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Fonctions exponentielles - Classe de TES
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Document réalisé par S. Bignon
I - Fonction exponentielle de base q
Définition :
Soit q un nombre réel strictement positif. On appelle fonction exponentielle de base q la fonction :
f : IR −→ IR
x 7−→ q x
Remarque : Cette fonction est le prolongement
de la suite (u n ) telle que u n = q n pour tout entier
naturel n.
Sur le graphique ci-contre, les croix représentent
le nuage de point associé à la suite géométrique
de terme général u n = 1,5n .
On observe bien que la fonction définie sur IR par
f (x) = 1,5x prolonge cette suite.
1
0
1
Propriété : La fonction exponentielle de base q est une fonction dérivable sur IR donc également
continue sur IR.
Cette fonction est également positive sur IR.
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Propriété : Variations
Une fonction exponentielle de base q (q > 0) sera :
• croissante sur IR si q > 1
• décroissante sur IR si 0 < q < 1
• constante égale à 1 sur IR si q = 1
Exemple : Ci-contre, sont tracés les représentations graphiques des fonctions f et g telles que :
f (x) = 1,5x et g (x) = 0,7x
Cg
Cf
1
0
1
Propriété : Relation fonctionnelle
Pour tout nombre réel q > 0 et tous réels x et y : q x × q y = q x+y
Remarque : On en déduit alors les relations suivantes pour q réel strictement positif, x et y réels et
n entier naturel :
qx
1
x−y
•q
= y et q −x = x
q
q
n×x
x n
•q
= (q )
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II - La fonction exponentielle
1) Définition
Définition :
Parmi les fonctions exponentielles de base q, une seule admet 1 pour nombre dérivé en 0.
Il s’agit de la fonction exponentielle de base e notée exp et appelée fonction exponentielle
exp : IR −→ IR
x 7−→ e x
Remarques : On en déduit immédiatement les résultats suivants
• exp(0) = e 0 = 1
• e 1 = e ≈ 2,72
• toutes les propriétés des fonctions exponentielles de base q sont également valables pour la
fonction exponentielle et pour x et y nombres réels :
. ex > 0
. e x+y = e x e y
1
. e −x = x
e
x n
. (e ) = e nx pour n entier relatif
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2) Étude de la fonction exponentielle
Propriété : La fonction exponentielle est continue et dérivable sur IR. La dérivée de la fonction
exponentielle est elle-même : (expx)0 = e x
Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur IR.
Preuve : Pour tout x dans IR, e x > 0 et (expx)0 = e x donc la fonction exponentielle est bien strictement
croissante sur IR.
On en déduit alors le tableau de variation et la représentation graphique de la fonction exponentielle
x
−∞
0
exp 0 (x)
exp(x)
1
+∞
+
e
1
1
0
1
Propriété : La fonction exponentielle est une fonction convexe sur IR.
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3) Équations et inéquations
Propriété : Soient a et b deux nombres réels.
• ea = eb ⇔ a = b
• ea < eb ⇔ a < b
1) Résolvons l’équation e 2x+1 = 1. On a :
−1
e 2x+1 = 1 ⇔ e 2x+1 = e 0 ⇔ 2x + 1 = 0 ⇔ x =
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2) Résolvons l’inéquation e 3x−2 < e 2x+1 :
Exemple :
e 3x−2 < e 2x+1 ⇔ 3x − 2 < 2x + 1 ⇔ x < 3 donc S =] − ∞; 3[
4) Fonctions composées exp(u)
Propriété : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I , la fonction f : x 7−→ e u(x) est dérivable
sur I et, pour tout x de I :
f 0 (x) = u 0 (x) × e u(x)
Exemple : La fonction f : x 7−→ e −3x+5 définie sur IR a pour dérivée la fonction f 0 telle que :
f 0 (x) = −3 × e −3x+5
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