Problème I : Autour des polynômes d`interpolation de Lagrange 1

Devoir Libre n˚2
PSI
MATHEMATIQUES
(à rendre le 10 Octobre 2014)
Problème I : Autour des polynômes d’interpolation de
Lagrange
Kdésigne soit Rsoit C.
1 Définition des polynômes d’interpolation de Lagrange
Soit nun entier naturel et (a0, a1,· · · , an)∈Kn+1 deux à deux distincts.
On note B0= (Xi)06i6nla base canonique de Kn[X].
1. Montrer que l’application
ϕKn[X]−→ Kn+1
P7−→ (P(a0), P (a1),· · · , P (an))
est un isomorphisme.
2. En déduire : ∀(λ0,· · · , λn)∈Kn+1,∃!P∈Kn[X],∀i∈ {0..n}, P (ai) = λi.
3. Justifier alors, que pour i∈ {0..n}, il existe un unique polynôme de degré inférieur
ou égal à n, que l’on notera Li, tel que :
Li(a0) = 0, Li(a1) = 0,· · · , Li(ai) = 1,· · · , Li(an) = 0
Lis’appelle le ime polynôme d’interpolation de Lagrange associé à la famille de
scalaires (a0, a1,· · · , an)∈Kn+1.
4. Dans cette question n= 2 et ∀i∈ {0..2}, ai=i.
a. Déterminer la famille B= (L0, L1, L2).
b. Montrer que Best une base de K2[X].
c. Etablir que, pour tout polynôme Pde K2[X],
P=P(a0)L0+P(a1)L1+P(a2)L2
d. D’après ce qui précède, donner les coordonnées de Pdans la base B.
e. Donner la matrice de changement de base de B0àBet, en utilisant la question
précédente, donner son inverse.
5. On revient à nquelconque
a. Justifier que, ∀i∈ {0..n},
Li(X) =
n
Π
k= 0
k6=i
(X−ak)
n
Π
k= 0
k6=i
(ai−ak)
b. Montrer que B= (Li)i∈{0..n}est une famille libre, maximale donc une base de
Kn[X].
c. Montrer que : ∀P∈Kn[X], P =
n
X
i=0
P(ai)Li.
1

d. D’après ce qui précède, donner les coordonnées de Pdans la base B.
e. Soit Ala matrice de changement de base de B0àB.En utilisant la question
précédente, donner son inverse.
f. Montrer que 1 =
n
P
j=0
Lj.
g. En déduire que la somme des éléments de la première ligne de Aest égale à 1
et que la somme des éléments de toute autre ligne de Aest égale à 0.
2 Quelques applications
Dans chaque partie suivante, vous devrez à un moment donné, utiliser les polynômes
d’interpolation de Lagrange associés à une famille (a0, a1,· · · , an)∈Kn+1 convenablement
choisie (nsera également à choisir) et utiliser les propriétés précédemment établies.
2.1
Déterminer l’unique polynôme Pde R3[X]tel que :
P(−1) = 1, P (2) = −1, P (4) = 3, P (10) = 2
.
2.2
Soit Pde degré n tel que, pour tout k∈ {1..n + 1},P(k) = 1
k. Calculer P(n+ 2).
Indication : faire intervenir les polynômes de lagrange associés à {1..n + 1}et exprimer
Lk(n+ 2) en fonction de n+ 2
k.
2.3
Soit nun entier naturel et (a0, a1,· · · , an)∈Rn+1 deux à deux distincts.
Soit El’espace vectoriel des applications continues sur Rà valeurs dans R.
Déterminer un supplémentaire dans Edu sous espace vectoriel Fsuivant :
F={f∈E/∀i∈ {0..n}, f(ai) = 0}
.
2.4
Soit nun entier naturel et (a0, a1,· · · , an)∈Rn+1 deux à deux distincts et
B= (Li)i∈{0..n}la base de Rn[X]des polynômes d’interpolation de Lagrange associés
. Les trois questions suivantes sont indépendantes.
1. Pour m∈ {1,2,· · · , n}, on pose : sm=
n
X
k=0
am
kLk(0).
Calculer sm.
2. Dans cette question, Qest un polynôme de R[X]. On pose Q1=Q−
n
X
i=0
Q(ai)Li.
a. Montrer que Q1admet au moins n+ 1 racines réelles à préciser.
b. on pose : sn+1 =
n
X
k=0
an+1
kLk(0) et sn+2 =
n
X
k=0
an+2
kLk(0).
2

i. Déduire de la question précédente que sn+1 = (−1)n
n
Y
i=0
.
ii. Calculer sn+2 en fonction de n,
n
X
k=0
ak,
n
Y
k=0
ak.
3. Dans cette question, Qest un polynôme unitaire (c’est à dire de coefficient dominant
égal à 1) de Rn[X]de degré égal n.
On suppose de plus que (a0, a1,· · · , an)sont des entiers relatifs vérifiant
a0< a1<· · · < an
Pour k∈ {0,1,· · · , n}, on note bk=n Π
j= 0
j6=k
(ak−aj).
a. Prouver que : |bk|>k!(n−k)!.
b. Déduire de 1.5.(c) que
n
X
k=0
Q(ak)
bk
= 1.penser aux coefficients dominants
c. On définit Mpar M=max
06k6n|Q(ak)|. Démontrer que M>n!
2n.
3

Problème II : Etude de séries dont le terme général est
le reste d’une série convergente.
Soit n0un entier naturel fixé. Soit P
n>n0
anune série convergente. On définit pour n
entier naturel supérieur ou égal à n0,rnson reste de rang n:rn=
+∞
P
k=n+1
ak.
Le but de l’exercice est d’étudier la convergence de la série P
n>n0
rndans trois exemples
différents.
Exemple 1
1. On pose pour n>0,an=1
2n.
Calculer rnpuis montrer que P
n>0
rnconverge et calculer sa somme.
Exemple 2
2. On pose pour n>1,an=1
n2.
Nous allons chercher un équivalent de (rn).
Soit kun entier supérieur ou égal à 1.
a. Montrer que ∀t∈[k, k + 1] ,1
(k+ 1)261 t261 k2.
b. En déduire que pour tout entier naturel non nul net pour tout entier N
supérieur à 2et à n+ 1, on a :
N
X
k=n+1
1
(k+ 1)26ZN+1
n+1
dt
t26
N
X
k=n+1
1
k2.
c. En déduire que pour tout entier naturel non nul n, on a :
1
n+ 1 6rn61 n+ 1 +1 (n+ 1)2.
d. Donner alors un équivalent de (rn)lorsque nest au voisinage de +∞.
Que peut-on en conclure sur la nature de la série P
n>1
rn?
Exemple 3
On pose pour n>1,an=(−1)n
n.
3. Justifier la convergence de P
n>1
an.
4. Expression intégrale de rn.
Soit nun entier naturel non nul. On définit la suite (In)par In= (−1)nZ1
0
xn
1 + xdx.
a. Montrer que lim
n→+∞In= 0.
b. Montrer que In= ln 2 +
n
P
k=1
(−1)k
k. On pourra calculer
n−1
P
k=0
(−x)k.
c. En déduire la valeur de
+∞
P
n=1
(−1)n
n, puis exprimer rnen fonction de In.
5. Conclusion
a. En utilisant une intégration par parties, montrer que l’on a :
In=(−1)n
a(n+ 1) +O1 nαoù a∈Ret α > 1sont à déterminer.
b. En déduire la nature de la série P
n>1
rn.
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