équations et inéquations

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09 – équations et inéquations
Résoudre une équation, ou une inéquation, consiste à rechercher l’ensemble des nombres
réels pour lesquels l’égalité, ou l’inégalité donnée est vraie. L’ensemble des solutions,
éventuellement vide, doit être donné en fin d’étude. Pour une inéquation, il est le plus souvent
exprimé en utilisant des intervalles.
résolution graphique des équations et inéquations
(voir n° 73 page 66)
La courbe suivante représente une fonction f.
Sur quel intervalle f est-elle définie ?
Résoudre :
a) f(x) = 2
b) f(x) > 2
c) f(x)  2
d) f(x) = – 1
e) f(x)  – 1
f) f(x) < – 1
(voir n° 77 page 67)
On donne les représentations graphiques Cf et Cg de
deux fonctions f et g définies sur [  1,5 ; 2,5 ] .
Résoudre graphiquement :
f(x) = g(x)
f(x) > g(x)
f(x)  g(x)
(voir n° 78 page 67)
On donne les représentations graphiques Cf et Cg de deux
fonctions f et g définies sur [ 0 ; 9 ] .
Résoudre graphiquement :
f(x) =  1
f(x)  1
f(x) <  1
g(x) =  1
g(x)  1
g(x) <  1
f(x) = g(x)
f(x)  g(x)
f(x) < g(x)
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résolution algébrique des équations de type ax + b = 0
si a  0, l’équation ax + b = 0 a pour solution unique ………………………………………
2x  3  x  5
Résoudre ces équations :
 2 x  3  5x  9
5(3x  1)  (1  2 x)  3(5x  2)
équations produits
on applique la propriété :
« un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul ».
résoudre l’équation (2 x  3)(1  4 x)  0
résoudre ces équations en les ramenant d’abord à un produit de facteurs :
4 x 2  ( x  1) 2  0
9x² – 1 = 3x + 1
3x² – 2x 3 + 1 = 0
(2 x  7) 2  9( x  2) 2  0
(3x + 2)² = (5 – 2x)²
(x + 2)² = x² – 4
équations quotients
On définit au préalable le domaine de résolution. Résoudre ces équations :
2x  3
0
x 1
2x5 4
6 x
1  x1
x5 x²25
3x  7
0
1 x
9  x 2
x2
x² 4
x1
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inéquations simples
Pour résoudre une inéquation, il faut avant tout connaître les propriétés suivantes :
on peut ajouter (ou soustraire) le même réel aux deux membres d’une inégalité :
quels que soient les réels a, b et c, si a  b alors a + c  b + c
exemple :
si x > 5, alors x + 2 ………………………….
si 2x + 1  – 3 alors 2x ………………………..
Le produit (ou le quotient) de deux réels est positif si et seulement si les deux réels sont de
même signe. Le produit (ou le quotient) de deux réels est négatif si et seulement si les deux
réels sont de signes contraires.
pour la multiplication (ou la division) il faut être particulièrement vigilant :
si on multiplie (ou divise) par un réel positif l’ordre est conservé :
si a  b et si c est positif, alors ac  bc
si on multiplie (ou divise)par un réel négatif l’ordre est inversé :
si a  b et si c est négatif, alors ac  bc
exemple :
si x  y alors 5x ……………… et – 2x ……………………..
avec deux inégalités de même sens a  b et c  d, on peut :
ajouter les inégalités membre à membre :
a  b

c  d
a+cb+d
les multiplier membre à membre si tous les membres sont positifs :
si a, b, c et d sont positifs et si
a  b

c  d
acbd
quand deux nombres sont positifs, leurs carrés sont dans le même
ordre et leurs inverses dans l’ordre contraire :
si 0  a  b, alors 0  a2  b2
si 0 < a < b alors
1 1
 0
a b
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attention à certaines idées répandues :
le carré d’un nombre n’est pas toujours supérieur à ce nombre !
Pour vous en convaincre, calculez (0,5)2.
résoudre les inéquations suivantes et donnez les solutions en utilisant des intervalles :
2 x  3  1
4x  7  2x  1
 x  1  3x  15
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inéquations produits et inéquations quotients
elles doivent être résolues par tableaux de signes, en définissant éventuellement au préalable
l’ensemble de résolution.
tableau de signe de ax + b (a  0)
x
ax + b
–

signe de a
b
a
0
+
signe de a
méthode pour résoudre l’inéquation (2 – x)(x + 4) > 0
x
2–x
x+4
–
+
(2 – x)(x + 4)
l’inéquation (2 – x)(x + 4) > 0 a donc pour solution ………………………………
résoudre ces inéquations produits et inéquations quotients, en appliquant technique des
tableaux de signes :
( x  3)(2 x  4)  0
x3
0
4x
x²1 0
x²4
x 2  16  0
2x  1
0
1 x
x²1 1
x²4
( x  1)  (2 x 2  2)  0
1 x
0
1 x
4  4 1
x² x