NOMBRES COMPLEXES

NOMBRES COMPLEXES
SOMMAIRE
1
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3
4
5
6
-
PRESENTATION DES NOMBRES COMPLEXES
REPRESENTATION GEOMETRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES
MODULE D'UN NOMBRE COMPLEXE
ARGUMENT D'UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL
FORME ALGEBRIQUE ET FORME TRIGONOMETRIQUE
NOTATION EXPONENTIELLE DES NOMBRES COMPLEXES
1 - PRESENTATION DES NOMBRES COMPLEXES
1.1- INTRODUCTION
Nous admettons que l'on peut construire un sur-ensemble de IR, noté C, dont les
éléments sont appelés nombres complexes, et qui vérifie :
(1)
C est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de IR et qui
suivent les mêmes règles de calcul.
(2)
C contient un élément noté i tel que i 2 = -1.
(3)
Tout nombre complexe s'écrit de façon unique z = a + i b
où a et b sont des
réels.
Définition
Un nombre complexe est un nombre de la forme a + i b, où a et b sont des nombres réels
quelconques et i est un nombre vérifiant i 2 = -1.
Pour le nombre complexe z = a + i b,
a est appelé la partie réelle de z et b la partie imaginaire de z.
Notation : a = Re(z)
et
b = Im(z).
Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appelé imaginaire pur.
Exemples
z = 1 - 2i
z = -3i
z = 4.
1.2 - Opérations dans C
 Egalité de deux complexes
Comme tout complexe z s'écrit de façon unique z = a + ib, a et b  IR, on en déduit :
Deux complexes sont égaux si et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même
partie imaginaire.
Conséquence : a + ib = 0  a = 0 et b = 0.
L'addition et la multiplication suivent dans C les mêmes règles que dans IR.
 Addition
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d).

Multiplication
(a + ib) . (c + id) = (ac - bd) + i (ad + bc)
En particulier ( a + ib) 2 = a2 - b2 + 2ab i.
 Conjugué
A tout nombre complexe z = a + ib, on associe le nombre complexe z  a  ib (on lit "z
barre") appelé conjugué de z = a + ib.
On vérifie que :
z  z  2 Re ( z )
et
z  z  2 i Im ( z)
 Inverse d'un complexe non nul
On a z z  ( a  ib ) ( a  ib ) = a 2 + b 2
Si z  0, on a a 2 + b 2  0
Soit ( a  ib )
( a  ib )
( a  ib ) ( a  i b )
et
 1, ou encore z .
a2  b2
 1.
z
 1.
zz
D'où, tout nombre complexe admet un inverse :
1
z
a
b


 i
z z z a2  b2
a2  b2
a2  b2
1
sous la forme a + ib ( a et b  IR).
z
1
3  4i
3
4
Exemple :


i
3  4 i ( 3  4 i ) (3  4 i ) 25
25
Cette propriété permet de mettre

Opérations sur les complexes conjugués
Pour tout complexe z : ( z )  z ( z et z sont conjugués l'un de l'autre)
z est réel si et seulement si z  z .
z est imaginaire pur si et seulement si z   z .
Si z = a + ib, alors z . z  a2  b2 .
On démontre que :
Pour tous z1 et z2 de C, z1  z2  z1  z2
1
Pour tout z non nul , 1 
z
z
Conséquences : Pour tout z, z1, z2,
 
(z) z
z1  z2  z1  z2
z
z
Si z2  0,  1   1
 z2 
z2
Pour   IR ,  z   z
;
z1 . z2  z1 . z2
Pour n  IN, z n  ( z ) n
2 - REPRESENTATION GEOMETRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES
2.1 - IMAGE D'UN NOMBRE COMPLEXE
A tout nombre complexe z = a + ib on peut associer le point M de coordonnées ( a , b )
dans le plan muni d'un repère orthonormé ( O ; e1 , e2 ) .
On dit que : M est l'image du nombre complexe z et z est l'affixe du point M.
On note M(z).
M (z)
b
e2
O
a
e1
L'image d'un nombre réel est un point de l'axe réel.
L'image d'un nombre imaginaire pur est un point de l'axe imaginaire.
Exemples : M (-2) ; N (3i) ; P (1 + 2i).
Propriétés :
Les images du complexe z et de son opposé -z sont symétriques par rapport à l'origine O.
Les images du complexe z et de son conjugué z sont symétriques par rapport à l'axe des
abscisses.
2.2 - AFFIXE D'UN VECTEUR




Soit le vecteur u  a e1  b e2 . Par définition, l'affixe de u est le nombre complexe

z=a+ib. Et, u est le vecteur image de z.

L'affixe du vecteur AB est zB - zA où zB et zA sont les affixes respectives de B et de A.
2.3 - Représentation graphique de la somme de deux complexes
Pour deux complexes z1 = a + i b
avons :
et z2 = c + i d d'images respectives M et N nous
(a+ib)+(c+id)= (a+c)+i(b+d)
OM

ON

OS
3 - MODULE D'UN NOMBRE COMPLEXE
Définition
Le module d’un nombre complexe z, dont l’image est M, est la distance OM.
On note | z | = OM.
Calcul du module de z :



Posons z = a + ib, alors OMa e1  b e2
I z I  OM a2 b2  z z
M (z)
b
|z|
e2
O
a
e1
D’où : En posant z = a + ib, on a I z I  OM a2 b2  z z
En particulier, si z est réel ( z = a ) alors Iz I a2 IaI
Dans ce cas le module de z est la valeur absolue de z.
Propriétés :
Module et distance de deux points
Soit A et B deux points d’affixes respectives zA et zB.


On note M le point tel que OM  AB .


Le complexe zB - zA a pour image OM ( ou AB ) . Par conséquent AB = | zB - zA |.
Inégalité triangulaire : On démontre que pour tous z1 et z2 de C, |z1+z2 |  |z1|+|z2 |.
Module d’un produit :
z, z1 et z2 étant des complexes quelconques, on démontre que :
| z1 . z2 |= | z1 |.| z2 |.
1  1 pour z  0
z I zI
z1 I z1I
pour z2  0.

z 2 I z 2I
Pour n  Z, et pour z  0, |zn |= |z|n.
4 - ARGUMENT D'UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL
Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O ; e1 , e2 ) .
4.1- DEFINITION
Nombres complexes de module 1
L’image d’un complexe z de module 1 est un point du cercle trigonométrique.


Soit  (e1 OM) , alors z = cos  + i sin.
Réciproquement, un complexe de la forme cos  + i sin a pour module
cos2  sin2  1
D’où :
Un nombre complexe z est de module 1 si et seulement si il existe un réel  tel que z=
cos  + i sin.
Le réel  est appelé argument de z.
Définition
Soit z un complexe non nul. Alors z a pour module 1. Par conséquent, il existe un réel 
IzI
tel que z  cos   i sin  .
I zI
Soit M l’image de z et N l’image de z .
IzI


N appartient au cercle trigonométrique et ( e1 ,ON)   .
Comme OMI zION et I z I > 0, on a ( e1 ;OM )  ( e1 ;ON )   . Donc le réel  est aussi un
argument de z.
D’où la définition :
Soit z un complexe non nul d’image M dans le plan rapporté au repère ( O ; e1 , e2 ) . Une
mesure de ( e1 ; OM ) est appelé argument de z et noté arg (z).
M (z)
b
|z|
e2
O

e1
a
Remarques
- Le complexe 0 a un module nul mais son argument n’est pas défini.
- arg z est défini à 2 près.
Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous la forme : z = | z |( cos  + i sin  ).
Cette forme est la forme trigonométrique de z.
En posant I z I = , z = ( cos  + i sin  ).  est le module de z et  un argument de z.
Il est parfois commode d’écrire aussi z = [  ; ].
Exemple : module et argument de z = 1 – i.
4.2- PROPRIETES
Soit z et z’ deux complexes non nuls : z = | z | ( cos  + i sin  ), z’ = | z’ | ( cos ’ + i sin
’ ).
 Egalité de deux nombres complexes
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même module et même
argument.
z = z’ équivaut à ( | z | = | z’ | et  = ’ )
 Conjugués et opposés
Deux complexes non nuls sont conjugués si et seulement si ils ont le même module et
des arguments opposés.
I z I  I z I et arg ( z )   arg ( z )
Deux complexes non nuls sont opposés si et seulement si ils ont le même module et des
arguments de différence  + 2k ( k  Z).
|– z| =| z| et
arg (-z) = arg (z) + .
 Argument d’une différence
Soit A et B deux points d’affixes respectives zA et zB. On note M le point tel que OM AB .
L’affixe du vecteur OM est l’affixe du vecteur AB , c’est-à-dire zB -zA .
On a : arg( zB z A )  ( e1; AB ) .
B
A

e2
O
e1
Argument d’un produit
Soit z et z’ deux complexes non nuls.
arg ( z . z’) = arg (z) + arg (z’)
 
arg  z   arg( z )  arg ( z')
z'
arg 1   arg (z)
z
arg (zn ) = n . arg ( z), pour tout n  Z.
Ce dernier résultat peut aussi s’écrire sous la forme dite formule de Moivre :
( cos + i sin )n = cos n  + i sin n , pour nZ.
Conseil pratique : Pour les opérations dans C, on utilise
- la forme algébrique pour les additions et soustractions.
- la forme trigonométrique pour les multiplications, divisions et puissances.
5 - FORME ALGEBRIQUE ET FORME TRIGONOMETRIQUE
Soit z un nombre complexe non nul.
La forme algébrique de z est z = a + ib avec Re ( z ) = a et Im ( z) = b.
La forme trigonométrique de z est z =  ( cos  + i sin ) avec  = I z I et arg (z ) =  +
2k.
 On a :
Re ( z ) =  . cos 
et Im ( z ) =  . sin 


 On a : I z I  a2 b2 .D’où z I zI a  i b 
I
z
I
I
z
I


Donc
 Le module  
z

a2  b2 ,
 L'argument  est tel que : cos  
sin  
b
z

a
z

a
2
a b
2
et
a
a2  b2
L’argument  est déterminé à 2k près.
Exemple : z 1 i 3
6- NOTATION EXPONENTIELLE DES NOMBRES COMPLEXES
Définition
Pour tout réel , on pose ei  = cos  + i sin .
Exemple : Placer dans le plan complexe les images de ei 2 , ei /4, ei /2, ei  , ei 3/2.
Remarque : Pour tout réel  et ’,
ei  . ei ’ = ( cos  + i sin  ) . ( cos ’ + i sin ’ )
= cos (  + ’) + i sin ( + ’ )
= ei (  + ’ )
d’où ei  . ei ’
=
ei  + i ’
On retrouve ce résultat en utilisant la règle de calcul sur les exposants ( an . am = a n + m
).
Propriétés
Soit z et z’ deux complexes non nuls. z =| z | ( cos +i sin  ), z’ = |z’ |( cos ’+i sin ’ ).
La notation exponentielle donne : z = |z | ei  et z’ = |z’ |ei ’.
D’où
z . z’ = |z | . |z’| ei (  + ’ )
1
z
z
z'


1
z
e i
z
e i
z' e i  '
1


z
z
z'
e i 
e i i '
zn = ( | z| . ei  )n = | z | n . ei n  , pour n  Z.
Dans la notation exponentielle, la formule de Moivre s’écrit : ( ei  )n=ei n 
Formules d’Euler
Pour tout réel , on a ei  = cos  + i sin 
et
e - i  = cos  - i sin .
Par addition et soustraction membre à membre, on a :
cos  
ei  ei 
2
et
sin  
ei   e i 
2i