Devoir de mathématiques

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Terminale S
Devoir de mathématiques
À rendre le mardi 3 janvier 2012
Exercice 1
Famille de fonctions (5 points)
n est naturel non nul et fn la fonction définie sur [0; +∞[ par :
fn (x) = 1 −
2n
− e−x
x+n
a) Étudier les variation de fn .
b) Préciser fn (0) et lim fn (x).
x→+∞
c) Calculer fn (n) et préciser son signe.
d) Démontrer par récurrence que pour tout entier n non nul :
en+1 > 2n + 1
e) En déduire le signe de fn (n + 1).
f) Démontrer que l’équation fn (x) = 0 a une unique solution un et que n < un < n + 1.
Exercice 2
Fonction logarithme
(8 points)
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :




 f (0) = 1
1 2



x (3 − 2 ln x) + 1 si x > 0
 f (x) =
2
→
− →
−
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal O, ı ,  .
Partie A
1) a) Calculer lim f (x). Que peut-on en déduire pour la fonction f ?
x→0
b) Déterminer la limite de f en +∞.
2) a) Étudier la dérivabilité de f en 0.
b) Montrer que f est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ et calculer f ′ (x) pour x > 0, f ′
désignant la fonction dérivée de f .
3) Étudier le sens de variations de f sur [0 ; +∞[, puis dresser son tableau de variations.
4) Montrer que l’équation f (x) = 0 possède une solution unique α sur l’intervalle [0 ; +∞[.
Déterminer un encadrement de α à 10−5 près.
Partie B
1) Calculer une équation de la tangente D à la courbe C au point d’abscisse x = 1.
1
2) On considère la fonction g : x 7→ f (x) − 2x − définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
2
paul milan
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15 décembre 2011
Terminale S
devoir
a) Calculer g′ (x), puis g′′ (x) où g′ et g′′ désignent respectivement les fonctions dérivées première et seconde de g. étudier le sens de variations de g′ . En déduire le
signe de g′ (x) sur ]0 ; +∞[
b) Étudier le sens de variations de g.
En déduire la position de la courbe C par rapport à la tangente D.
3) Construire la courbe C et la tangente D (unité graphique : 2 cm).
Exercice 3
Logarithme décimal
(1 point)
Le plus grand nombre premier N trouvé en 2008 est : N = 243 112 609 − 1.
Combien N a t-il de chiffres dans sa notation décimal ?
Exercice 4
Nombres complexes (2,5 points)
q
q
√
√
1) On pose z = − 2 − 2 + i 2 + 2. Déterminer la forme algébrique de z2
2) Pour tout complexe z différent de i, on pose : z′ =
z′ ∈ R
⇔
iz − 1
. Prouver que :
z−i
|z| = 1
Exercice 5
Vrai - Faux
(1,5 points)
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration
consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas
de point. On rappelle que si z est un nombre complexe, z désigne le conjugué de z et |z|
désigne le module de z.
a) Si z + z = 0, alors z = 0.
1
b) Si z + = 0, alors z = i ou z = −i.
z
c) Si |z| = 1 et si |z + z′ | = 1, alors z′ = 0.
Exercice 6
Equation dans C (2 points)
θ est un réel donné
a) Résoudre l’équation (E) : z2 − 2 cos θ z + 1 = 0
→
− →
−
b) Dans le plan complexe (O, u , v ), A et B sont les point ayant pour affixe les solutions
de l’équation (E). Quelles sont les valeurs de θ pour lesquelles le triangle OAB est
équilatéral ?
paul milan
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15 décembre 2011
Terminale S
devoir
A rendre avec la copie
Nom :
Prénom :
5
4
3
2
1
−1
0
1
2
3
4
−1
−2
paul milan
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