Glossaire mathématique pour Word 97

T ES
Mathématiques DS 5 (2 heures)
Jeudi 22 Janvier 2009
EXERCICE 1 : QCM ( 8 points)
Indiquer la bonne réponse a, b ou c sur votre copie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse coûte – 0,5 point.
a
b
+
0
c
1. f est la fonction définie sur ]1 ; + [
par f(x) =
lim
x2  x 1
alors
x 1
x 
f(x) =
2. Cf est la courbe représentative
d’une fonction f définie sur R.
La droite D d’équation y = x – 1 est
asymptote à la courbe Cf lorsque :
3. Si f (x) = ln(2x) , alors
4. La dérivée sur ]0 ; +[ de la
fonction x  x ln(x) est :
5. L’ensemble des solutions de
l’inéquation ln x > ln (2x - 1) est :
6. L’ensemble des solutions de
l’inéquation ln (1- x) > 1 est :
7. La courbe représentative de la
fonction ln admet pour tangente au
point d’abscisse 1, la droite
d’équation :
8. f (x) = 2
alors
On ne peut pas le
savoir
ln( x )
1
x
lim f(x) =
lim ( f(x) + x – 1) = 0
x 
f ' x =
1
2x
lim ( f(x) - x + 1) = - 
x 0
f ' x =
1
x
lim ( f(x) - x + 1) = 0
x  
f ' x =
1
x
ln(x)
]- ; 1[
]0 ; 1 [
]- ; 1[
]- ; 1- e [
] e ;+ [
y= x-1
y= x+1
y=x+e
1
0
-1
ln(x) + 1
]
1
;1 [
2
x 
EXERCICE 2 : ( 4 points)
On considère le polynôme P(x) = 2 x 2 + x – 6.
1. Résoudre l’équation P(x) = 0.
2. En déduire la résolution de l’équation 2(ln x)2 + ln x – 6 = 0.
EXERCICE 3 : (10 points)
Soit f la fonction définie sur ]0 ; 5] par f (x) = 1 – x + 2 ln x .
1. Étudier la limite de f en 0.
2.
2
x
a) Calculer f '  x  .
b) Étudier le signe de f '  x  .
c) Donner le tableau complet des variations de f.
3. a) Calculer f (1).
b) Justifier que l’équation f (x) = 0 admet sur [3 ; 4] une solution unique puis donner, à l’aide de la
calculatrice, une valeur approchée à 10 –2 près par défaut de 
c) En déduire le signe de f (x) suivant les valeurs de x.
4. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
(unités : 2 cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des ordonnées).
EXERCICE 4: ( 10 points)
C
est la courbe représentative d’une fonction f dérivable
 3
 2


sur   ;  .
 3
 2
3
2
Les points J   ;  , K (-1 ; 0) , A (1 ; e) et B (2 ; 2)
sont des points de C.
La tangente à C en A est parallèle à l’axe des abscisses.
La tangente à C en B passe par T(4 ; 0).
La droite d’équation y = 1 est asymptote à
C
en + .
1. a) Résoudre l’inéquation f (x) > 0.
b) Résoudre l’inéquation f ’(x)  0.
 3
 2
d) Donner les valeurs de f ' 1 et f ' 2 .
c) Donner les valeurs de f    , f  1 , f 1 et f 2 ainsi que la limite de f en +.
2. Soit g la fonction définie par g(x) = ln (f (x)) et  sa représentation graphique.
a) Déterminer l’intervalle I de définition de g. Calculer les limites de g en –1 et +.
En déduire les asymptotes à la courbe  en précisant une équation pour chacune d’elles.
b) Exprimer g ’(x) à l’aide de f (x) et f ’(x). En déduire le tableau de variation de g.
c) Déterminer g 2 et g ' 2 puis une équation de la tangente à  au point B’ d’abscisse 2.
EXERCICE 5: ( 8 points)
La société « T-ES » est entrée en bourse en 1995. Le tableau suivant donne la valeur d’une action en euros le 1er janvier
de chaque année:
Année
rang xi
Valeur de l’action
en euros yi
1995
0
32
1996
1
57
1997
2
78
1998
3
90
1999
4
110
1. Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
(unités graphiques : 2 cm pour une année sur l’axe des abscisses, 1 cm pour 10 euros sur l’axe des ordonnées).
a) Représenter le nuage de points associé à la série statistique (xi ; yi ).
b) Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer ce point sur le graphique.
2. Le graphique permet d’envisager un ajustement affine.
a) En utilisant la méthode des moindres carrés, donner à l’aide de la calculatrice une équation de la
droite D de régression de y en x.
b) Tracer la droite D sur le graphique précédent.
3. En supposant que ce modèle affine reste valable jusqu’en 2009, estimer à l’aide de ce modèle :
a) la valeur en euros, d’une action de cette société en 2009.
b) en quelle année la valeur d’une action est 224,6 euros.