Chapitre-III Dynamique dans un référentiel non galiléen
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Chapitre-III Dynamique dans un référentiel non galiléen
A- Changements de référentiels – Aspect Cinématique
I. Introduction
expression dans un autre référentiel et le mouvement du nouveau référentiel par rapport à
Référentiel R
les
lie une horloge qui mesure le temps. On notera (x ',y ',z ') les coordonnées du point matériel
M et t le temps associé. Le temps étant absolu en mécanique classique, les deux horloges
intrinsèques. Les deux référentiels jouent des rôles parfaitement symétriques, le seul point
- R) : ce mouvement peut être quelconque
(éventuellement suivre un cercle)
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- et Oz) : La rotation de
et
aux axes Ox, Oy et Oz ()
II. Vecteur rotation instantané de R’ par rapport à R
Définition
et Oz ( les
-rotation instantanée :
=
est la vitesse angulaire de rotation en rad/s
le vecteur unitaire autour duquel se fait la rotation
Exemple
= ,
= ,
=
,
, on peut écrire le
vecteur-rotation instantanée :
= + +
III. Dérivée dans le référentiel R d’un vecteur exprimé dans le référentiel R’
Soit £A un vecteur quelconque exprimé £A dans le
référentiel R
est donnée par la formule :
=
+
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La démonstration est effectuée en classe.
Cette relation va permettre de donner des relations entre les vitesses relatives et absolues en
remplaçant £A par le vecteur-position, puis dans un second temps entre les accélérations en
remplaçant £A par les vecteurs vitesses.
IV. Composition des mouvements
Composition des vitesses
a) Position du problème
Soient R et R les deux référentiels précédemment définis. On note
le vecteur-rotation
instantanée de R par rapport à R.
Soit M un point de masse m en déplacement par rapport aux référentiels R et R.
Nous allons utiliser les notations suivantes :
Le référentiel absolu:
considéré comme fixe, ( ,,
On
notera (x,y ,z ) les coordonnées du point matériel M dans R.
Le référentiel relatif (mobile) :
Il , considéré comme mobile, (
,
On notera (x ',y ',z ') les coordonnées du point matériel M
On notera aussi
=
la vitesse absolue de M dans R
=
la vitesse relative de M dans R =
De même
=
= £a(M)/R labsolue de M dans R
=
= £a(M)/R l de M dans R =
expression dans un référentiel et le mouvement du référentiel par rapport à au
fixe R.
1) Composition des vitesses
Soit
le vecteur-position exprimé dans le référent
+
=
=
+
=
+
4
=
+
+ y
+
=
+
+ y
+
=
+
+ y
+
Or x
=
+
] =
car
+
] =
=
+
=
=
+
+ y
+
=
+
+
=
+
+
) =
+
Finalement
=
+
=
+
=
+
+
=
+
+
+
+
=
+
Avec
=
vitesse relative
=
+
vit
: effet
:
Donc :
+
2) Mouvements particuliers
a) Translation pure
Cs où le référentiel relatif R' est en mouvement de translation par rapport au référentiel
absolu. Cela signifie que, à chaque instant, les vecteurs de base £i',£ j' et £k' gardent une direction
de translation comme cela est illustré sur la figure ci-
dessous.
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La loi de composition des vitesses
+
Avec
=
et
=
+
=
car
.
D
+
=
b) Rotation pure
La loi de composition des vitesses
+
Avec
=
et
=
+
=
car
-
rotation dans R.
D
+
=
c) Retour sur le vecteur-rotation instantanée
Soient R et R les deux référentiels précédemment définis. On note
le vecteur-rotation
instantanée de R par rapport à R.
=
+
(I)
On a aussi
=
+
=
(II)
Par identification de (I) et (II), on a :
=
=
car
= 0
Donc la dérivée de
=
Soit un vecteur £A et R0, R1 et R2 trois référentiels en mouvement relatif les uns par rapport
aux autres.
On note :
le vecteur-rotation instantanée de R1 par rapport à R0.
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7
8
9
10
1
/
10
100%
