Devoir Surveillé du 8 février 2016 n

Devoir Surveillé du 8 février 2016 n◦6
Simplifications
Correction de l’exercice 1
Simplifier le plus possible en utilisant les propriétés algébriques de la fonction ln que l’on citera !
1. A= ln(e3)
A= ln(e3) = 3 ln ecar ln(an) = nln a
= 3 car ln e= 1
2. B= ln √2
B= ln √2 = 1
2ln 2 car ln √a=1 2ln a
=ln 2
2
3. Ecrire en fonction de ln 2 et ln 3 le nombre C= 2 ln(72) + ln √6
Tout d’abord on remarque que 72 = 8×9=23×32
C= 2 ln(72) + ln √6 = 2 ln(23×32) + 1
2ln 6 car ln √a=1 2ln a
= 2 ln(23) + 2 ln(32) + 1
2ln(2×3) car ln(a×b) = ln a+ ln b
= 6 ln 2 + 4 ln 3 + 1
2ln 2 + 1 2ln 3
=13
2ln 2 + 9 2ln 3
Equations , inéquations
Correction de l’exercice 2
+Résoudre dans Rl’équation 2 ln(x) = ln 2 + ln(4 −x).
Domaine : L’équation a un sens ⇐⇒ ßx > 0
4−x > 0⇐⇒ ßx > 0 x < 4
D=]0; 4[
Sur D, on met l’équation sous la forme ln a= ln b
2 ln(x) = ln 2 + ln(4 −x)⇐⇒ ln(x2) = ln(2(4 −x)
⇐⇒ x2= 2(4 −x)
⇐⇒ x2+ 2x−8=0
On calcule ∆=4−4×(−8) = 36
Comme ∆>0, l’équation a deux racines réelles :
x1=−b+√∆
2ax2=−b−√∆ 2a
=−2+6
2= 2 = −2−6 2=−4
2∈Ddonc est solution.
−4/∈Ddonc n’est pas solution.
Ainsi S={2}
+Résoudre dans l’intervalle ]− ∞; 3[ l’inéquation ln(3 −x)>0
Domaine : L’inéquation a un sens ⇐⇒ 3−x > 0⇐⇒ −x < −3⇐⇒ x < 3
D=] − ∞; 3[

Sur D, on met l’inéquation sous la forme ln a>ln b
ln(3 −x)>0⇐⇒ ln(3 −x)>ln 1
⇐⇒ 3−x>1
⇐⇒ −x>−2
⇐⇒ x62
Ainsi S=] − ∞; 2] ∩D=] − ∞; 2]
Correction de l’exercice 3
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
1. f(x) = ln x+x2−x
f0(x) = 1
x+ 2x−1 = 1+2x2−x x
2. g(x) = ln x
x
g=u
vdonc g0=u0v−v0u v2Ainsi f0(x) =
1
x×x−1 ln x
x2=1−ln x x2
3. h(x) = ln(3x2+ 1)
On sait que (ln u) = u0
u
Ainsi h0(x) = 6x
3x2+ 1
Une étude de fonction
Partie A.
Soit fla fonction numérique définie sur ]0 + ∞[par : f(x) = x−ln x.
Cest la courbe représentative de fdans un repère ÄO,~ i, ~ jäd’unités 2 cm.
1. Quelle limite de fen 0 le graphique laisse t’il prévoir ?
A partir du graphique on conjecture : lim
x→0+f(x)=+∞
Que peut-on en déduire pour l’axe des ordonnées par rapport à la courbe C?
La droite d’équation = 0 est asymptote verticale à C
2. Montrer que f(x) = xÅ1−ln x
xã.
Il suffit de factoriser par xdans f(x)ou développer l’ écriture xÅ1−ln x
xã
Calculer la limite de fen +∞
sachant que lim
x→+∞
ln x
x= 0, on déduit lim
x→+∞1−ln x
x= 1.
lim
x→+∞1−ln x
x= 1
lim
x→+∞x= +∞
Par produit lim
x→+∞f(x) = +∞
lim
x→+∞f(x)=+∞
3. Montrer que la dérivée de la fonction fest f0(x) = x−1
xet en déduire son signe.
Dresser le tableau de variation de f.
On af=u+vdonc f0=u0+v0
Ainsi f0(x)=1−1
x=x−1 x
On étudie le signe de la dérivée, comme on travaille sur ]0; +∞[; on a x > 0et donc la dérivée a le signe de x−1
-f0(x)=0⇔x−1=0⇔x= 1
-f0(x)>0⇔x−1>0⇔x > 1

x
Signe de f0(x)
Variations de
f
0 1 +∞
−0+
+∞
11
+∞+∞
On a bien sûr calculé f(1) = 1 −ln 1 = 1
4. Soit Ale point de la courbe Cd’abscisse 1
2. Calculer l’équation de la tangente Ten A.
La tangente TàCau point d’abscisse a=1
2a pour équation :
y=f0(a)(x−a) + f(a)
Ici a=1
2, on calcule successivement :
-fÅ1
2ã=1 2−ln Å1 2ã=1 2+ ln 2
On a utilisé ln Å1
aã=−ln a
-f0Å1
2ã= 1 −1
1
2
=−1
Ainsi T:y=−Åx−1
2ã+1 2+ ln 2
T:y=−x+ 1 + ln 2
B. Calcul d’aire
1. Vérifier que F(x) = x2
2+x−xln xune primitive de fsur ]0 + ∞[.
Il suffit de dériver !
F(x) = 1
2x2+x−xln x
F=u+voù u(x) = x2
2+xet v(x) = −xln x
donc u0(x) = 1
2×2x+ 1 = x+ 1,
par ailleurs v=a.b où a(x) = −xet b(x) = ln x
on a alors a0(x) = −1et b0(x) = 1
x
v0=a0b+b0a, soit v0(x) = −1×ln x+1
x×(−x) = −ln x−1
F0=u0+v0, donc F0(x) = x+ 1 −ln x−1 = x−ln x
On a bien montré que F0(x) = f(x), donc Fest une primitive de f
2. Calculer l’aire de la surface comprise entre la courbe C, l’axe des abscisse et les droites d’équation x= 1 et x= 2.
Un dessin ?

Comme la fonction fest positive sur [1; 2], sa courbe est située au dessus de (Ox)sur ]0; +∞[donc sur [1; 2], l’aire cherchée
vaut donc :
A=
2
Z
1
f(x)dxu.a. = [F(x)]2
1=F(2) −F(1)
On utilise F(x) = x2
2+x−xln xon calcule successivement :
-F(1) = 12
2+ 1 −1 ln 1 = 3 2
-F(2) = 22
2+ 2 −2 ln 2 = 4 −2 ln 2
-F(2) −F(1) = 4 −2 ln 2 −3
2=−2 ln 2 + 5 2
L’unité d’aire vaut 2cm×2cm = 4cm2, donc A= 4 5
2−2 ln 2cm2
A= 10 −8 ln 2 cm2≈4,45 cm2