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Fonctions exponentielles - Classe de TES
1 Document réalisé par S. Bignon

I - Fonction exponentielle de base q
Définition :
Soit q un nombre réel strictement positif. On appelle fonction exponentielle de base q la fonction :
f: IR −→ IR
x7−→ qx
Remarque : Cette fonction est le prolongement
de la suite ( un ) telle que un=qn pour tout entier
naturel n.
Sur le graphique ci-contre, les croix représentent
le nuage de point associé à la suite géométrique
de terme général un=1,5n.
On observe bien que la fonction définie sur IR par
f(x)=1,5xprolonge cette suite.
1
0
1
Propriété : La fonction exponentielle de base q est une fonction dérivable sur IR donc également
continue sur IR.
Cette fonction est également positive sur IR.
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Propriété : Variations
Une fonction exponentielle de base q(q>0) sera :
•croissante sur IR si q>1
•décroissante sur IR si 0 <q<1
•constante égale à 1 sur IR si q=1
Exemple : Ci-contre, sont tracés les représenta-
tions graphiques des fonctions f et g telles que :
f(x)=1,5xet g(x)=0,7x
1
0
11
Cf
Cg
Propriété : Relation fonctionnelle
Pour tout nombre réel q>0 et tous réels xet y:qx×qy=qx+y
Remarque : On en déduit alors les relations suivantes pour q réel strictement positif, x et y réels et
nentier naturel :
•qx−y=qx
qyet q−x=1 qx
•qn×x=(qx)n
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II - La fonction exponentielle
1) Définition
Définition :
Parmi les fonctions exponentielles de base q, une seule admet 1 pour nombre dérivé en 0.
Il s’agit de la fonction exponentielle de base enotée exp et appelée fonction exponentielle
exp : IR −→ IR
x7−→ ex
Remarques : On en déduit immédiatement les résultats suivants
•exp(0) =e0=1
•e1=e≈2,72
• toutes les propriétés des fonctions exponentielles de base q sont également valables pour la
fonction exponentielle et pour xet ynombres réels :
.ex>0
.ex+y=exey
.e−x=1
ex
. (ex)n=enx pour nentier relatif
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2) Étude de la fonction exponentielle
Propriété : La fonction exponentielle est continue et dérivable sur IR . La dérivée de la fonction
exponentielle est elle-même : (expx)0=ex
Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur IR.
Preuve : Pour tout x dans IR , ex> 0et ( expx )
0=ex
donc la fonction exponentielle est bien strictement
croissante sur IR.
On en déduit alors le tableau de variation et la représentation graphique de la fonction exponentielle
x
exp0 ( x )
exp ( x )
−∞ +∞
+
0
1
1
e
1
0
11
Propriété : La fonction exponentielle est une fonction convexe sur IR.
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