Problème I : Autour des polynômes d`interpolation de Lagrange 1

Devoir Libre n˚2
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MATHEMATIQUES
(à rendre le 10 Octobre 2014)
Problème I : Autour des polynômes d’interpolation de
Lagrange
K désigne soit R soit C.
1
Définition des polynômes d’interpolation de Lagrange
Soit n un entier naturel et (a0 , a1 , · · · , an ) ∈ Kn+1 deux à deux distincts.
On note B0 = (X i )0 6 i 6 n la base canonique de Kn [X].
1. Montrer que l’application
ϕ Kn [X] −→
Kn+1
P
7−→ (P (a0 ), P (a1 ), · · · , P (an ))
est un isomorphisme.
2. En déduire : ∀(λ0 , · · · , λn ) ∈ Kn+1 , ∃!P ∈ Kn [X], ∀i ∈ {0..n}, P (ai ) = λi .
3. Justifier alors, que pour i ∈ {0..n}, il existe un unique polynôme de degré inférieur
ou égal à n, que l’on notera Li , tel que :
Li (a0 ) = 0, Li (a1 ) = 0, · · · , Li (ai ) = 1, · · · , Li (an ) = 0
Li s’appelle le ime polynôme d’interpolation de Lagrange associé à la famille de
scalaires (a0 , a1 , · · · , an ) ∈ Kn+1 .
4. Dans cette question n = 2 et ∀i ∈ {0..2}, ai = i.
a. Déterminer la famille B = (L0 , L1 , L2 ).
b. Montrer que B est une base de K2 [X].
c. Etablir que, pour tout polynôme P de K2 [X],
P = P (a0 )L0 + P (a1 )L1 + P (a2 )L2
d. D’après ce qui précède, donner les coordonnées de P dans la base B.
e. Donner la matrice de changement de base de B0 à B et, en utilisant la question
précédente, donner son inverse.
5. On revient à n quelconque
a. Justifier que, ∀i ∈ {0..n},
n
Π
Li (X) =
k=0
k 6= i
(X − ak )
n
Π
k=0
k 6= i
(ai − ak )
b. Montrer que B = (Li )i∈{0..n} est une famille libre, maximale donc une base de
Kn [X].
n
X
c. Montrer que : ∀P ∈ Kn [X], P =
P (ai )Li .
i=0
1
d. D’après ce qui précède, donner les coordonnées de P dans la base B.
e. Soit A la matrice de changement de base de B0 à B .En utilisant la question
précédente, donner son inverse.
n
P
f. Montrer que 1 =
Lj .
j=0
g. En déduire que la somme des éléments de la première ligne de A est égale à 1
et que la somme des éléments de toute autre ligne de A est égale à 0.
2
Quelques applications
Dans chaque partie suivante, vous devrez à un moment donné, utiliser les polynômes
d’interpolation de Lagrange associés à une famille (a0 , a1 , · · · , an ) ∈ Kn+1 convenablement
choisie (n sera également à choisir) et utiliser les propriétés précédemment établies.
2.1
Déterminer l’unique polynôme P de R3 [X] tel que :
P (−1) = 1, P (2) = −1, P (4) = 3, P (10) = 2
.
2.2
1
. Calculer P (n + 2).
k
Indication : faire intervenir
de lagrange associés à {1..n + 1} et exprimer
les polynômes
n+2
Lk (n + 2) en fonction de
.
k
Soit P de degré n tel que, pour tout k ∈ {1..n + 1}, P (k) =
2.3
Soit n un entier naturel et (a0 , a1 , · · · , an ) ∈ Rn+1 deux à deux distincts.
Soit E l’espace vectoriel des applications continues sur R à valeurs dans R.
Déterminer un supplémentaire dans E du sous espace vectoriel F suivant :
F = {f ∈ E/∀i ∈ {0..n}, f (ai ) = 0}
.
2.4
Soit n un entier naturel et (a0 , a1 , · · · , an ) ∈ Rn+1 deux à deux distincts et
B = (Li )i∈{0..n} la base de Rn [X] des polynômes d’interpolation de Lagrange associés
. Les trois questions suivantes sont indépendantes.
n
X
1. Pour m ∈ {1, 2, · · · , n}, on pose : sm =
am
k Lk (0).
k=0
Calculer sm .
2. Dans cette question, Q est un polynôme de R[X]. On pose Q1 = Q −
n
X
i=0
a. Montrer que Q1 admet au moins n + 1 racines réelles à préciser.
n
n
X
X
n+1
b. on pose : sn+1 =
ak Lk (0) et sn+2 =
an+2
Lk (0).
k
k=0
k=0
2
Q(ai )Li .
i. Déduire de la question précédente que sn+1 = (−1)n
n
Y
.
i=0
ii. Calculer sn+2 en fonction de n,
n
X
k=0
ak ,
n
Y
ak .
k=0
3. Dans cette question, Q est un polynôme unitaire (c’est à dire de coefficient dominant
égal à 1) de Rn [X] de degré égal n.
On suppose de plus que (a0 , a1 , · · · , an ) sont des entiers relatifs vérifiant
a0 < a 1 < · · · < a n
n
Pour k ∈ {0, 1, · · · , n}, on note bk = Π
j =0
j 6= k
(ak − aj ).
a. Prouver que : |bk | > k!(n − k)!.
n
X
Q(ak )
= 1.penser aux coefficients dominants
b. Déduire de 1.5.(c) que
b
k
k=0
c. On définit M par M = max |Q(ak )|. Démontrer que M >
06k6n
3
n!
.
2n
Problème II : Etude de séries dont le terme général est
le reste d’une série convergente.
P
Soit n0 un entier naturel fixé. Soit
an une série convergente. On définit pour n
n > n0
+∞
P
entier naturel supérieur ou égal à n0 , rn son reste de rang n : rn =
ak .
k=n+1
P
Le but de l’exercice est d’étudier la convergence de la série
rn dans trois exemples
n > n0
différents.
Exemple 1
1
.
2n
P
Calculer rn puis montrer que
rn converge et calculer sa somme.
1. On pose pour n > 0, an =
n>0
Exemple 2
1
.
n2
Nous allons chercher un équivalent de (rn ).
Soit k un entier supérieur ou égal à 1.
1
1
1
6 2 6 2.
a. Montrer que ∀t ∈ [k, k + 1] ,
2
(k + 1)
t
k
b. En déduire que pour tout entier naturel non nul n et pour tout entier N
Z N +1
N
N
X
X
1
1
dt
6
6
.
supérieur à 2 et à n + 1, on a :
2
2
2
(k
+
1)
t
k
n+1
k=n+1
k=n+1
2. On pose pour n > 1, an =
c. En déduire que pour tout entier naturel non nul n, on a :
1
1
1
6 rn 6
+
.
n+1
n + 1 (n + 1)2
d. Donner alors un équivalent de (rn ) lorsque n est au voisinage de +∞.
P
Que peut-on en conclure sur la nature de la série
rn ?
n>1
Exemple 3
(−1)n
On pose pour n > 1, an =
.
n
P
3. Justifier la convergence de
an .
n>1
4. Expression intégrale de rn .
n
Z
Soit n un entier naturel non nul. On définit la suite (In ) par In = (−1)
0
1
xn
d x.
1+x
a. Montrer que lim In = 0.
n→+∞
n (−1)k
n−1
P
P
. On pourra calculer
(−x)k .
b. Montrer que In = ln 2 +
k
k=0
k=1
n
+∞
P (−1)
c. En déduire la valeur de
, puis exprimer rn en fonction de In .
n
n=1
5. Conclusion
a. En utilisant une intégration
par parties, montrer que l’on a :
(−1)n
1
In =
+O
où a ∈ R et α > 1 sont à déterminer.
a(n + 1)
nα
P
b. En déduire la nature de la série
rn .
n>1
4