Devoir de mathématiques

Terminale S
Devoir de mathématiques
À rendre le mardi 3 janvier 2012
Exercice 1
Famille de fonctions (5 points)
nest naturel non nul et fnla fonction définie sur [0;+∞[ par :
fn(x)=1−2n
x+n−e−x
a) Étudier les variation de fn.
b) Préciser fn(0) et lim
x→+∞fn(x).
c) Calculer fn(n) et préciser son signe.
d) Démontrer par récurrence que pour tout entier nnon nul :
en+1>2n+1
e) En déduire le signe de fn(n+1).
f) Démontrer que l’équation fn(x)=0 a une unique solution unet que n<un<n+1.
Exercice 2
Fonction logarithme (8 points)
On considère la fonction fdéfinie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
f(0) =1
f(x)=1
2x2(3 −2ln x)+1 si x>0
On note Cla courbe représentative de fdans un repère orthonormal O,−→ ı , −→ .
Partie A
1) a) Calculer lim
x→0f(x). Que peut-on en déduire pour la fonction f?
b) Déterminer la limite de fen +∞.
2) a) Étudier la dérivabilité de fen 0.
b) Montrer que fest dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ et calculer f′(x) pour x>0,f′
désignant la fonction dérivée de f.
3) Étudier le sens de variations de fsur [0 ; +∞[, puis dresser son tableau de variations.
4) Montrer que l’équation f(x)=0 possède une solution unique αsur l’intervalle [0 ; +∞[.
Déterminer un encadrement de αà 10−5près.
Partie B
1) Calculer une équation de la tangente Dà la courbe Cau point d’abscisse x=1.
2) On considère la fonction g:x7→ f(x)−2x−1
2définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
paul milan 1/3 15 décembre 2011

devoir Terminale S
a) Calculer g′(x), puis g′′(x) où g′et g′′ désignent respectivement les fonctions déri-
vées première et seconde de g. étudier le sens de variations de g′. En déduire le
signe de g′(x) sur ]0 ; +∞[
b) Étudier le sens de variations de g.
En déduire la position de la courbe Cpar rapport à la tangente D.
3) Construire la courbe Cet la tangente D(unité graphique : 2 cm).
Exercice 3
Logarithme décimal (1 point)
Le plus grand nombre premier Ntrouvé en 2008 est : N=243 112 609 −1.
Combien Na t-il de chiffres dans sa notation décimal?
Exercice 4
Nombres complexes (2,5 points)
1) On pose z=−q2−√2+iq2+√2. Déterminer la forme algébrique de z2
2) Pour tout complexe zdifférent de i, on pose : z′=iz −1
z−i. Prouver que :
z′∈R⇔ |z|=1
Exercice 5
Vrai - Faux (1,5 points)
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démons-
tration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration
consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas
de point. On rappelle que si zest un nombre complexe, zdésigne le conjugué de zet |z|
désigne le module de z.
a) Si z+z=0, alors z=0.
b) Si z+1
z=0, alors z=iou z=−i.
c) Si |z|=1 et si |z+z′|=1, alors z′=0.
Exercice 6
Equation dans C(2 points)
θest un réel donné
a) Résoudre l’équation (E) : z2−2cosθz+1=0
b) Dans le plan complexe (O,−→ u,−→ v), Aet Bsont les point ayant pour affixe les solutions
de l’équation (E). Quelles sont les valeurs de θpour lesquelles le triangle OAB est
équilatéral?
paul milan 2/3 15 décembre 2011

devoir Terminale S
A rendre avec la copie
Nom :
Prénom :
1
2
3
4
5
−1
−2
1234−10
paul milan 3/3 15 décembre 2011