∑ f =m a

G.P.
Questions de cours mécanique du point
Changement de référentiels:
Un point M de coordonnées  x  t , y t  , z=0 se déplace dans le référentiel R . de
repère d'espace O , ux , uy , uz  . Ce référentiel non galiléen tourne à la vitesse constante
=
uz autour de l'axe O0 z par rapport à un référentiel galiléen R 0 de repère

d'espace O0, ux0 , uy0 , uz  . O reste à distance constante HO=a de l'axe O0 z .
Rappeler, en justifiant rapidement, l'écriture du principe fondamental dans le cas d'un
référentiel non galiléen.
L'écrire ici dans le cadre de la situation proposée.
Réponse:
Le principe fondamental dans le référentiel galiléen
Dans R
0
galiléen, on écrit:
∑ f =ma
a désigne l'accélération de M par rapport au référentiel choisi. Ici R
0
.
Le principe fondamental dans le référentiel non galiléen
On développe l'écriture précédente en utilisant la loi de composition des accélérations (non
redémontrée ici):
a  M / R 0 =

a  M / R 
a  M ∈R / R 02 
 R / R 0∧v  M / R
parfois écrite:
a ' absolue ' =
a ' relative' 
a entrainement 
a Coriolis

∑ f =ma ' relative ' a entrainement a Coriolis
∑ f −ma entrainement−ma Coriolis=ma ' relative '
On pose f i , e =−ma entrainement
On pose f i , c =−maCoriolis
∑ f  fi ,e fi ,c=ma' relative'
On se place ici du point de vue du référentiel R .
a l'accélération de M par rapport au référentiel choisi. Ici R . Idem pour
On désigne par 
v qui désigne maintenant la vitesse de M par rapport au référentiel.
∑ f  fi ,e  fi ,c =ma
On peut donc appliquer le principe fondamental dans un référentiel non galiléen R à condition
d'ajouter deux forces d'inertie:
G.P.
Questions de cours mécanique du point
1) la force d'inertie d'entrainement
f i , e =−ma entrainement =−m 
a  M ∈R / R
0
2) la force d'inertie de Coriolis
f i , c =−maCoriolis =−2 m 
 R / R 0∧v
Schéma de la situation proposée:
y
M
x
H
a
O
Couleurs:
Le point M (rouge) se déplace par rapport à R (vert) : mouvement « relatif »
Le point M (rouge) se déplace par rapport à R
0
(noir) : mouvement « absolu »
Le point de R coïncidant avec M (point vert placé en M ) est fixe par rapport à R (vert)
mais se déplace par rapport à R 0 (noir) : mouvement d'entrainement. Le point M est ici
considéré comme un point du « solide » R (vert).
Entrainement:
On étudie le mouvement du point coïncidant M ∈ R  : mouvement circulaire de rayon HM .
Il est plus facile de faire appel à la cinématique du solide. On utilise les formules donnant la vitesse
et l'accélération d'un point d'un solide (formules rencontrées en cinématique en sup dans le cours de
SI et dans le cours de physique concernant la composition de mouvement).
•
Vitesse:
O et M ∈ R  sont deux points de R donc formule de base:
MO∧
v  M ∈ R / R 0=v O/ R 0
  R / R 0  ou
G.P.
Questions de cours mécanique du point
OM
v  M ∈ R / R 0=v O/ R 0
 R / R 0 ∧
de plus O décrit un mouvement circulaire de centre H :
HO
v O/ R 0=
 R / R 0 ∧
finalement
 
HM
v  M ∈ R / R 0=∧
(prévisible puisque M ∈ R  décrit un mouvement circulaire de centre H . On pouvait
considérer dès le départ que H était aussi un point du solide R )
•
Ici
accélération
d
 
=0 donc :
dt

a  M ∈ R / R 0=a O / R 0

 R / R 0 ∧
d
OM
dt

/R
0
a  M ∈ R / R 0=a O / R 0∧
OM 
  ∧
 
En utilisant le point H au lieu de O , on obtient plus rapidement:
a  M ∈ R / R 0=∧
  ∧
 
HM 

L'accélération est normale centripète.
a  M ∈ R / R 0=−

 2
HM
•
force d'inertie d'entrainement
C'est la force centrifuge:
f i , e =m 
 2
HM (formule connue)
f i , e =m 
 2 
HO
OM 
f i , e =m 
 2 a x t ux  y t uy 
Vitesse et accélération dans le référentiel d'étude ( cf « mouvement relatif »):
Vitesse:
v  M / R =

d
OM
dt

/R
v = x̊ t ux  ẙ t uy
Accélération:

a  M / R =

d v  M / R
dt

/R
G.P.
Questions de cours mécanique du point
a  M = ẍ t  ux  ÿ t uy
Coriolis:
f i , c =−2 m 
  R / R 0 ∧
v
f i , c =−2 m 
 entrainement ∧
v relatif
f i , c =2 m ẙ t ux − x̊ t  uy 
Principe fondamental dans le référentiel tournant:
En désignant par
∑ f
les forces autres que les forces d'inertie:
∑ f  fi ,e fi ,c=ma
∑ f
2
m 
 
HM
−2 m ∧
 v = m
a
en projection sur Ox :
∑ f x m 2 ax t 
2 m ẙ t = m ẍ t
en projection sur Oy :
∑ f y m2 y t
−2 m x̊ t  = m ÿ t
en projection sur Oz :
∑ fz
= 0