Chapitre 19
publicité
MPSI Chapitre 19 CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL, DYNAMIQUE DANS UN RÉFÉRENTIEL NON GALILÉEN 19-1 Transformations de la vitesse et de l'accélération d'un point par changement de référentiel 19-1-1 Point coïncidant Soit un référentiel R défini par ses axes de coordonnées cartésiennes, (O;X,Y,Z), que l'on appellera référentiel fixe ou référentiel absolu, et un autre référentiel r, en mouvement par rapport à R et défini par (o,x,y,z), que l'on nommera référentiel mobile ou référentiel relatif. Ces dénominations n'étant bien sûr que des commodités de langage, sans significations physiques véritables. Soit un point matériel M qui peut être en mouvement par rapport à l'un des référentiels et fixe dans l'autre, ou plus généralement. en mouvement par rapport à chacun. Ces mouvements sont bien entendu différents l'un de l'autre, en particulier leurs trajectoires peuvent avoir des formes différentes. Le point P du référentiel mobile avec lequel le point M coïncide à une date t donnée est appelé "point coïncidant" de M à cet instant. Le point coïncidant appartient à r, c'est-à-dire qu'il est fixe dans r. Mais ce point n'est pas le même à chaque instant. 19-1-2 Vitesses et accélérations absolues, relatives et d'entraînement La vitesse absolue et 1'accélération absolue du point M sont respectivement sa vitesse et son accélération par rapport au référentiel absolu : v A v (M / R) et a A a (M / R) . La vitesse relative et l'accélération relative du point M sont respectivement sa vitesse et son accélération par rapport au référentiel relatif : v R v (M / r) et a R a (M / r) . La vitesse d'entraînement et l'accélération d'entraînement du point M sont respectivement la vitesse et l'accélération du point coïncidant par rapport au référentiel absolu : v E v (P / R) et a E a (P / R) . 19-1-3 Transformation du vecteur vitesse par changement de référentiel. On peut écrire, avec les notations précédentes. en notant i , j et k les vecteurs unitaires du référentiel relatif et I , J et K ceux du référentiel absolu OM Oo oM X I Y J Z K Oo x i y j z k dX dY dZ vA I J K . Dans cette dérivation de OM , I , J et K sont considérés comme des dt dt dt constantes puisque le référentiel est R. d Oo di dj d k dx dy dz vA x y z i j k (1) dt dt dt dt dt dt dt Dans cette dérivation i , j et k sont des variables puisque le référentiel est R et non r. La somme des trois derniers termes est la vitesse relative car c'est la dérivée de oM pour i , j et k dx dy dz i j k . considérés comme constants. v R dt dt dt Si l'on considère maintenant le point coïncidant P, point fixe de r, ses coordonnées dans r sont donc d Oo di dj dk x y z des constantes. Sa vitesse dans R est : v E . On a donc v A v R v E . dt dt dt dt 19-1-4 Transformation du vecteur accélération par changement de référentiel d2X d2Y d2Z L'accélération absolue est a A 2 I 2 J 2 K . En dérivant par rapport à t l'expression (1) dt dt dt de la vitesse absolue, on obtient : d O2o d2 i d2 j d 2 k d 2 x d 2 y d 2 z dx d i dy d j dz d k aA x 2 y 2 z 2 2 i 2 j 2 k 2 . 2 dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt Le premier terme est l'accélération du point coïncidant dans R, c'est-à-dire l'accélération d'entraînement, le second est l'accélération relative. Le troisième terme est nommé accélération complémentaire ou accélération de Coriolis, on le note a C . d 2 x d 2 y d 2z d O2o d2 i d2 j d2 k dx d i dy d j dz d k aR 2 i 2 j 2 k , aE x 2 y 2 z 2 , a C 2 . dt dt dt dt 2 dt dt dt dt dt dt dt dt dt On a donc a A a R a E a C . 19-2 Cas où le mouvement du référentiel relatif est une translation par rapport au référentiel absolu Pour deux points quelconques A et B d’un solide en translation, le vecteur AB est constant au cours du temps. La translation d'un solide peut aussi se définir ainsi : dans un référentiel où est un point fixe : d AB d B d A 0 soit v A v B dans tout référentiel. dt dt st Ici, le référentiel relatif r étant en translation par rapport au référentiel absolu R, tous les points qui lui sont liés, et en particulier le point coïncidant de M, ont le même vecteur vitesse et le même vecteur accélération dans R donc : d Oo d 2 Oo et a E a (P / R) a (o / R) et a E . v E v (P / R) v (o / R) et v E dt dt 2 Les vecteurs unitaires i , j et k sont constants puisqu'ils sont en translation, leurs dérivées sont donc nulles, ce qui conduit aux mêmes résultats : d Oo di dj d k d Oo d O2o d2 i d2 j d 2 k d 2 Oo vE x y z = et a E = et à x y z dt dt dt dt dt dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 dx d i dy d j dz d k aC 0 . a C 2 0 . L'accélération de Coriolis est nulle pour tous les points : dt dt dt dt dt dt Dans le cas particulier d'une translation rectiligne et uniforme de r par rapport à R, l'accélération d'entraînement est nulle comme l'accélération de Coriolis donc a A a R . Si R est un référentiel galiléen, la somme des forces agissant sur M est F m a A , on a alors aussi F m a R , donc r est galiléen. Tout référentiel en translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel galiléen est aussi galiléen. 19-3 Cas où le mouvement du référentiel relatif est une rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu On choisira l'axe, fixe dans R, autour duquel tourne r comme axe OZ. Les points de cet axe sont aussi des points fixes de r, on choisira donc oz confondu avec OZ, le point o étant placé en O. Le référentiel relatif est en rotation autour de OZ à la vitesse angulaire E d K (vitesse angulaire dt d'entraînement de r par rapport à R. Z z H M P E y k K j I O Y o J i X x Le point coïncidant, comme tout point lié à r, a un mouvement circulaire par rapport à R. Soit H le centre du cercle décrit par P. La vitesse d'entraînement est donc : v E v(P / R) E HM E OM MO E (moment en M de E ). d i d d j d d k La dérivation des vecteurs unitaires de r donne : j, i, 0 soit encore : dt dt dt dt dt dk di dj E i , E j , E k . Ces relations restent valables quelle que soit la direction dt dt dt du vecteur vitesse angulaire de r par rapport à R. d Oo di dj dk x y z La vitesse d'entraînement v E avec Oo 0 s'écrit donc bien : dt dt dt dt v E E OM ou v E E HM (on peut remplacer O ou H par n'importe quel point de OZ). d O2o d2 i d2 j d2 k Oo 0 et : x y z L'accélération d'entraînement est a E avec dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 d E i d d d2 i 2 E E i i i E E E i , dt dt dt dt 2 d E j 2 d j 2 d E d E j j j j, E E E dt dt dt dt 2 d E k d E d k dt dt dt 2 2 d E Donc a E dt k E E k d E dt d OM E 2 HM ou a E E dt k 0. HM E 2 HM . En particulier, dans le cas d'une rotation uniforme de r par rapport à R : a E E HM . 2 dx d i dy d j dz d k a C 2 E v R . L'accélération de Coriolis est a C 2 soit dt dt dt dt dt dt 19-4 Cas d'un équilibre relatif On dit qu'il y a équilibre relatif quand le point mobile est en équilibre dans le référentiel relatif, c'est à-dire quand v R 0 donc a R 0 et a C 0 . d Oo d 2 Oo Si r est en translation par rapport à R v A v E et a A a E . dt dt 2 Si cette translation est rectiligne et uniforme a A a E 0 . Si r est en rotation autour d'un axe fixe de R, avec Oz coïncidant avec OZ et E porté par OZ, d E v A v E E OM et a A a E dt HM E 2 HM . Si cette rotation est uniforme a A a E E HM . 2 19-5 Dynamique et statique dans un référentiel non galiléen 19-5-1 Forces d'inertie On supposera maintenant que le référentiel absolu R est galiléen et le référentiel relatif r non galiléen. Soit f la somme des forces traduisant les différentes interactions que subit le point matériel M de masse m. La deuxième loi de Newton s'applique dans R et donne : f m a A m a R a E a C soit f m a E m a C m a R . On peut donc appliquer la deuxième loi de Newton dans r à condition d'ajouter aux forces agissant sur M deux termes appelés forces d'inertie : Force d'inertie d'entraînement : f E m a E . Force d'inertie de Coriolis (ou complémentaire) : f C m a C . On applique donc dans r la deuxième loi de Newton sous la forme m a R f f E f C . 19-5-2 Cas où le mouvement du référentiel relatif est une translation par rapport à un référentiel galiléen On a alors a C 0 donc f C 0 . La seule force d'inertie à prendre en compte est la force d'inertie d'entraînement f E m a E . Ses conséquences sont bien connues. Un observateur dans un véhicule se sent collé à son siège lors d'une accélération ou propulsé en avant lors d'un freinage brutal. Dans un ascenseur, l'observateur se sent plus lourd au démarrage lors de la montée ou au freinage lors de la descente. et plus léger au freinage lors de la montée ou au démarrage lors de la descente. 19-5-3 Cas où le mouvement du référentiel relatif est une rotation pure par rapport à un référentiel galiléen d d E K . aE On prendra l'axe oz confondu avec l'axe OZ et E dt dt d E La force d'inertie d'entraînement est : f E m dt HM E 2 HM . HM mE 2 HM L'accélération complémentaire est a C 2 E v R . La force d'inertie de Coriolis est f C 2m E v R -Cas particuliers Si v R // E (ou v R 0 ), f C 0 . La force d'inertie complémentaire est nulle s'il y a équilibre relatif ou si le mouvement relatif se fait sur une droite parallèle à E . d E Si le mouvement de rotation du référentiel mobile est uniforme, 0 , la force d'inertie dt d'entraînement se réduit à la force d'inertie centrifuge : f E mE HM Cette force est orientée de l'axe vers M (elle est plus exactement "axifuge"). S'il y a mouvement relatif, il faut bien sûr tenir compte aussi de la force d'inertie de Coriolis. Dans le cas d'un équilibre relatif de M, cette force est la seule force d'inertie, elle est alors équilibrée par les forces que subit effectivement M. C'est cette force d'inertie centrifuge qui tend par exemple à faire déraper un véhicule vers l'extérieur d'un virage. 2 19-5-4 Exemple Z z E k K j O I i M X x y o J Y Soit une tige Ox tournant dans le plan horizontal XOY du référentiel galiléen (OXYZ). L'axe vertical OZ est orienté vers le haut. La vitesse de rotation de la tige est constante : E E k . Sur la tige est enfilé un anneau M, de masse m, pouvant coulisser sans frottement. On cherche la loi horaire de l'anneau; x = f(t) et la réaction R de la tige, avec les conditions initiales : À t = 0 : x = x0 et x = 0. Il est pratique de raisonner dans .le référentiel (OxyZ), de vecteurs unitaires i , j et k . en rotation uniforme autour de OZ à la vitesse de rotation E . (On notera sans indices la vitesse et l'accélération dans ce référentiel). d vE v x i et a x i . v E E x i E x j et a E avec x constant pour le point coïncidant dt 2 2 donc a E E x E i E x i (soit a E E OM car ici le point H est le point O). a C 2 E v 2 E x j . Les forces à prendre en compte sont dans le référentiel lié à la tige : - le poids de l'anneau : P m g mg k , - la réaction de la tige : R R y j R z k car Rx = 0 du fait de l'absence de frottement, - la force d'inertie d'entraînement, ou force centrifuge : f E m a E mE x i , 2 - la force d'inertie complémentaire ou de Coriolis : f C m a C 2m E x j . La relation fondamentale dans ce référentiel non galiléen s'écrit : 2 m x i m E x i R y 2m E x j R z mg k donc x vérifie l'équation différentielle sa solution est de la forme x = a ch(E t + ) donc x aE sh (E t ) . Les conditions initiales donnent x0 = a ch() et 0 = a E sh() donc = 0 et a = x0. La solution adaptée aux conditions initiales est donc x = x0 ch(E t) d'où x x 0 E sh ( E t ) . L'équation différentielle du mouvement donne aussi Rz = m g et Ry = 2 m E x 2m E x 0 sh ( E t ) 2 2 donc la réaction de la tige est R m 2 E x 0 sh ( E t ) j g k . 19-6 Forces d'inertie dans le référentiel terrestre 19-6-1 Dynamique dans le référentiel terrestre On a considéré jusqu'à présent un référentiel lié à la Terre comme étant galiléen, mais cette approximation ne permet pas d'expliquer certains phénomènes comme la déviation vers l'est d'un corps tombant en chute libre, la rotation du plan d'oscillation d'un pendule (pendule de Foucault) Ces phénomènes s'expliquent si l'on prend en compte le mouvement de rotation de la Terre autour de l'axe joignant les pôles. Il n'est par contre pas nécessaire de tenir compte du mouvement elliptique du centre de la Terre autour du soleil. On utilisera donc ici un référentiel "géocentrique" formé par le centre de la terre. et trois axes orientés vers des étoiles lointaines, l'axe Oz de ce référentiel coïncidant avec l'axe pôle sud - pôle nord (donc orienté vers l'étoile polaire). Ce référentiel ("référentiel de Coriolis") est en mouvement par rapport à celui de Copernic, mais ce mouvement de translation, peut, en première approximation, être assimilé à une translation rectiligne uniforme. Il est donc aussi galiléen. La vitesse constante de rotation d'entraînement de la Terre dans ce référentiel est donnée par la durée du "jour sidéral" : 86 164 s donc un référentiel lié à la Terre tourne dans le référentiel géocentrique choisi avec un vecteur vitesse angulaire orienté du pôle sud vers le pôle nord, de norme : 2 rad 7,29212.10 5 rad.s 1 86164 s On supposera ici que la répartition de la masse de la Terre a une symétrie sphérique. Dans ces conditions, le champ de gravitation a la même symétrie sphérique et il a la même valeur à l'extérieur de la Terre que si toute la masse de celle-ci était concentrée en son centre. On notera G le champ de gravitation terrestre. On négligera devant G les champs de gravitation créés par les autres astres et, bien entendu, celui que créent les petits objets voisins du point matériel étudié. L'explication du phénomène des marées nécessite par contre de prendre aussi en compte les champs de gravitation dus au Soleil et à la Lune 19-6-2 Pesanteur et gravitation On considère ici un point matériel M de masse m, au repos dans le référentiel terrestre (OXYZ). Il n'y a donc à prendre en compte qu'une force d'inertie, la force d'inertie d'entraînement. Si la latitude est et si R est le rayon terrestre : FE m2 HM m2 R cos() I Z N ur M H R 2 HM u G X g O S La force de gravitation exercée par la Terre sur M est F m G si G est le champ de gravitation. Le poids est la force de gravitation, corrigée de la force d'inertie d'entraînement. C'est donc la force de gravitation apparente pour un observateur lié à la Terre : P F FE m G 2 R cos() I Le champ de pesanteur est par définition g P . m Donc g G 2 R cos() I G 2 R cos 2 () u r 2 R cos() sin( ) u La "déviation de la verticale" est l'angle entre la droite MO et la direction du champ de pesanteur, g 2 R cos() sin( ) elle est donnée par : tan( ) gr G 2 R cos 2 () 2 L'intensité de la pesanteur est donnée par : g G 2 2 2 RG cos 2 () 2 R cos() Numériquement, 2R = 34.10-3 m.s–2 donc R2 << g et << G, on peut donc faire les approximations 2 R sin( 2) suivantes : et g G 2 R cos 2 () . 2G On voit que la déviation de la verticale est nulle aux pôles et à l'équateur. Elle est maximale à la 2 R latitude = 45 °, elle vaut alors max 1,7.10 3 rad 0,10 . 2G L'intensité de la pesanteur est maximale aux pôles où elle vaut G. Elle est minimale à l'équateur où elle vaut gE = G – 2R . 2 R 2 2 2 On peut en déduire la formule : g = gE + Rsin () soit g = gE (1 + a sin ()) avec a = . gE La mesure expérimentale de gE donne : gE = 9,7805 m.s–2 d'où, avec 4.107 m = 2 R, a = 3,46.10–3. a La valeur de g à la latitude 45 ° serait donc g E 1 = 9,7974 m.s–2. Ce résultat est notablement 2 différent de la valeur mesurée à cette latitude (intensité standard de la pesanteur) : g = 9,806 65 m.s–2. Cette différence s'explique par le fait que la Terre n'est pas sphérique, elle est déformée par les forces d'inertie centrifuge, ce qui lui donne une forme d'ellipsoïde aplati au pôles, renflé à l'équateur. Cependant. la formule g = gE (1 + a sin2()) est valable en première approximation. mais avec a = 5,29.10–3. 19-6-3 La force de Coriolis Si un point matériel est en mouvement par rapport au référentiel terrestre, on doit corriger le caractère non galiléen du référentiel terrestre non seulement par la force d'inertie centrifuge, prise en compte dans le poids, mais aussi par la force d'inertie complémentaire que l'on nomme alors "force de Coriolis : FC 2m v Cette force est responsable des courants marins et des anticyclones... Elle permet aussi de calculer la déviation vers l'est dans une chute libre : Soit le point matériel M tombant en chute libre, sans vitesse initiale, à la latitude , depuis le point A d'altitude z = h. La force de Coriolis FC 2m v est et à v , elle a donc la direction de Ox. son sens est de 0 vers x, c'est-à-dire vers l'est. Le point de chute est B alors que ce serait le point 0 sur la verticale de A en l'absence de la force de Coriolis. On suppose la déviation très faible, ce qu'on vérifiera par le calcul, on peut donc considérer que v a pratiquement la direction de la verticale y v O x . A z N y x . . B O v z A v z u z et cos() u y sin( ) u z donc FC 2m z cos() u x . gt 2 . m a m x u x m z u z 2m z cos() u x mg u z donc z g d'où z gt et z h 2 gt 3 cos() . x 2 z cos() 2gt cos() d'où x gt 2 cos() et x 3 En B, z = 0 et t 8h 3 cos() 2h . La déviation vers l'est est donc x g 3 g Pour = 45 ° et h = 100 m. on trouve : x = 15,5 mm.
