NOMBRES COMPLEXES

NOMBRES COMPLEXES
SOMMAIRE
1 - PRESENTATION DES NOMBRES COMPLEXES
2 - REPRESENTATION GEOMETRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES
3 - MODULE D'UN NOMBRE COMPLEXE
4 - ARGUMENT D'UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL
5 - FORME ALGEBRIQUE ET FORME TRIGONOMETRIQUE
6 - NOTATION EXPONENTIELLE DES NOMBRES COMPLEXES
1 - PRESENTATION DES NOMBRES COMPLEXES
1.1- INTRODUCTION
Nous admettons que l'on peut construire un sur-ensemble de IR, noté C, dont les
éléments sont appelés nombres complexes, et qui vérifie :
(1) C est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de IR et qui
suivent les mêmes règles de calcul.
(2) C contient un élément noté i tel que i 2 = -1.
(3) Tout nombre complexe s'écrit de façon unique z = a + i b où a et b sont des
réels.
Définition
Un nombre complexe est un nombre de la forme a + i b, où a et b sont des nombres réels
quelconques et i est un nombre vérifiant i 2 = -1.
Pour le nombre complexe z = a + i b,
a est appelé la partie réelle de z et b la partie imaginaire de z.
Notation : a = Re(z) et b = Im(z).
Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appelé imaginaire pur.
Exemples
z = 1 - 2i z = -3i z = 4.
1.2 - Opérations dans C
 Egalité de deux complexes
Comme tout complexe z s'écrit de façon unique z = a + ib, a et b  IR, on en déduit :
Deux complexes sont égaux si et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même
partie imaginaire.
Conséquence : a + ib = 0  a = 0 et b = 0.
L'addition et la multiplication suivent dans C les mêmes règles que dans IR.
 Addition
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d).
 Multiplication

(a + ib) . (c + id) = (ac - bd) + i (ad + bc)
En particulier ( a + ib) 2 = a2 - b2 + 2ab i.
 Conjugué
A tout nombre complexe z = a + ib, on associe le nombre complexe
ibaz 
(on lit "z
barre") appelé conjugué de z = a + ib.
On vérifie que :
)z(Re2zz 
et
)z(Imi2zz 
 Inverse d'un complexe non nul
On a
)iba()iba(zz 
= a 2 + b 2
Si z  0, on a a 2 + b 2  0 et
1
ba )bia()iba( 22 
.
Soit
1
ba )bia(
)iba( 22 
, ou encore
1
zzz
.z 
.
D'où, tout nombre complexe admet un inverse :
2222 ba b
i
ba a
zzz
z
1
Cette propriété permet de mettre
z
1
sous la forme a + ib ( a et b  IR).
Exemple :
25
4
i
25
3
)i43()i43( i43 i43 1
 Opérations sur les complexes conjugués
Pour tout complexe z :
z)z( 
( z et
z
sont conjugués l'un de l'autre)
z est réel si et seulement si
zz 
.
z est imaginaire pur si et seulement si
zz 
.
Si z = a + ib, alors
22 baz.z 
.
On démontre que :
Pour tous z1 et z2 de C,
2121 zzzz 
;
2121 z.zz.z 
Pour tout z non nul ,
z
1
z
1
Conséquences : Pour tout z, z1, z2,
z)z( 
2121 zzzz 
Si z2  0,
2
1
z
zz
z
2
1
Pour   IR ,
zz  

Pour n  IN,
nn )z(z 
2 - REPRESENTATION GEOMETRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES
2.1 - IMAGE D'UN NOMBRE COMPLEXE
A tout nombre complexe z = a + ib on peut associer le point M de coordonnées ( a , b )
dans le plan muni d'un repère orthonormé
)e,e;O( 21
.
On dit que : M est l'image du nombre complexe z et z est l'affixe du point M.
On note M(z).
L'image d'un nombre réel est un point de l'axe réel.
L'image d'un nombre imaginaire pur est un point de l'axe imaginaire.
Exemples : M (-2) ; N (3i) ; P (1 + 2i).
Propriétés :
Les images du complexe z et de son opposé -z sont symétriques par rapport à l'origine O.
Les images du complexe z et de son conjugué
z
sont symétriques par rapport à l'axe des
abscisses.
2.2 - AFFIXE D'UN VECTEUR
Soit le vecteur
  21 ebeau
. Par définition, l'affixe de
u
est le nombre complexe
z=a+ib. Et,
u
est le vecteur image de z.
L'affixe du vecteur
AB
est zB - zA où zB et zA sont les affixes respectives de B et de A.
2.3 - Représentation graphique de la somme de deux complexes
Pour deux complexes z1 = a + i b et z2 = c + i d d'images respectives M et N nous
avons :
( a + i b ) + ( c + i d ) = ( a + c ) + i ( b + d )
OSONOM 
M (z)
a
b
1
e
2
e
O

3 - MODULE D'UN NOMBRE COMPLEXE
Définition
Le module d’un nombre complexe z, dont l’image est M, est la distance OM.
On note | z | = OM.
Calcul du module de z :
Posons z = a + ib, alors
  21 ebeaOM
zzbaOMIzI 22 
D’où : En posant z = a + ib, on a
zzbaOMIzI 22 
En particulier, si z est réel ( z = a ) alors
IaIaIzI 2
Dans ce cas le module de z est la valeur absolue de z.
Propriétés :
Module et distance de deux points
Soit A et B deux points d’affixes respectives zA et zB.
On note M le point tel que
 ABOM
.
Le complexe zB - zA a pour image
)ABou(OM 
. Par conséquent AB = | zB - zA |.
Inégalité triangulaire : On démontre que pour tous z1 et z2 de C, |z1+z2 |  |z1|+|z2 |.
Module d’un produit :
z, z1 et z2 étant des complexes quelconques, on démontre que :
| z1 . z2 |= | z1 |.| z2 |.
IzI1 z
1
pour z  0
IzI IzI z
z
2
1
2
1
pour z2  0.
Pour n  Z, et pour z  0, |zn |= |z|n.
4 - ARGUMENT D'UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
)e,e;O( 21
.
4.1- DEFINITION
M (z)
a
b
1
e
2
e
O
|z|

Nombres complexes de module 1
L’image d’un complexe z de module 1 est un point du cercle trigonométrique.
Soit
)OMe( 1
, alors z = cos  + i sin.
Réciproquement, un complexe de la forme cos  + i sin a pour module
1sincos 22 
D’où :
Un nombre complexe z est de module 1 si et seulement si il existe un réel  tel que z=
cos  + i sin.
Le réel  est appelé argument de z.
Définition
Soit z un complexe non nul. Alors
IzIz
a pour module 1. Par conséquent, il existe un réel 
tel que
 sinicos
IzIz
.
Soit M l’image de z et N l’image de
IzIz
.
N appartient au cercle trigonométrique et
 )ON,e( 1
.
Comme
ONIzIOM
et I z I > 0, on a
 )ON;e()OM;e( 11
. Donc le réel  est aussi un
argument de z.
D’où la définition :
Soit z un complexe non nul d’image M dans le plan rapporté au repère
)e,e;O( 21
. Une
mesure de
)OM;e( 1
est appelé argument de z et noté arg (z).
Remarques
- Le complexe 0 a un module nul mais son argument n’est pas défini.
- arg z est défini à 2 près.
Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous la forme : z = | z |( cos  + i sin  ).
Cette forme est la forme trigonométrique de z.
En posant I z I = , z = ( cos  + i sin  ).  est le module de z et  un argument de z.
Il est parfois commode d’écrire aussi z = [  ; ].
Exemple : module et argument de z = 1 – i.
M (z)
a
b
1
e
2
e
O
|z|