Lycée Jules Verne 2016-2017 Seconde I. Chapitre 2 - Résolution d’équations et d’inéquations A. Heliard Equations du premier degré Ce sont des équations de degré 1, c’est à dire avec une puissance de x égale à 1. Principe de la méthode. On met les x d’un coté de l’égalité et le reste de l’autre coté. Exemples 3x + 3 =2x − 4 x+3=−4 x=−7 −2x −3 S = {−7} II. 1. 4x + 2 = − x − 3 5x + 2 = − 3 5x = − 5 x=−1 S = {−1} +x −2 ÷5 Equations du second degré Equations du type X 2 = a Principe de la méthode. • Si a < 0, alors l’équation n’a pas de solutions, on écrit S = ∅. √ √ √ √ • SI a > 0, alors l’équation a deux solutions : X = a et X = − a, on écrit S = {− a; a} . Exemples x2 = 9 ⇔ x = 3 ou x = −3 S = {−3; 3} 2. (2x + 1)2 = 4 ⇔ 2x + 1 = 2 ou 2x + 1 = −2 3 1 ⇔ x = ou x = − 2 2 S = {− 23 ; 12 } Equations produit nul Proposition (Règle du produit nul). Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul. Autrement dit , A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0. Principe de la méthode. Pour une équation du second degré autre que du type X 2 = a, on commence par mettre tous les termes du côté gauche du signe =, de sorte d’avoir "= 0", puis on factorise et on applique la règle du produit nul. Exemples 1 Lycée Jules Verne 2016-2017 Seconde Chapitre 2 - Résolution d’équations et d’inéquations (x + 1)(3x − 3) = 0 ⇔ x + 1 = 0 ou 3x − 3 = 0 ⇔ x = −1 ou x = 1 A. Heliard (2x + 4)2 = (x − 3)2 ⇔ (2x + 4)2 − (x − 3)2 = 0 ⇔ (x + 7)(3x + 1) = 0 ⇔ x + 7 = 0 ou 3x + 1 = 0 1 ⇔ x = −7 ou x = − 3 S = {−7; − 31 } S = {−1; 1} III. Equations quotient Principe de la méthode. On met tout au même dénominateur de sorte d’avoir une fraction égale à 0 et on résout "numérateur = 0" avec "dénominateur 6= 0". Exemple x+1 =0 3x − 3 ⇔ x + 1 = 0 et 3x − 3 6= 0 ⇔ x = −1 et x 6= 1 Or quand x = −1, on a x 6= 1 donc : S = {−1} IV. Inéquations du premier degré Principe de la méthode. Les étapes sont les mêmes que pour les équations du premier degré, mais attention il y a des règles à respecter : • ajouter ou soustraire une nombre de chaque côté de l’inégalité ne change rien au sens de l’inégalité. • multiplier ou diviser par un nombre strictement positif ne change pas le sens de l’inégalité • multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif change le sens de l’inégalité Exemples 3x + 3 <2x − 4 x+3<−4 x<−7 −2x −3 S =] − ∞; −7[ V. 1. −x − 3 64x + 2 −5x − 3 62 −5x 65 x>−1 S = [−1; +∞[ −4x +3 ÷−5 Résolution graphique d’inéquations Inéquations du type f (x) < k Lorsque l’on a un graphique, on peut l’utiliser pour résoudre certaines inéquations, attention cependant il ne s’agit que d’une résolution approchée. 2 Lycée Jules Verne 2016-2017 Seconde Chapitre 2 - Résolution d’équations et d’inéquations A. Heliard Définition(s). Résoudre une inéquation du type f (x) < k, c’est trouver les nombres réels x dont l’image par f est inférieure strictement à k. (cette définition est applicable aux signes >, 6, >) Principe de la méthode (Pour résoudre graphiquement f (x) < k). 1. On trace la droite d’équation y = k 2. On sélectionne la (ou les) partie(s) de la courbe qui se trouvent en dessous de cette droite et on en lit les abscisses 3. On donne le résultat sous forme d’intervalle (ou sous forme de réunion d’intervalles) Exemple. Solutions de : 1. f (x) > 3 2. f (x) 6 −1 3. f (x) > 1 2. Inéquations du type f (x) < g(x) On considère deux fonctions définies sur un même intervalle I. Définition(s). Résoudre f (x) < g(x) c’est trouver tous les nombres réels x (de l’intervalle I) dont l’image par f est inférieure strictement à celle par g. (cette définition est applicable aux signes >, 6, >) Principe de la méthode (Pour résoudre f (x) < g(x)). Il s’agit de déterminer les abscisses des points dont l’image par f est inférieure strictement à celle par g, pour cela on repère les abscisses des points de Cf situés en dessous des points de Cg . 3 Lycée Jules Verne 2016-2017 Seconde Chapitre 2 - Résolution d’équations et d’inéquations A. Heliard Exemple. Solutions de f (x) > g(x)? 5 Cf 4 3 A b 2 B b 1 −3 Cg −2 1 −1 2 3 −1 ☞ ex 74, 75, 76, 78 p 45-46 4