Suites récurrentes

SUITES RECURRENTES LINEAIRES.
On se propose de présenter à partir d’un exemple simple les principales méthodes de
traitement des suites récurrentes linéaires d’ordre p  2, c’est à dire dont les termes sont
générés à partir de p sources arbitraires x0, x1,……, xp à l’aide d’une formule (F) du type :
 n N
a0 x n p  a1 x n p 1  ...........  a p x n  0 avec a 0 ,...., a p fixés et a0  0
Les termes et constantes considérés sont supposés réels ou complexes. Le but principal est
l’obtention d’une formule directe explicitant xn en fonction de n et des sources retenues.
L’exemple choisi pour l’étude est la classique suite de Fibonacci d’ordre p=2 définie par
x0  1 ; x1  1 ; et n  0 xn2  xn1  xn
L’ordre adopté pour la présentation des méthodes est le suivant :
A) Emploi de suites géométriques construites à partir de la suite étudiée.
B) Utilisation du produit de convolution.
C) Emploi de la théorie de la dimension.
D) Interprétation matricielle et utilisation des méthodes de réduction.
E) Emploi de dérivées successives de fractions rationnelles.
F) Utilisation de divisions Euclidiennes.
G) Recours à la transformée de Laplace.
Dans chaque étape nous commencerons par l’étude particulière sur la suite de Fibonacci puis
sera abordée la généralisation de la méthode.
A) Emploi de suites géométriques.
Considérons la suite auxiliaire définie par  n  N y n  x n1  x n et voyons si on peut
choisir le paramètre  de façon que la progression des yn soit géométrique.
Comparons yn et y n1  xn2  xn1  (1  ) xn1  xn . Si on choisit  de façon que
(1   )  1 , on aura bien un schéma géométrique de raison q  1  
De ²    1  0 on déduit les deux valeurs possibles et les raisons associées :

1 5
1 5
on a q1 
et x n 1  1 x n  ( q1 ) n ( x1  1 x 0 )
 Pour 1 
2
2

 Pour    1  5 on a q  1  5 et x   x  ( q ) n ( x   x )
2
2
n 1
2 n
2
1
2 0

2
2
Par différence et vu que 1   2  5 et x0  x1  1 on obtient la formule bien connue :
 n N
1  1  5 


xn 
5  2 

n 1
1 5 

 

2


n 1



Généralisation.
k  p2

Pour une suite satisfaisant à (F), posons pour tout n : y n  x n p 1 
k
xnk
k 0
D’après (F) : y n1  x n p 
k  p2
  k xn1k  
k 0
En regroupant il vient :
y n1  
ap
a0
xn 
1
a0
k  p 1
k  p2
k 0
k 0
 a pk xnk 
k  p 1
 (
k 1

a pk
k 1
a0

k
xn1k .
) xnk
a pk
. La proportionnalité y n1  qy n est alors
a0
assurée pour tout n si  0 ,....,  p  2 , q satisfont aux contraintes :
Posons alors par commodité d’écriture bk  
q 0  b0 ; k  1,...., p  2 q k   k 1  bk et q   p  2  b p 1
Des p-1 premières égalités on déduit facilement de proche en proche les expressions de
i  p2
i k
 0 ,...,  p  2 en fonction de q :  0 
b q
i
b0
b b q
; 1  0 1 ; ...;  k  i 0 k 1 ;...;  p  2 
q
q²
q
i
b q
i
i
i 0
q p 1
La dernière contrainte donne une condition sur q : b0  b1q  .....  bp1q p1  q p , équivalente à
l’équation : a0 q p  a1q p1  .....  ak q pk  ....  a p1q  a p  0
Ici intervient donc un polynôme fondamental appelé polynôme caractéristique de la relation
k p
linéaire (F) et défini par : P( X )   a pk X k
k 0
Il admet ‘p’ racines complexes, chacune étant comptée avec son ordre de multiplicité.
Si on se place dans le cadre restreint où ces p racines q1 ,...., q p sont distinctes et non nulles,
on va voir que comme dans l’exemple il est possible de combiner les suites géométriques
associées de façon à en tirer une expression de x n  p 1 seul.
Notons  jk la valeur de  k obtenue pour la raison qj et y nj  xn p 1 
k  p2

j
k
xnk
k 0
Le problème de l’élimination de x n ,......, x n p 2 par combinaison des suites géométriques ci
dessus, revient à choisir un jeu de coefficients 1 ,.....,  p tel que :
 k  {0,1,….,p-2}
k  p2
  j  jk  0 , avec bien sûr
k 0
j p

j 1
j
0
i k
Vu l’expression trouvée plus haut pour les coefficients :   
j
k
bi (q j ) i
(q j ) k 1
On en déduit facilement de proche en proche que les p-1 annulations requises se ramènent au
j p
j
 0 , avec k  {1,…, p-1}
système plus simple formé par les p-1 équations (Ek) : 
p
j 1 ( q j )
i 0
 La théorie des équations linéaires assure l’existence d’un jeu de solution non
identiquement nul. (système linéaire homogène de p-1 équations à p inconnues ).
Cependant on ne peut affirmer que 1  ....   p sera non nulle.
 Si on adjoint au début la condition supplémentaire 1  ....   p =1, le déterminant du
système carré obtenu est alors un déterminant classique de Vandermonde :
 1 1
1
1
V ( ,........, )       0 .

q1
qp
qi 
1i  j  p  q j
On peut alors conclure l’existence et l’unicité d’un jeu de solutions  k
 Mais l’intervention d’une fraction rationnelle se révèle tout aussi efficace avec en prime la
donnée des coefficients cherchés.
X p1
Considérons en effet F ( X ) 
avec P polynôme caractéristique de (F) défini
P( X )
précédemment.
X p 1 j  p  j

Sa décomposition en élément simples s’écrit :
.
P( X ) j 1 X  q j
D’après Leibniz, les dérivées successives de F s’annulent en 0 jusqu’à l’ordre p-2.
j p
j
0
Ceci se traduit en fait :  k  {1,…., p-1} 
k
j 1 ( q j )
1
1
xp
, on tire 1  ....   p  . Ainsi on peut choisir pour tout j de
 lim
a0
a0 x P( x )
{1,…., p} :  j  a0 j . L’élimination recherchée est alors effective, avec une somme de
De plus, de
coefficients égale à 1. La combinaison des suites géométriques n  y nj conduit enfin à la
j p
formule explicite :  n  N x n  p 1    j ( q j ) n y 0j
j 1
B) Utilisation du produit de convolution.
Sur l’ensemble S des suites de complexes on définit les deux lois internes suivantes :
 Somme usuelle x+y définie par  n  N ( x  y ) n  xn  y n
k n
 Produit de convolution x  y défini par  n  N ( x  y ) n   x k y n  k
k 0
On vérifie facilement que S est structuré en Anneau pour ces deux opérations, le neutre étant
la suite 1S= (1,0,0….,0,… ( dont tous les termes sont nuls sauf le premier égal à 1.
Si on complète avec la loi externe à opérateurs dans C, définie par (x ) n  x n , S acquiert
une structure de C algèbre commutative.
Remarquons que S contient en fait la sous algèbre C[X] des polynômes à coefficients
complexes qui ne sont autres que les suites nulles à partir d’un certain rang. De plus sur C[X],
le produit de convolution n’est autre que le produit classique des polynômes.
On notera conformément à l’usage : X  (0,1,0,0....,0,... et X 0  1S  (1,0,...0,...
k m
La suite n  a n nulle à partir du rang m+1 s’obtient alors comme
a
k
Xk
k 0
n
La suite n  a n quelconque sera notée
a
n
X n . (Série formelle).
n 0
Enfin remarquons qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’une suite x de S admette
un inverse pour le produit de convolution est tout simplement x0  0
En effet la condition x  y =1S va se traduire par les égalités successives :
k n
x 0 y 0  1; x 0 y1  x1 y 0  0 ; x 0 y 2  x1 y1  x 2 y 0  0;.....;  x k y n  k  0 ;.....
k 0
Ces relations déterminent de manière unique une suite y définie de proche en proche par :
1
1 k n
y0 
; et  n  N* y n    x k y nk
x0
x0 k 1
Ces préliminaires effectués, revenons à la suite de Fibonacci.
Sa génération peut s’exprimer par :  n  2 1  x n  1  x n1  1  x n2  0
Si on fait intervenir la suite p  (1,1,1,0,0...,0....( , c’est à dire le polynôme 1  X  X ² , cela
peut aussi s’écrire :  n  2 (p  x)n = 0 . Or (p  x)0=1  x0=1 et (p  x)1=1  x1-1  x0=0
On en déduit que p  x=1S et donc que x n’est autre que l’inverse de p pour la loi  .
Pour la recherche de cet inverse nous allons utiliser un morphisme de C algèbre permettant
d’identifier une partie de S à une partie du corps classique C(X) des fractions rationnelles à
coefficients complexes.
P( X ) 
 P( X )  [Q( X )] 1 est
Q( X )
parfaitement définie sur l’ensemble des fractions rationnelles n’admettant pas 0 pour pôle.
Dans ce cas en effet l’inverse de Q(X) pour  a bien un sens et P( X )  [Q( X )]1 est
indépendant du choix du représentant (P(X), Q(X)) de la fraction F(X).
On vérifie facilement que l’application  : F ( X ) 
Il est facile alors de montrer que  est un morphisme injectif pour les trois lois usuelles de C
algèbre. On pourra donc conformément à l’usage confondre dans les notations le composé
P( X )  [Q( X )]1 avec la fraction rationnelle F(X).
Ainsi pour inverser p nous allons décomposer
On obtient
1
en éléments simples dans C(X).
p( X )
1 5
1 5
1
1  1
1 
 avec 1 

et  2 


2
2
1 X  X ²
5  X  1 X   2 
Il suffit alors de remarquer que quelque soit  complexe non nul, l’inverse pour  de X- 
1
n’est autre que la suite de terme général n 1 . (Vérification évidente).

n
1
1
1 n 1 n1
1
   n 1 on déduit en faisant agir  : p 1 
De
[( )  ( ) n1 ] X n

X 
2
5 n 0 1
n 0 
On retrouve bien ainsi l’expression classique de la suite de Fibonacci.
1  1  5 


 n  N xn 
5  2 

n 1
1 5 

 

2


n 1



Généralisation.
La relation de récurrence linéaire (F) peut s’écrire également :
 n  p a0 x n  a1 x n 1  ....  a k x n  k  ......  a p x n  p  0
Si on fait intervenir le polynôme Q  a0  a1 X  .....  ak X k  ......  a p X p , l’égalité ci dessus
s’interprète comme :  n  p (Q  x ) n  0 .
Ainsi A  Q  x est un polynôme et on obtiendra x par : x  A  Q 1
Commençons donc par décomposer
A( X )
en éléments simples.
Q( X )
 Sa partie entière est nulle, car A est de degré au plus p-1. ( An=0 pour n  p)
 Ses pôles sont les inverses des racines qj du polynôme caractéristique P de (F) défini dans
1
la méthode précédente puisque Q ( X )  X p P ( ) .
X
Ainsi dans le cas où toutes les racines de P sont non nulles et distinctes on obtient une
j
A( X ) j  p

décomposition du type :
Q ( X ) j 1 X  ( q j ) 1
j p
n
j 1
n 0
On en déduit en faisant intervenir  : x  A  Q 1    j   ( q j ) n 1
j p
On retrouve bien dans ce cas une expression du type :  n  N x n     j ( q j ) n 1
j 1
Si une des racines de P est multiple d’ordre r, on sera amené après décomposition à évaluer
dans S les inverses de polynômes du type ( X  ) k pour k  {2,…,r}
On vérifie alors facilement de proche en proche que ces puissances de ( X  ) 1 sont du
n
P (n)
1
  k 1n X n avec n  Pk-1(n) polynôme de degré k-1.
type :
k
( x  )

n 0
(Cette vérification est élémentaire si on introduit une dérivation formelle sur S généralisant la
dérivation des fractions rationnelles) ; Sans cela on aura recours au calcul classique des
in
sommes du type
 (i )
k
à l’aide d’un polynôme de degré k+1 de la variable i.
i 0
On obtiendra donc si les racines de P sont q1 ,...., qm non nulles et d’ordres respectifs r1 ,....., rm
une expression du terme général xn du type :
 n  N xn  B1 (n)( q1 ) n  .....  B j (n)( q j ) n  .....  Bm (n)( qm ) n
(avec  j n  Bj(n) polynôme de degré rj-1).
C) Emploi de la théorie de la dimension.
Notons E l’ensemble des suites de complexes satisfaisant à la relation de récurrence de
Fibonacci : (F)  n  N un2  un1  un .
E est un sous espace du C espace S des suites de complexes, et est isomorphe au produit
f
E 
C C
cartésien C  C par l’application 
u  (u0 , u1 )
En effet f est bien C linéaire et à tout couple de sources (u0, u1) correspond une et une seule
suite construite suivant le schéma de Fibonacci.
E est donc de dimension 2 sur C. Tout système libre de deux vecteurs de E engendrera donc
la suite de Fibonacci de sources (1,1).
Cherchons alors s’il existe des suites géométriques appartenant à cet espace E.
Il est clair que n  q n satisfait à la relation (F) si et seulement si q ²  q  1
1 5
1 5
et q2 
. Deux suites de raison différentes
2
2
n’étant pas colinéaires, il existera donc un jeu de coefficients complexes (,  ) tel que le
terme général de la suite de Fibonacci s’écrive : x n  ( q1 ) n  ( q2 ) n
D’où deux raisons possibles : q1 
1    
Les conditions initiales 
permettent de déterminer ces deux coefficients.
1  q1  q2
1  1  5 


On retrouve bien sûr  n  N x n 
5  2 

n 1
1 5 

 

 2 
n 1



Généralisation.
Le sous espace E des suites satisfaisants à (F) est ici isomorphe à Cp par l’intermédiaire de
f
 E 
Cp
l’application : 
. Il est donc de dimension p. La suite géométrique n  q n
u  (u 0 ,.....u p 1 )
appartient à E si et seulement si a0 q p  a1q p1  ....  a p1q  a0  0
Les valeurs possibles sont donc les racines du polynôme caractéristique P de (F).
 Toujours dans le cas où ces racines qj sont non nulles et distinctes deux à deux, on vérifie
facilement par récurrence sur p que les suites géométriques de raison respectives q1,…,qp
forment un système libre et donc une base de E.
En effet si  n  N 1 (q1 ) n  ......   p (q p ) n  0 on a par décalage d’indice :
1 (q1 ) n  ......   p (q p ) n  0 . Par combinaison de ces égalités :
n  N
 2 (q2  q1 )( q2 ) n  .....   k (qk  q1 )( qk ) n  ....   p (q p  q1 )( q p ) n  0
On se ramène donc à une combinaison d’un système de p suites supposées indépendantes.
On en déduit facilement  2  ......   p  0 puis 1  0
Le terme général xn sera donc explicité comme combinaison des p suites n  (q j ) n
 Si q est racine d’ordre r du polynôme caractéristique P, on va voir que les r suites du type
n  n k ( q) n appartiennent toutes à E lorsque k décrit {0,1…., r-1}.
Pour cela considérons l’endomorphisme ‘shift’ sur E noté T, transformant toute suite n  x n
de S en la suite n  x n1 . Notons IS =T0 l’application identique sur S.
L’appartenance de x à E s’interprète alors comme (a0T p  a1T p1  ....  a p1T  a p I S )( x)  0 S
Or de l’hypothèse P( X )  ( X  q) r B( X ) on déduit P(T )  B(T )  (T  qI S ) r
L’image par T  qI S de la suite n  n k ( q) n n’est autre que la suite n  [( n  1) k  n k ]q n
Cette image est donc combinaison linéaire des suites du type n  n j q n avec j  {0,…,k-1}
Par répétition du procédé et vu la linéarité de T, l’image par (T  qI S ) k 1 de n  n k ( q) n sera
donc nulle.
On en déduit que  k  {0,…..,r-1} l’image par (T  qI S ) r de la suite n  n k ( q) n sera nulle
L’image de cette même suite par P(T )  B(T )  (T  qI S ) r sera donc aussi nulle.
L’appartenance à E des r suites n  n k ( q) n pour k  {0,…..,r-1} est bien vérifiée.
On peut ensuite montrer sans grande difficulté * que ces suites forment un système libre puis
que la réunion de ces systèmes lorsqu’on prend pour q les racines successives du polynôme
caractéristique P forment encore un système libre. On construit donc ainsi une base de E
puisque la somme des ordres de multiplicité de ces racines égale le degré p de P donc la
dimension de E.
On retrouve donc pour le terme général d’une solution de (F) une expression identique à celle
donnée par la méthode précédente.
j m
( * Si P( X )   ( X  q j ) j on peut montrer directement en appliquant le théorème de Bezout
r
j 1
généralisé aux polynômes premiers dans leur ensemble Q j ( X ) 
P( X )
(X  qj )
P(T) est somme directe des noyaux des endomorphismes (T  q j I S )
rj
rj
, que le noyau de
D) Intervention des matrices.
Dans le cas de Fibonacci considérons le vecteur de C² défini par vn  ( xn , xn1 )
Le passage de vn à vn+1 s’effectue alors par l’intermédiaire de l’endomorphisme f dont la
 0 1

matrice dans la base canonique (e1, e2) de C² est A  
 1 1
Le polynôme caractéristique de cette matrice est P( X )  X ²  X  1 dont les deux racines
distinctes sont q1 
1 5
1 5
et q2 
2
2
q 0 
 . A  BDB 1 avec B matrice de
A est donc semblable à la matrice diagonale D   1
 0 q2 
passage de (e1, e2) à une base de vecteurs propres : u1  e1  q1e2 ; u2  e1  q2u2
1
 (q ) n
1   q2 1 
 et B 1 
 . De D n   1

q2 
5  q1  1
 0
n
n
n
n
(q1 )  (q2 ) 
1  q1 (q2 )  q2 (q1 )


facilement An 
5  q1 (q2 ) n1  q2 (q1 ) n1 (q1 ) n1  (q2 ) n1 
1
On a donc B  
 q1
1  1  5 


Enfin, grâce à v n  f ( v0 ) on retrouve x n 
5  2 

n
n 1
0 
 on déduit alors
(q2 ) n 
1 5 

 

2


n 1



Généralisation.
On considère sur l’espace C p le vecteur v n  ( x n , x n1 ,......, x n p 1 ) .
Ici v n1  f ( v n ) avec f représenté dans la base canonique (e1,….., en) par la matrice
carrée d’ordre p :
 0

 0

A .
 0
  ap
 a
 0
1
0
.
0
 a p 1
a0
0 . .
1 0 .
. . .
. . 0
.
.
.
0 

0 
. 

1 
 a1 
a0 
On vérifie facilement par récurrence sur p en développant suivant la première colonne, que le
polynôme caractéristique de cette matrice n’est autre que :
det( A  XI p ) 
( 1) p
[a p  a p 1 X  .....  a1 X p1  a0 X p ]
a0
On reconnaît bien sûr : det( A  XI p ) 
relation de récurrence (F).
(1) p
P( X ) avec P polynôme caractéristique de la
a0
 Dans le cas où les p racines qj de ce polynôme sont distinctes, A est alors diagonalisable et
semblable à la matrice D  diag ( q1 ,...., q p ) . On retrouve alors xn explicité comme
combinaison linéaire des suites géométriques n  (q j ) n
 Dans le cas où les racines ne sont pas distinctes, on devra se contenter d’une réduite
triangulaire, avec la technique classique des blocs de Jordan.
Rappelons que si un bloc est du type B j  q j I r  N avec Ir matrice unité d’ordre r et N
nilpotente telle que N r  0 , on obtiendra grâce à la formule du binôme de Newton :
Bj 
n
k  r 1
n
  k (q
k 0
 
j
) nk N k
 n  n( n  1)....( n  (k  1))
Or la suite n    
est une suite polynômiale de degré k.
k!
k 
On retrouvera ainsi une expression du terme général xn du type obtenu dans les études
précédentes, c’est à dire  n  N xn  P1 (n)( q1 ) n  .....  Pj (n)( q j ) n  .....  Pm (n)( qm ) n
(avec  j n  Pj(n) polynôme de degré rj-1).
E) Emploi de dérivées successives de fractions rationnelles.
La fraction rationnelle x  f ( x ) 
1 
1
est de classe C  sur R privé des pôles
1  x  x²
1 5
1 5
; 2 
.
2
2
Ses dérivées successives peuvent être facilement évaluées de proche en proche grâce à la
formule de Leibniz appliquée à l’égalité fonctionnelle : (1  x  x ²) f ( x )  1
Pour n  2 on obtient : ( x ²  x  1) f ( n ) ( x )  n(2 x  1) f ( n1) ( x )  n(n  1) f ( n2 ) ( x )  0
Pour x=0 il vient alors f ( n ) (0)  nf ( n1) (0)  n(n  1) f ( n2) (0)
f ( n ) ( 0)
Ainsi la suite n  u n 
satisfait à la relation de récurrence un  un1  un2
n!
Un calcul direct donne les valeurs initiales u0  f (0)  1 et u1  f (0)  1
Cette suite n’est donc autre que celle de Fibonacci.
Utilisons alors la décomposition en éléments simples : f ( x ) 
1  1
1 



5  x  1 x   2 
Elle nous permet dévaluer directement la dérivée d’ordre n. On obtient facilement :
f ( n) ( x) 
 1  (1) n n!
(1) n n! 
 . Ainsi on retrouve :


n 1
( x   2 ) n1 
5  ( x  1 )
f ( n ) ( 0)
1  1 
xn 

 
n!
5  1 
n 1
1
  
 1 
n 1
n 1
n 1

 1 5  
1  1  5 
 
 

 = xn 
 2  
5  2 


 

Généralisation.
Considérons le polynôme Q( X )  a0  a1 X  .....  ak X k  ......  a p X p déjà utilisé dans la
méthode du produit de convolution et examinons une fraction rationnelle du type :
g ( x)
dans laquelle g désigne une fonction polynôme de degré au plus p-1.
x  f ( x) 
Q( x )
On peut encore évaluer de proche en proche les dérivées successives de f toujours par Leibniz
appliqué à f ( x )Q( x )  g ( x ) .
Pour n  p on a g ( n ) ( x )  0 . On en déduit facilement en 0 :
k p
 ak
k 0
(n)
( 0)
satisfait donc à la relation de récurrence générale (F),
n!
et ceci quel que soit le polynôme x  g ( x)  0  1 x  .....   p1 x p1
La suite définie par n  u n 
f
f ( nk ) (0)
0
(n  k )!
Il est alors facile d’ajuster les coefficients de g de façon que les p premiers termes de la suite
un coïncident exactement avec p sources arbitraires x0,….., xp-1 d’une solution donnée de (F)
k n
En effet, toujours grâce à Leibniz et pour n  p : n! ak
k 0
f ( n  k ) ( 0)
 n! n
(n  k )!
k n
Il suffit donc de choisir  n   a k x n  k .
k 0
On aura alors la coïncidence parfaite des deux suites u et x. Donc  n  N x n 
f ( n ) ( 0)
n!
Il suffit maintenant de décomposer f en éléments simples et de calculer directement ainsi la
dérivée d’ordre n quelconque. On retrouve bien les formules générales des paragraphes
précédents.
F) Emploi de la division Euclidienne.
Considérons la division Euclidienne de X n par P( X )  X ²  X  1 .
C’est un schéma du type X n  ( X ²  X  1)Qn ( X )  a n X  bn avec Qn polynôme.
Nous pouvons étudier les coefficients an et bn de deux façons.
 De proche en proche. En effet en multipliant l’égalité précédente par X et en utilisant
a  an  bn
X ²  P( X )  X  1 on voit que le nouveau reste s’écrit an1 X  bn1 avec  n1
bn1  an
On en déduit que  n  1 an1  a n  a n1 .
Le calcul direct donne a1  a2  1 . La suite n  an1 n’est donc autre que celle de Fibonacci.
1 5
1 5
et q2 
. En remplaçant X ces racines
2
2
( q1 ) n  a n q1  bn
dans le schéma de la division on obtient le système : 
( q2 ) n  a n q2  bn
 En utilisant les racines de P, soit q1 
Par différence il vient immédiatement a n 
1
[( q1 ) n  (q2 ) n ]
5
Généralisation.
k p
On divise X n par le polynôme caractéristique de (F) : P( X )   a pk X k
k 0
X n  P( X )Qn ( X )  Rn ( X ) avec Qn polynôme et Rn ( X )  0n  1n X  ......   np1 X p1
 Etudions l’évolution des restes de proche en proche. Pour faciliter les notations nous
 a pk
P( X )
 b0  b1 X  ......  b p 1 X p 1 avec  k  {0,…,p-1} bk 
écrirons X p 
a0
a0
Le produit par X donne alors pour nouveau reste l’expression suivante :
Rn1 ( X )  X [Rn ( X )   np1 X p1 ]   np1[b0  b1 X  ....  bp1 X p1 ]
Ceci va se traduire pour n  p-1 sur les coefficients de ces restes par les égalités :
 0n1  b0  np 1
 n1
n
n
n 1
n
1   0  b1 p 1  b0  p 1  b1 p 1
 n1
 2  1n  b2  np 1  b0  np21  b1 np11  b2  np 1

.............................................................
..............................................................

 np11   np  2  b p 1 np 1  b0  np11 p  b1 np21 p  .......  b p 1 np 1
La dernière relation écrite avec les coefficients initiaux s’écrit alors :
 n  p-1 : a0  np11  a1 np1  ............  a p  np11 p  0
Ainsi la suite n   np1 apparaît comme une des solutions de la relation de récurrence (F)
Pour n  p-1, le quotient Qn est nul et le reste égal à X n .
Ceci nous donne les sources suivantes : 0p1  1p1  ......   pp12  0 et  pp11  1
De  0n  b0  np11 pour n  1 on déduit que la suite n   0n est encore solution de (F) avec
pour sources :  00  1 ; 10   02  .......   0p 1  0
De même, par combinaison linéaire des solutions précédentes, la suite n  1n  0n1  b1 np11
est également solution avec pour sources 10  0 ; 11  1 ; 12  .....   2p1  0
De proche en proche on montre ainsi facilement que  k  {0,1,…..,p-2} la suite n   nk est
la solution de (F) satisfaisant aux conditions initiales :  ik  0 pour i  k et  kk  1
 Evaluons maintenant les coefficients du reste Rn de manière directe, en utilisant les racines
qj du polynôme caractéristique P.
 j  {1,…m}  n  N : (q j ) n  0n  1n (q j )  ..........   np1 (q j ) p1
Dans le cas où toutes les racines de P sont distinctes, on obtient pour chaque valeur de n un
système linéaire de p équations à p inconnues 0n , .......,  np1 dont le déterminant est le
déterminant de Vandermonde V ( q1 ,....., q p ) différent de 0.
On pourra donc grâce aux formules de Cramer expliciter chaque  nk comme combinaison
linéaire des suites géométriques n  (q j ) n
Dans le cas où la racine qj est multiple d’ordre rj, on utilisera le fait que cette racine annule les
dérivées successives de P jusqu’à l’ordre rj-1.
n!
(k )
Cette racine donne donc rj équations qui s’écrivent :
(q j ) nk  Rn (q j )
(n  k )!
Le système général de p équations est encore de Cramer et on pourra encore expliciter les
suites n   nk comme combinaisons linéaires des second membres.
G) Utilisation de la transformée de Laplace.
Rappelons la définition de la transformée de Laplace d’une fonction f :
L
f

F ( p)  

0
f ( x)e  px dx (sous réserve de convergence)
Si f est une fonction en escalier, prenant la valeur constante un sur chacun des intervalles
 1  e  p n  pn
 un e
In= [n, n+1[ ; n décrivant N, on obtient en décomposant : F ( p)  
 p  n 0
La convergence est assurée pour p sassez grand si par exemple la suite n  un est majorée
en valeur absolue par une suite géométrique.
 1 e p  1

Par exemple si u n  q n on obtient pour F ( p )  
p
 p  1  qe
Examinons l’effet d’un décalage d’indice sur la transformée de Laplace de ces fonctions.
Si on considère g définie par t  g (t )  f (t  1) donc prenant la valeur un+1 sur In sa
 1  e  p n 
 1 e p 
 un1e  pn  e p F ( p )  u0 e p 

transformée G sera G( p)  
 p  n 0
 p 
En répétant l’opération, un décalage de 2 donnera pour la fonction h définie par
 1  e p 
(u0 e 2 p  u1e p )
t  h(t )  f (t  2)  g (t  1) une transformée H ( p )  e 2 p F ( p )  
 p 
Considérons alors la fonction f associée à la suite de Fibonacci.
La relation  n  N un2  un1  un s’interprète ici  t  0 h(t )  g (t )  f (t )
En passant aux transformées de Laplace supposées définies, il vient :
 1 e p 
 1 e p 
 +F(p)
(u0 e 2 p  u1e p )  e p F ( p)  u0 e p 
e 2 p F ( p)  
 p 
 p 
 1 e p 
1

Vu les sources u0=u1=1 on obtient : F ( p)  
p
2 p
 p  1 e  e
On a utilisé précédemment la décomposition :
1 5
1 5
1
1  1
1 
 avec 1 

et  2 


2
2
1 X  X ²
5  X  1 X   2 
Pour X  e
p

q2
1
1  1  e  p  q1
 en posant qi 


on obtient F ( p) 

p
p 
i
1  q2 e 
5  p  1  q1e
On reconnaît alors la transformée de Laplace de la fonction associée à la combinaison des
1
suites géométriques un 
q1 (q1 ) n  q2 (q2 ) n  .
5
1 5
1 5
et q2 
Il s’agît bien de la formule classique puisque q1 
2
2
Généralisation.
Pour une fonction en escalier construite à partir de f par t  f (t  k ) , avec k entier fixé, la
transformé de laplace s’obtient en répétant le décalage d’indice par :
 1  e p 
(u0 e kp  u1e ( k 1) p  u2 e ( k 2 ) p  ......  uk 1e p )
Fk ( p )  e kp F ( p )  
 p 
La relation de récurrence (F) se transforme par Laplace en :
a0 F p ( P )  a1 Fp 1 ( P )  ........  a p 1 F1 ( P )  a p F ( P )  0
 1  e  P  A(e  p )

On en déduira une expression de F du type : F ( P )  
avec B polynôme de
p
P

 Q( e )
degré au plus p-1 et Q( X )  a0  a1 X  ....  a p X p
On poursuit en décomposant la fraction
A( X )
en éléments simples.
Q( X )
Ici encore si les racines qj du polynôme caractéristique de (F) sont non nulles et distinctes
deux à deux , celles de Q égales à leurs inverses seront toutes distinctes et la transformée F
 1  eP 
1

sera combinaison de termes du type 
P
 P 1 q j e
On retrouve alors xn combinaison des suites géométriques n  (q j ) n
Dans le cas des racines multiples le calcul est plus délicat. Il fait appel aux transformées des
 1  e  p  qe  p
k
n
n

suites n  n ( q) . Par exemple la transformée de n  n( q) est 
p 2
 p  (1  qe )
n
(On utilise le calcul des
 n k x n par dérivations successives de
n 0
n
1
  xn )
1  x n 0