Glossaire mathématique pour Word 97

T ES Mathématiques DS 5 (2 heures) Jeudi 22 Janvier 2009
EXERCICE 1 : QCM ( 8 points)
Indiquer la bonne réponse a, b ou c sur votre copie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse coûte – 0,5 point.
a
b
c
1. f est la fonction définie sur ]1 ; + [
par f(x) =
11
2
xxx
alors
xlim
f(x) =
+ 
0
On ne peut pas le
savoir
2. Cf est la courbe représentative
d’une fonction f définie sur R.
La droite D d’équation y = x – 1 est
asymptote à la courbe Cf lorsque :
xlim
( f(x) + x – 1) = 0
0
lim
x
( f(x) - x + 1) = - 
xlim
( f(x) - x + 1) = 0
3. Si f (x) = ln(2x) , alors
'fx
=
x2
1
'fx
=
x
1
'fx
=
x
2
4. La dérivée sur ]0 ; +[ de la
fonction
x
x ln(x) est :
x
1
ln(x)
ln(x) + 1
5. L’ensemble des solutions de
l’inéquation ln x > ln (2x - 1) est :
]- ; 1[
]0 ; 1 [
]
2
1
;1 [
6. L’ensemble des solutions de
l’inéquation ln (1- x) > 1 est :
]- ; 1[
]- ; 1- e [
] e ;+ [
7. La courbe représentative de la
fonction ln admet pour tangente au
point d’abscisse 1, la droite
d’équation :
y = x - 1
y = x + 1
y = x + e
8. f (x) = 2
1
)ln( 
xx
alors
xlim
f(x) =
1
0
- 1
EXERCICE 2 : ( 4 points)
On considère le polynôme P(x) = 2 x 2 + x – 6.
1. Résoudre l’équation P(x) = 0.
2. En déduire la résolution de l’équation 2(ln x)2 + ln x – 6 = 0.
EXERCICE 3 : (10 points)
Soit f la fonction définie sur ]0 ; 5] par f (x) = 1 – x + 2 ln x .
1. Étudier la limite de f en 0.
2. a) Calculer
'fx
.
b) Étudier le signe de
'fx
.
c) Donner le tableau complet des variations de f.
3. a) Calculer f (1).
b) Justifier que l’équation f (x) = 0 admet sur [3 ; 4] une solution unique puis donner, à l’aide de la
calculatrice, une valeur approchée à 10 –2 près par défaut de
c) En déduire le signe de f (x) suivant les valeurs de x.
4. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
(unités : 2 cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des ordonnées).

EXERCICE 4: ( 10 points)
C est la courbe représentative d’une fonction f dérivable
sur
;
2
3
.
Les points J
 2
3
;
2
3
, K (-1 ; 0) , A (1 ; e) et B (2 ; 2)
sont des points de C.
La tangente à C en A est parallèle à l’axe des abscisses.
La tangente à C en B passe par T(4 ; 0).
La droite d’équation y = 1 est asymptote à C en + .
1. a) Résoudre l’inéquation f (x) > 0.
b) Résoudre l’inéquation f ’(x)  0.
c) Donner les valeurs de
2
3
f
,
1f
,
1f
et
2f
ainsi que la limite de f en +.
d) Donner les valeurs de
1'f
et
2'f
.
2. Soit g la fonction définie par g(x) = ln (f (x)) et  sa représentation graphique.
a) Déterminer l’intervalle I de définition de g. Calculer les limites de g en –1 et +.
En déduire les asymptotes à la courbe  en précisant une équation pour chacune d’elles.
b) Exprimer g ’(x) à l’aide de f (x) et f ’(x). En déduire le tableau de variation de g.
c) Déterminer
2g
et
2'g
puis une équation de la tangente à  au point B’ d’abscisse 2.
EXERCICE 5: ( 8 points)
La société « T-ES » est entrée en bourse en 1995. Le tableau suivant donne la valeur d’une action en euros le 1er janvier
de chaque année:
Année
1995
1996
1997
1998
1999
rang xi
0
1
2
3
4
Valeur de l’action
en euros yi
32
57
78
90
110
1. Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
(unités graphiques : 2 cm pour une année sur l’axe des abscisses, 1 cm pour 10 euros sur l’axe des ordonnées).
a) Représenter le nuage de points associé à la série statistique (xi ; yi ).
b) Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer ce point sur le graphique.
2. Le graphique permet d’envisager un ajustement affine.
a) En utilisant la méthode des moindres carrés, donner à l’aide de la calculatrice une équation de la
droite D de régression de y en x.
b) Tracer la droite D sur le graphique précédent.
3. En supposant que ce modèle affine reste valable jusqu’en 2009, estimer à l’aide de ce modèle :
a) la valeur en euros, d’une action de cette société en 2009.
b) en quelle année la valeur d’une action est 224,6 euros.