Les Inéquations

Cours de mathématiques : les inéquations
3ème techniques Rensonnet Céline 2006
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Les Inéquations
1.Rappel : les équations
 Définition
Une équation est une égalité qui renferme une inconnue représentée par une
lettre.
 Résolution
1° On élimine les parenthèses, s’il y en a ;
2° On réduit au même dénominateur, s’il y a des coefficients fractionnaires ;
on chasse les dénominateurs communs dans les deux membres ;
3° On isole dans un membre tous les termes qui contiennent l’inconnue et
dans l’autre membre tous les autres termes ;
4° On effectue les calculs dans chaque membre ;
5° On détermine la (les) solution(s) en isolant l’inconnue ;
6° On vérifie la plausibilité de la (des) solution(s) trouvée(s).
 Equations particulières
0x = 0 est une …………………………….., elle est vérifiée quelle que soit la
valeur attribuée à l’inconnue. Tous les réels conviennent.
On notera : S =
0x = r (où r ≠ 0) est une …………………………, elle n’est JAMAIS vérifiée
quelle que soit la valeur attribuée à l’inconnue. Aucun réel ne
convient. On notera : S = {}.
 Exercices
 2x – 5 = 1 + x
x
x
3
2
 (x – 5) – (2x -6) = 3 + (2 – x) +
2
3

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 5(x - 3) = 5x – 5
 (x + 3)2 = x2 – 3x
2.Les inégalités
 Notion
L’écriture
Signifie que
a < b
a est strictement inférieur à b
a
b
a est inférieur à b
soit a est plus petit que b, soit a est égal à b
a > b
a est strictement supérieur à b
a
b
a est supérieur à b
soit a est plus grand que b, soit a est égal à b
a < x < b
x est strictement supérieur à a et strictement inférieur à
b
a
x
b
x est supérieur à a et inférieur à b
a < x
b
x est strictement supérieur à a et inférieur à b
a
x < b
x est supérieur à a et strictement inférieur à b
On note
pour
On lit aussi
a
0-
a
0
a est strictement négatif
a
-
a < 0
a est négatif
a
0+
a
0
a est strictement positif
a
+
a > 0
a est positif

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 Activité 1
Voici une série d’inégalités :
x > 3, x < 4, x 0, x -1, 1< x < 3, -5 > x > -6, -10 x < 100,
0 < x 5, -5 x 5.
Dans chaque cas, trouve toutes les solutions possibles pour x. Ensuite,
représente-les sur une droite de nombres et essaye de trouver la notation.
 Intervalles et représentations graphiques de l’ensemble
solution
Inégalité
Notation
Représentation
a < b
a
b
a > b
a
b
a < x < b
a
x
b
a < x
b
a
x < b
La notation d’intervalles permet d’exprimer un ensemble de réels compris entre
deux nombres différents. Les crochets indiquent l’appartenance ou non des
nombres qui bornent l’intervalle.
Chacun de ces intervalles contient une infinité de réels.
Par convention, la borne de gauche est strictement plus petite que la borne de
droite. (Exemple : [1 ; 4] a du sens alors que [4 ; 1] n’en a pas).
Représentation : sur la droite des nombres, tout ce qui est solution de l’inégalité
se dessine en vert. Les bornes se marquent en rouge si elles n’appartiennent pas
à l’ensemble solution et en vert si elles appartiennent.

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 Activité 2
Observons l’affichage lumineux de deux cages d’ascenseur d’un hôpital.
Le niveau 1 est plus bas que le niveau 3 :
Si les ascenseurs montent de 2 étages, l’ordre des étages est ………………….
Le niveau …. est ………………………………………. que le niveau …. :
……………………………………………..
……………………………………………..
Si les ascenseurs descendent de 4 étage, l’ordre des étages est ……………….
Le niveau …. est ………………………………………….que le niveau …. :
……………………………………………..
……………………………………………..
En multipliant par 2 le nombre d’étages, l’ordre des étages est ……………….
Le niveau …. est ………………………………………….que le niveau …. :
……………………………………………..
……………………………………………..
En multipliant par -1 le nombre d’étages, l’ordre des étages est ……………….
Le niveau …. est ………………………………………….que le niveau …. :

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……………………………………………..
……………………………………………..
Les observations qui précèdent peuvent se généraliser.
 Propriétés
Si on ajoute ou si on soustrait un même réel aux deux membres d’une
inégalité, on obtient une inégalité de ………….sens.
Si on multiplie ou si on divise les deux membres d’une inégalité par un
même réel ………………….., on obtient une inégalité de même sens.
Si on multiplie ou si on divise les deux membres d’une inégalité
par un même réel ………………….., on obtient une inégalité de sens
contraire.
 Exercices
1. Complète le tableau suivant :
Ensemble des réels x tel
que
x < 7
[2 ; 6 [
2. Si x, y et z sont des réels strictement positifs, indique parmi les
propositions suivantes celles qui sont vraies et justifie pourquoi les autres
sont fausses :
 Si x < y, alors x – 5 < y – 5
 Si x < y, alors
yx 11 
 Si x y, alors – x - y
 Si x < y, alors
z
y
z
x
 Si x > y, alors x . (– z) < y . ( - z)