Primitivation

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Chapitre 1 : Primitivation
et intégration définie
I. I - Introduction :
algébrique
3 aspects géométrique
lien entre les 2
1) Aspect algébrique :
d
dx 
Lagrange Newton
Leibniz
Fonctions Fonction
dF x
F F x F x
dx
Exemple :
22xx
2
?? donnée
2
Ff
F x f x
x
F x f x x F x
La primitivation de
f
consiste à trouver
F
telle que
F x f x
2) Aspect géométrique :

2
3) Lien entre les 2 aspects :
Théorème fondamentale de l’analyse (Newton-Leibniz)
Si
F
est une primitive de
f
F x f x
alors
b
a
f F b F a
Exemples :
II. II - Primitivation :
1) Définition :
Soit
ensemble compris ou
égal à R
:fX
,
x F x
.
Une primitive de
f
sur
X
est une fonction
F
telle que :
:x X F x f x
Exemple :
2:f x x
3
3
3
3
on a comme primitives : 2
3
avec
3
x
Fx
x
Gx
x
H x cte cte
2) Proposition :
Soit
:,f X a b
, alors 2 primitives de
f
ne diffèrent que par une constante.
a. Rappels
1. Théorème des accroissements finis :
f
continue sur
,ab
,
f
dérivable sur
,ab
, alors
,c a b
tel que
,:x a b f x f a f c x a
2. Conséquences :
Soit
:,f a b
continue sur
,ab
et dérivable sur
,ab
. Si
0 ,f x x a b
,
alors
f
est une constante sur
,ab
.
En effet :
,x a b
,
0
f x f a f c x a f a
2
1
0
Sx
3 est une primitive de
31
Donc 1 0 3
x
Ff
S F F ua

3
3. Utilisons le rappel 2. pour prouver la proposition :
Soient
F
et
G
deux primitives de
f
sur
,ab
(nous devons montrer que
F G C
)
,:x a b F x G x f x
.
F
et
G
sont donc dérivable et continues sur
,ab
.
0
0
est donc une fonction dont la dérivée est nulle sur , - .
F x G x
F G x
F G a b F G C
b. Question : et si
X
n’est pas de la forme
,ab
?
Alors ce n’est plus vrai !
Exemple :
: ,0 0, f
x
1
ln 0 ln
1
ln 0 ln
F x x x F x x x
F x x x F x x x
*
1
l
:
nx F x x
F
Fx x
Ce qui équivaut à :
*
ln si 0
ln s
:
i 0
x F x x x
x F x x x
F
*
ln si 0
ln +1 si
:
0
x G x x
x G x
G
x
xx
*
0 si
:
0
1 si 0
FG
xx
xx

4
c. Problème existentiels :
1. Toute fonction admet-elle une primitive ?
Réponse partielle : toute fonction continue sur
X
2. Toute primitive est-elle exprimable au moyen de fonctions élémentaires ?
Réponse : non.
2
x
F x e
( ) primitive introuvable
b
a
P a X b f   
d. Notations :
a.
F
l’ensembles des primitives de
F
.
intégrale indéfinie
Si : , avec
Si est une primitive de
f a b f F C C
Ff
b. Si on veut spécifier la variable
x
:
f x dx
F
est telle que
dF fx
dx 
.
Donc symboliquement
dF x f x dx
et donc
F x f x dx
3) Techniques de primitivation :
- élémentaire
- par parties
4 techniques - par substitution
- de fonctions rationnelles

5
a. Primitivation élémentaire
i) linéarité de la primitive
af bg a f b g  
ii) Lecture de
primitives
la table des dérivées "à l'envers".
1
1
1
1
1ln
ln
sin cos
cos sin
n
n
xx
x
x
x
xn
n
xx
x
ee
a
aa
xx
xx
Exemple :
22
31
11
22
51
22
33
3 2sin 3 2 sin
3 3 2 cos
31
1
12
2
2
3 6 2cos
5
xx
x
x
xx
e x e x
x x x
xx
ex
e x x x
a. Primitivation par parties
fg f g fg
fg f g fg
fg f g fg
fg fg f g