Suites récurrentes

SUITES RECURRENTES LINEAIRES.
On se propose de présenter à partir d’un exemple simple les principales méthodes de
traitement des suites récurrentes linéaires d’ordre p 2, c’est à dire dont les termes sont
générés à partir de p sources arbitraires x0, x1,……, xp à l’aide d’une formule (F) du type :
n N
0...........
110   nppnpn xaxaxa
avec
p
aa ,....,
0
fixés et
0
0a
Les termes et constantes considérés sont supposés réels ou complexes. Le but principal est
l’obtention d’une formule directe explicitant xn en fonction de n et des sources retenues.
L’exemple choisi pour l’étude est la classique suite de Fibonacci d’ordre p=2 définie par
nnn xxxnxx   1210 0et ; 1 ; 1
L’ordre adopté pour la présentation des méthodes est le suivant :
A) Emploi de suites géométriques construites à partir de la suite étudiée.
B) Utilisation du produit de convolution.
C) Emploi de la théorie de la dimension.
D) Interprétation matricielle et utilisation des méthodes de réduction.
E) Emploi de dérivées successives de fractions rationnelles.
F) Utilisation de divisions Euclidiennes.
G) Recours à la transformée de Laplace.
Dans chaque étape nous commencerons par l’étude particulière sur la suite de Fibonacci puis
sera abordée la généralisation de la méthode.
A) Emploi de suites géométriques.
Considérons la suite auxiliaire définie par n N
nnn xxy  1
et voyons si on peut
choisir le paramètre de façon que la progression des yn soit géométrique.
Comparons yn et
nnnnn xxxxy   1121 )1(
. Si on choisit de façon que
1)1( 
, on aura bien un schéma géométrique de raison
 1q
De
01² 
on déduit les deux valeurs possibles et les raisons associées :
)()(et
251
a on
251
Pour
)()(et
251
a on
251
Pour
02122122
01111111
xxqxxq
xxqxxq
n
nn
n
nn

Par différence et vu que
1et 51021  xx
on obtient la formule bien connue :
n N
 11
251 251
5
1nn
n
x
Généralisation.
Pour une suite satisfaisant à (F), posons pour tout n :
  2
0
1
pk
kknkpnn xxy
D’après (F) :
  2
01
1
0
0
2
011 1pk kknk
pk
kknkp
pk
kknkpnn xxa
a
xxy
.
En regroupant il vient :
  1
10
1
0
1)(
pk
kkn
kp
kn
p
nx
a
a
x
a
a
y
Posons alors par commodité d’écriture
0
a
a
bkp
k
. La proportionnalité
nn qyy 1
est alors
assurée pour tout n si
q
p,,...., 20 
satisfont aux contraintes :
12100 et 2,....,1 ;   ppkkk bqbqpkbq
Des p-1 premières égalités on déduit facilement de proche en proche les expressions de
20 ,..., 
 p
en fonction de q :
1
2
0
2
1
010
1
0
0;...; ...; ;
²
;   p
pi
i
i
i
p
k
ki
i
i
i
kq
qb
q
qb
qqbb q
b
La dernière contrainte donne une condition sur q :
pp
pqqbqbb   1 110 .....
, équivalente à
l’équation :
0......... 1
1
10  
 pp kp
k
pp aqaqaqaqa
Ici intervient donc un polynôme fondamental appelé polynôme caractéristique de la relation
linéaire (F) et défini par :
pk
k
k
kp XaXP 0
)(
Il admet ‘p’ racines complexes, chacune étant comptée avec son ordre de multiplicité.
Si on se place dans le cadre restreint où ces p racines
p
qq ,....,
1
sont distinctes et non nulles,
on va voir que comme dans l’exemple il est possible de combiner les suites géométriques
associées de façon à en tirer une expression de
1 pn
x
seul.
Notons
j
k
la valeur de
k
obtenue pour la raison qj et
  2
0
1
pk
kkn
j
kpn
j
nxxy
Le problème de l’élimination de
2
,......,  pnn xx
par combinaison des suites géométriques ci
dessus, revient à choisir un jeu de coefficients
p
 ,.....,
1
tel que :
k {0,1,….,p-2}
0
2
0
pk
k
j
kj
, avec bien sûr
0
1
pj
jj

Vu l’expression trouvée plus haut pour les coefficients :
 ki
ik
j
i
ji
j
kq
qb
01
)(
)(
On en déduit facilement de proche en proche que les p-1 annulations requises se ramènent au
système plus simple formé par les p-1 équations (Ek) :
pj
jp
j
j
q
10
)(
, avec k {1,…, p-1}
 La théorie des équations linéaires assure l’existence d’un jeu de solution non
identiquement nul. (système linéaire homogène de p-1 équations à p inconnues ).
Cependant on ne peut affirmer que
p
 ....
1
sera non nulle.
 Si on adjoint au début la condition supplémentaire
p
 ....
1
=1, le déterminant du
système carré obtenu est alors un déterminant classique de Vandermonde :
0
11
)
1
,........,
1
(1
1
 pji ijp qqqq
V
.
On peut alors conclure l’existence et l’unicité d’un jeu de solutions
k
 Mais l’intervention d’une fraction rationnelle se révèle tout aussi efficace avec en prime la
donnée des coefficients cherchés.
Considérons en effet
)(
)( 1
XP
X
XF p
avec P polynôme caractéristique de (F) défini
précédemment.
Sa décomposition en élément simples s’écrit :
pj
jj
j
p
qXXP
X
1
1
)(
.
D’après Leibniz, les dérivées successives de F s’annulent en 0 jusqu’à l’ordre p-2.
Ceci se traduit en fait : k {1,…., p-1}
0
)(
1
pj
jk
j
j
q
De plus, de
)(
lim
1
0xP
x
a
p
x
, on tire
0
11
.... a
p
. Ainsi on peut choisir pour tout j de
{1,…., p} :
jj a 0
. L’élimination recherchée est alors effective, avec une somme de
coefficients égale à 1. La combinaison des suites géométriques
j
n
yn 
conduit enfin à la
formule explicite : n N
  pj
j
jn
jjpn yqx 101 )(
B) Utilisation du produit de convolution.
Sur l’ensemble S des suites de complexes on définit les deux lois internes suivantes :
 Somme usuelle x+y définie par n N
nnn yxyx  )(
 Produit de convolution
yx
défini par n N
 nk
kknkn yxyx 0
)(
On vérifie facilement que S est structuré en Anneau pour ces deux opérations, le neutre étant
la suite 1S= (1,0,0….,0,… ( dont tous les termes sont nuls sauf le premier égal à 1.

Si on complète avec la loi externe à opérateurs dans C, définie par
nn xx  )(
, S acquiert
une structure de C algèbre commutative.
Remarquons que S contient en fait la sous algèbre C[X] des polynômes à coefficients
complexes qui ne sont autres que les suites nulles à partir d’un certain rang. De plus sur C[X],
le produit de convolution n’est autre que le produit classique des polynômes.
On notera conformément à l’usage :
,...0....,0,0,1,0(X
et
,...0,...0,1(1
0 S
X
La suite
n
an 
nulle à partir du rang m+1 s’obtient alors comme
mk
k
k
kXa
0
La suite
n
an 
quelconque sera notée
n
n
n
nXa
0
. (Série formelle).
Enfin remarquons qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’une suite x de S admette
un inverse pour le produit de convolution est tout simplement
0
0x
En effet la condition
yx
=1S va se traduire par les égalités successives :
;..... 0 ;.....;0 ; 0 ;1 0
021120011000  
nk
kknk yxyxyxyxyxyxyx
Ces relations déterminent de manière unique une suite y définie de proche en proche par :
;
1
0
0x
y
et n N*
 nk
kknkn yx
x
y1
0
1
Ces préliminaires effectués, revenons à la suite de Fibonacci.
Sa génération peut s’exprimer par : n 2
0111 21   nnn xxx
Si on fait intervenir la suite
....(0...,0,0,1,1,1( p
, c’est à dire le polynôme
²1 XX 
, cela
peut aussi s’écrire : n 2 (p x)n = 0 . Or (p x)0=1 x0=1 et (p x)1=1 x1-1 x0=0
On en déduit que p x=1S et donc que x n’est autre que l’inverse de p pour la loi .
Pour la recherche de cet inverse nous allons utiliser un morphisme de C algèbre permettant
d’identifier une partie de S à une partie du corps classique C(X) des fractions rationnelles à
coefficients complexes.
On vérifie facilement que l’application :
1
)]([)(
)( )(
)( 
 XQXP
XQ XP
XF
est
parfaitement définie sur l’ensemble des fractions rationnelles n’admettant pas 0 pour pôle.
Dans ce cas en effet l’inverse de Q(X) pour a bien un sens et
1
)]([)(  XQXP
est
indépendant du choix du représentant (P(X), Q(X)) de la fraction F(X).
Il est facile alors de montrer que est un morphisme injectif pour les trois lois usuelles de C
algèbre. On pourra donc conformément à l’usage confondre dans les notations le composé
1
)]([)(  XQXP
avec la fraction rationnelle F(X).
Ainsi pour inverser p nous allons décomposer
)(1 Xp
en éléments simples dans C(X).
On obtient
 21
11
5
1
²1 1XXXX
avec
251
et
251 21

Il suffit alors de remarquer que quelque soit complexe non nul, l’inverse pour de X-
n’est autre que la suite de terme général
1
1
n
. (Vérification évidente).
De
n
nn
X01
11
on déduit en faisant agir :
n
n
nnn Xp 0 1
2
1
1
1])
1
()
1
[(
5
1
On retrouve bien ainsi l’expression classique de la suite de Fibonacci.
n N
 11
251 251
5
1nn
n
x
Généralisation.
La relation de récurrence linéaire (F) peut s’écrire également :
n p
0..........
110   pnpknknn xaxaxaxa
Si on fait intervenir le polynôme
p
p
k
kXaXaXaaQ  ........... 10
, l’égalité ci dessus
s’interprète comme : n p
0)(  n xQ
.
Ainsi
xQA 
est un polynôme et on obtiendra x par :
1
 QAx
Commençons donc par décomposer
)( )(XQ XA
en éléments simples.
 Sa partie entière est nulle, car A est de degré au plus p-1. ( An=0 pour n p)
 Ses pôles sont les inverses des racines qj du polynôme caractéristique P de (F) défini dans
la méthode précédente puisque
)
1
()( X PXXQ p
.
Ainsi dans le cas où toutes les racines de P sont non nulles et distinctes on obtient une
décomposition du type :
pj
jj
j
qX
XQ XA
11
)(
)( )(
On en déduit en faisant intervenir :
  pj
j
n
n
n
jj qQAx 1 0
11 )(
On retrouve bien dans ce cas une expression du type : n N
 pj
j
n
jjn qx 1
1
)(
Si une des racines de P est multiple d’ordre r, on sera amené après décomposition à évaluer
dans S les inverses de polynômes du type
k
X)( 
pour k {2,…,r}
On vérifie alors facilement de proche en proche que ces puissances de
1
)(  X
sont du
type :
n
n
n
n
k
kX
nP
x0
1)(
)( 1
avec n Pk-1(n) polynôme de degré k-1.