures :
1ere méthode : L’énergie électrique du condensateur s’écrit
dz
V
zA
CVU  2
0
0
2
02
1
2
1
L’action électrostatique s »écrit
dz
zV
zA
z
U
F 2
0
2
0
2
1
2
0
2
0
2
1V
dA
Fz
1ere méthode :La pression électrostatique P sur l’une des plaques s’écrit
0
2
2
P
soit
2
2
00
2)( d
V
P
et avec
A
F
dS
dF
P
A
d
V
F2
2
00
2)(
cette force est dirigé suivant
z
e
soit
z
eA
d
V
F
2
2
00
2)(
Application numérique : F=-1,2 N
2°) Après un déplacement z<<d de l’armature supérieure la capacité s’écrit
zd A
C 0
)1(
0
d
z
d
A
C
)1(
0
d
z
C
C
)1(
0d
z
CC 
La d.d.p. entre les armatures s’écrit :
)1(
)(
0
0d
z
CqQ C
Q
V
)1)(1(
00
0d
z
Q
q
C
Q
V
)1)(1(
0
0d
z
Q
q
VV 
et en développant à l’ordre 1 on trouve
)1(
0
0d
z
Q
q
VV 
z
x
y
E
z

On peut exprimer la force à partir de l’énergie électrostatique
)(
2
1
0
2zd
A
Q
U
à charge étant constante
z
U
Fz
A
Q
Fz0
2
2
2
00
2
0)1(
2Q
q
A
Q
Fz
)
2
1(
200
2
0Qq
A
Q
Fz
3°-a) Pour écarter les plaques l’opérateur doit fournir une énergie au moins égale à la variation de l’énergie électrostatique
associé à l’écartement des armatures soit
)1(
2
)1(
2
)
11
(
200
2
00
0
2
0
0
2
0 d
d
C
Q
C
C
C
Q
CC
Q
U
)1(
20
2
00  d
d
VC
U
Application numérique :
jU 1
3°-b) A potentiel constant
)1(
2
)1(
2
)(
2
)
2
(0
2
00
0
2
00
0
2
0
2
0 d
dVC
C
C
VC
CC
VCV
U
Application numérique :
jU 1
Exercice n°2 : condensateur cylindrique
1°) Le système est invariant par rotation d’angle  et par translation selon z ,le champ et de la forme
)( EE  
Les plans (
ee  ,
) et (
z
ee  ,
) sont de symétrie paire ainsi les composantes
z
E
et
E
sont nulles et il reste que
eEE 
)(
2°) L’équation de Laplace
0V
s’écrit en coordonné s cylindrique
0)(
1 V
.Par intégration on trouve
k
V
kV 
et
1
ln)( kkV 
avec
0)( bV
et
0
)( VaV 
soit
1
ln0kbk 
b
kV ln)( 
et
b
a
kV ln
0
on aboutit à
b
a
b
VV ln
ln
0
3°) Le champ électrique est relié au potentiel V par
e
V
gradVE 
soit
e
a
b
V
E
ln
0
4°) Pour =a ,
e
a
b
a
V
eaE 
ln
)( 0
0
ce qui donne
a
b
a
V
aln
00
Pour =b ,
e
a
b
b
V
ebE 
ln
)( 0
0
ce qui donne
a
b
b
V
bln
00
5°) La charge Q du condensateur s’écrit
azQa 2
z
a
b
V
Qln
2
00
et la capacité C(z) s’écrit
z
a
b
V
Q
zC ln
2
)( 0
0
Application numérique : C(z)=20z nF
6°) Partant de l’expression du champ électrique on exprime l’énergie du condensateur par
dEU
urcondensate
2
0
2
1
z b
a
dzd
a
b
V
U
022
2
0
02
1
ln
2
1
b
a
z
a
b
V
U ln
ln 2
2
0
0
z
a
b
V
Uln
2
0
0

Sachant que pour un condensateur
2
0
2
1CVU
il vient que
z
a
b
Cln
20
7°-a) A potentiel constant l’action électrique sur l’armature interne s’écrit
ze e
dz
dU
F
ze e
a
b
V
F
ln
2
0
A l’équilibre mécanique on a
0 PFe
avec
z
emgP
le poids de l’armature interne. On a alors
0
ln
2
0
0 mg
a
b
V
a
bmg
Vln
0
0
L’énergie potentielle totale UT s’écrit
z
a
b
V
mgzUTln
2
0
0
2
2
dz
Ud T
l’équilibre est indifférent
8°) A charge constante
ze e
dz
dU
F
ze e
dzC
d
Q
F
)
1
(
2
2
0
ze e
z
a
b
Q
F
2
0
2
01
2
)ln(
2
A l’équilibre mécanique on a
0 opeFPF 
zop e
z
a
b
Q
mgF
2
0
0
2
01
4
)ln(
Exercice n°3 : Conducteurs et condensateurs sphériques (concours 2005)
1°-a) On appelle conducteur en équilibre électrostatique un milieu comportant des charges mobiles qui ne sont pas animées
d’un mouvement d’ensemble. La densité volumique de courant est nulle (j=0)
1°-b) A l’intérieur du conducteur le champ électrique est nul
0
i
E
, le potentiel V est constant et la densité de charge
volumique est nulle =0 , sur la sphère la densité superficielle de charge est
2
0
0
4R
Q
, au voisinage immédiat de la sphère
rext eE 
0
2°) Vu les symétries de la répartition des charge sur la sphère le cham électrique s’écrit
r
erEE 
)(
L’équation de Maxwell-Gauss pour r>R0 s’écrit
0Ediv 
soit
0
)(1 2
2
drErd
r
ou encore
0
)( 2
drErd
il vient que
r
e
rA
E
2
où A est une constante
3°) Au voisinage immédiat de la sphère
rrext e
R
A
eE 
2
0
0
soit
0
2
0
R
A
et en replaçant  par sa valeur on trouve
0
0
4
Q
A
4°) Pour r<R0 on
0E
et
00
0
01
4R
Q
VV

Pour r>R0 Le champ électrostatique s’écrit
2
0
01
4r
Q
E
et le potentiel
r
Q
V1
40
0
5°-a) Les surfaces de rayons R0 et R1 sont correspondantes ainsi la sphère de rayon R1 porte la charge
0
Q
,
01 QQ 
Le potentiel de la sphère creuse (reliée au sol) s’écrit
0
1
420
2
2 R
Q
V
0
2Q
5°-b) L’ensemble des deux sphères forment un condensateur d’armature interne de rayon R0 et d’armature externe de rayon R1
5°-c) La capacité est définie par
10
0VV Q
C
. Le champ entre les deux armatures est
r
e
r
Q
E
2
0
01
4
et la différence de
potentiel
10 VV 
s’écrit
dreEVV R
Rr
 1
0
10
)
11
(
4100
0
10 RR
Q
VV 
01
10
0
4RR RR C
6°)
C
Q
Ep
2
0
2
1
)
11
(
810
0
2
0RR
Q
Ep
et
armatures
lesentre
d
E
W
2
2
0
0
1
0
02
0
2
01
8
R
R
dr
r
Q
W
)
11
(
8100
2
00RR
Q
W
p
EW 
0
7°-a) Après coupure de la liaison avec le sol le condensateur conserve sa répartition de charge avec
0,, 20100  RRR QQQQQ
soit une charge totale
0
T
Q
.
En reliant les deux sphères concentriques, l’ensemble forme un conducteur unique avec un cavité .La charge dans la cavité
doit être
nulle et charge totale passe sur la sphère R2 mais
0
T
Q
il vient
0
210  RRR QQQ
7°-b) Le champ en tout point de l’espace est nul
0
1W
7°-c)
10 WWW Joule 
7°-d) La durée séparant les deux états d’équilibre dépend est de l’ordre de
RC
où R est la résistance de R
Exercice n° 4 : Condensateur diédrique
1°) Les deux armatures sont des plans équipotentiels l’une à
V=0 et l’autre à V=V0 et on passe de l’une à V=0 à l’autre
(V=V0 ) par une rotation d’angle 0 . Ainsi tout plan qui se
déduit de l’armature V=V0 par une rotation d’angle  forme
une surface équipotentielle.
2°) En coordonné cylindrique le condensateur présente un
symétrie de translation suivant z (Oz est l’axe du dièdre) ainsi
le potentiel V ne dépend pas de z .
Vu la forme des équipotentielles, pour  donné le potentiel
est constant quelque soit  , ceci montre que le potentiel V ne
dépend pas de 
Il vient que V(M)=V()
Dans l’espace entre les plaques on a
0V
0
12
2
2
V
k
V
1
kkV 
Avec V(=0)=0 k1=0 et avec V(=0)=V0 on obtient
0
0
)( V V
et le champ électrique s’écrit :
e
V
VgradE   1
e
V
E
0
0
1
Par application du théorème de Coulomb on écrit l’expression du cham électrique au voisinage de chaque armature on trouve
0
V=0
+
V0
équipotentiel

e
V
e
0
0
0
)0( 1
0
00
)0( 1
V
e
V
e
0
0
0
)( 1
0
0
00
)( 1
0
V
3°) La charge du condensateur est :
2
10
00
1
R
R
hd
V
Q
soit
1
2
0
00 ln R
R
h
V
Q
et la capacité est donné par
V
Q
C
soit
1
2
0
0ln R
R
hC
4°) L’énergie dans le condensateur s’écrit
dEU
eslesarmatur
entreespace
2
0
2
1
soit
dzdd
V
U
elesarmatur
entreespace
2
0
2
0
2
0
2
hR
R
dzd
d
V
U
00
2
1
2
0
2
00 0
2
1
2
0
2
00 ln
2R
R
h
V
U
comme
2
0
2
1CVU
il vient que
1
2
0
0ln R
R
hC
Exercice n° 6 : Sphère métallique placée dans un champ initialement uniforme
Première méthode
I-1°) Par influence avec le champ
0
E
, il apparaît en tout point M sur la sphère une distribution de charge surfacique (,)
où  et  sont les coordonnées sphériques du point M . Le champ
0
E
est invariant par rotation d’axe (Oz). La distribution
(,) est donc indépendant de, On peut donc prendre (). D’autre part le plan z = 0 est un plan d’antisymétrie (champ
perpendiculaire en tout point) ; on doit donc avoir (-z)=-(z), soit en coordonnées sphériques,  (π−θ) = − (θ). On a
cos(π−θ) = −cosθ ; on peut donc prendre  (θ)= 0cosθ.
I-2°-a)
Tout se passe comme si les parties non communes des deux sphères sont les seules
chargées avec des densités volumique respectives
Pour a<R l’ élément de volume de cette couche s’écrit
dSadSHHd cos' 
.
La charge de cet élément de volume s’écrit
dSdSadq  cos
a
0
I-2°-b) Le champ crée par une sphère chargée par la densité volumique  est
OME
0
int 3
3
0
3
3OM
OMR
Eext
Pour le système de deux sphères on utilise le principe de superposition. On trouve pour un oint M intérieur au deux sphères
)(
321
0
int MOMOE 
21
0
int 3OOE
z
e
a
E
0
int 3
)sin(cos
30
int
ee
a
Er
 3
2
3
1
0
3
3OM
MO
OM
MO
R
Eext
I-3°) Pour un point M extérieur aux deux sphères et avec a<<R on peut assimiler la distribution à un dipôle de moment
zz eaReQap
3
3
4
Le champ dipolaire s’écrit
)sincos2(
43
0
ee
r
p
Erext
ce qui donne
)sincos2(
33
0
3
ee
r
aR
Erext
I-4°a) Le champ total s’écrit
0
EEET
avec
)sin(cos
000
eeEeEE rz
e
a
Ee
a
EE rT
sin)
3
(cos)
3
(
0
0
0
0int 
et
e
r
aR
Ee
r
aR
EE rext
sin)
3
(cos)
3
2( 3
0
3
0
3
0
3
0
I-4°a)La condition de l’équilibre électrostatique impose que le champ intérieur soit nul .Ce qui donne
0
03
a
E
O1
O2