Harm Maths _ Trigonométrie 2007

Harmonisation Mathématiques
Trigonométrie
1. Le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un cercle de centre O, de rayon 1, muni d’une origine et d’un sens de parcours positif
(le sens inverse des aiguilles d’une montre). Le repère (O, I, J) est un repère orthonormal.

Exercice
Le repère orthonormal associé au cercle
trigonométrique
Le cercle trigonométrique
1) Calculez la longueur du cercle trigonométrique.
2) On rappelle que pour faire un angle de 1 radian, on enroule sur le cercle une ficelle dont la longueur est le rayon
(radian) du cercle. « Un radian est la mesure d’un angle au centre qui intercepte un arc de longueur R sur un cercle
de rayon R ». Calculez la mesure en radian de l’angle plat, de l’angle droit, et de l’angle plein.
On retiendra :
1 tour = 2 radians (= 360°)
Si on multiplie la mesure en tour par 2, on obtient la mesure en radians.
A. Quidelleur
SRC1 Meaux 2007-2008
Harmonisation Mathématiques
1/5

Exercice
3) Tracez les angles suivants sur le cercle trigonométrique : 
 
 3 5 3
3 5
; ;  ;
;
;
; 
;
2 4
4
2 2
4
4 4
On a tracé sur ces cercles un angle  quelconque. Tracez précisément les angles suivants sur le cercle trigonométrique :


- ;    ;    ;   ;  
2
2
A. Quidelleur
SRC1 Meaux 2007-2008
Harmonisation Mathématiques
2/5
2. Cosinus et sinus d’un angle
2.1. Définition
J
+
sin 

O
cos  I
Soit A un point du cercle trigonométrique. On note (xA,yA) ses coordonnées dans le repère orthonormal (O, I, J).

On note   IOA  .
On définit le cosinus de l’angle  par cos   x A .
On définit le sinus de l’angle  par sin   y A .
cos  et sin  vérifient
cos   1

sin   1
cos 2  sin 2
1
Exercice
A l’aide des schémas précédents calculez
4) cos(0) et sin(0)
5) cos() et sin()
 
 
6) cos  et sin  
2
2
Exprimez en fonction de sin et cos et retenez leur valeur :
cos    
sin   
cos     
sin    
A. Quidelleur
SRC1 Meaux 2007-2008


cos    
2



sin     
2



cos    
2



sin     
2

Harmonisation Mathématiques
3/5
2.2. Formulaire
Les valeurs de cosinus et sinus les plus courants sont :

0
cos 
1
sin 
0

4
2
2
2
2

3
1
2

6
3
2

2

0
-1
3
2
1
2
1
0
On retiendra les formules :
cos a  b   cos a  cos b   sin a  sin b 
cosa  cosb 
cos a  b   cos a  cos b   sin a  sin b 
sin a  b   sin a  cos b   cos a  sin b 
sin a  b   sin a  cos b  cos a  sin b 
cosa 2  sin a 2

cos2a   1  2sin a 2

2
2cosa   1
cosa  b  cosa  b
2
sin a  sin b 
cosa  b  cosa  b
2
sin a  cosb 
sin a  b  sin a  b
2
sin 2a   2 sin a  cos a 

Exercice
Calculez les grandeurs suivantes
 3 
7) cos 
 4 
 
8) sin  
8
 7 
9) sin  
 8 
2.3. La linéarisation
Linéariser = transformer une expression contenant des produits et/ou des puissances (2) de sinus ou cosinus en une
somme de sinus ou cosinus de puissance unitaire.

Exemple
Soit a un réel. Linéarisons cos 3 a  .
1  cos2a   cosa   1 cosa   cos2a   cosa  .
On a cos3 a   cos2 a   cosa  
2
2
2
cos2a  a   cos2a  a  cos3a   cosa 
.

2
2
cos3a   cosa  3
1
1
D’où cos 3 a   cosa  
 cosa   cos3a  .
2
4
4
4
Linéarisons maintenant le produit cos2a  cosa  
A. Quidelleur
SRC1 Meaux 2007-2008
Harmonisation Mathématiques
4/5

Exercice
Soit a un réel. Linéarisez
10) sin 3 a 
11) sin 2 a   cosa 
12) sin a   cos 2 a 
3. Les fonctions trigonométriques
La fonction cosinus est la fonction qui à tout x réel associe cos(x).
La fonction sinus est la fonction qui à tout x réel associe sin(x).
Ces deux fonctions sont périodiques de période 2.
13) Tracez leurs courbes représentatives.
14) La fonction cosinus est-elle paire ou impaire ?
15) La fonction sinus est-elle paire ou impaire ?
A. Quidelleur
SRC1 Meaux 2007-2008
Harmonisation Mathématiques
5/5