Devoir Surveillé du 8 février 2016 n

Devoir Surveillé du 8 février 2016
n◦6
Simplifications
Correction de l’exercice 1
Simplifier le plus possible en utilisant les propriétés algébriques de la fonction ln que l’on citera !
1. A = ln(e3 )
A = ln(e3 ) = 3 ln e car ln(an ) = n ln a
=3
car ln e = 1
√
2. B = ln 2
√
B = ln 2 =
√
ln 2 car ln a =
ln 2
=
2
1
2
1
2
ln a
√
3. Ecrire en fonction de ln 2 et ln 3 le nombre C = 2 ln(72) + ln 6
Tout d’abord on remarque que 72 = 8×9 = 23 ×32
√
√
C = 2 ln(72) + ln 6 = 2 ln(23 ×32 ) + 21 ln 6
car ln a = 12 ln a
= 2 ln(23 ) + 2 ln(32 ) + 21 ln(2×3) car ln(a×b) = ln a + ln b
= 6 ln 2 + 4 ln 3 + 12 ln 2 + 12 ln 3
9
= 13
2 ln 2 + 2 ln 3
Equations , inéquations
Correction de l’exercice 2
+ Résoudre dans R l’équation 2 ln(x) = ln 2 + ln(4 − x).
ß
ß
x>0
x>0
Domaine : L’équation a un sens ⇐⇒
⇐⇒
4−x>0
x<4
D =]0; 4[
Sur D , on met l’équation sous la forme ln a = ln b
2 ln(x) = ln 2 + ln(4 − x) ⇐⇒ ln(x2 ) = ln(2(4 − x)
⇐⇒ x2 = 2(4 − x)
⇐⇒ x2 + 2x − 8 = 0
On calcule ∆ = 4 − 4×(−8) = 36
Comme ∆ > 0, l’équation a deux racines réelles :
√
√
−b + ∆
−b − ∆
x1 =
x2 =
2a
2a
−2 + 6
−2 − 6
=
=2
=
= −4
2
2
2 ∈ D donc est solution.
−4 ∈
/ D donc n’est pas solution.
Ainsi S = {2}
+ Résoudre dans l’intervalle ] − ∞; 3[ l’inéquation ln(3 − x) > 0
Domaine : L’inéquation a un sens ⇐⇒ 3 − x > 0 ⇐⇒ −x < −3 ⇐⇒ x < 3
D =] − ∞; 3[
Sur D , on met l’inéquation sous la forme ln a > ln b
ln(3 − x) > 0 ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
ln(3 − x) > ln 1
3−x>1
−x > −2
x62
Ainsi S =] − ∞; 2] ∩ D =] − ∞; 2]
Correction de l’exercice 3
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
1. f (x) = ln x + x2 − x
1
1 + 2x2 − x
f 0 (x) = + 2x − 1 =
x
x
ln x
2. g(x) =
x
1
×x − 1 ln x
u
1 − ln x
u0 v − v 0 u
x
0
0
g = donc g =
Ainsi
f
(x)
=
=
2
2
v
v
x
x2
3. h(x) = ln(3x2 + 1)
u0
On sait que (ln u) =
u
6x
0
Ainsi h (x) = 2
3x + 1
Une étude de fonction
Partie A.
Soit f la fonction numérique définie sur ]0 + ∞[ parÄ: f (x) =ä x − ln x.
C est la courbe représentative de f dans un repère O, ~i, ~j d’unités 2 cm.
1. Quelle limite de f en 0 le graphique laisse t’il prévoir ?
A partir du graphique on conjecture : lim f (x) = +∞
x→0+
Que peut-on en déduire pour l’axe des ordonnées par rapport à la courbe C ?
La droite d’équation = 0 est asymptote verticale à C
Å
ã
ln x
2. Montrer que f (x) = x 1 −
.
x
Å
ã
ln x
Il suffit de factoriser par x dans f (x) ou développer l’ écriture x 1 −
x
Calculer la limite de f en +∞
ln x
ln x
sachant que lim
= 0, on déduit lim 1 −
= 1.
x→+∞ x
x→+∞
x

ln x
lim 1 −
= 1
x→+∞
x
Par produit lim f (x) = +∞
x→+∞

lim x = +∞
x→+∞
lim
x→+∞
f (x) = +∞
x−1
3. Montrer que la dérivée de la fonction f est f 0 (x) =
et en déduire son signe.
x
Dresser le tableau de variation de f .
On af = u + v donc f 0 = u0 + v 0
1
x−1
Ainsi f 0 (x) = 1 − =
x
x
On étudie le signe de la dérivée, comme on travaille sur ]0; +∞[ ; on a x > 0 et donc la dérivée a le signe de x − 1
- f 0 (x) = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1
- f 0 (x) > 0 ⇔ x − 1 > 0 ⇔ x > 1
x
0
+∞
1
Signe de f 0 (x)
−
0
+
+∞
+∞
Variations de
f
1
On a bien sûr calculé f (1) = 1 − ln 1 = 1
1
. Calculer l’équation de la tangente T en A.
2
1
La tangente T à C au point d’abscisse a = a pour équation :
2
4. Soit A le point de la courbe C d’abscisse
y = f 0 (a)(x − a) + f (a)
1
, on calcule successivement :
2
Å ã
Å ã
1
1
1
1
- f
= − ln
= + ln 2
2
2 Å ã2
2
1
On a utilisé ln
= − ln a
a
Å ã
1
1
= 1 − 1 = −1
- f0
2
2
Ici a =
Å
ã
1
1
Ainsi T : y = − x −
+ + ln 2
2
2
T : y = −x + 1 + ln 2
B. Calcul d’aire
2
1. Vérifier que F (x) = x2 + x − x ln x une primitive de f sur ]0 + ∞[ .
Il suffit de dériver !
F (x) = 12 x2 + x − x ln x
2
F = u + v où u(x) = x2 + x et v(x) = −x ln x
donc u0 (x) = 12 ×2x + 1 = x + 1,
par ailleurs v = a.b où a(x) = −x et b(x) = ln x
1
on a alors a0 (x) = −1 et b0 (x) =
x
1
v 0 = a0 b + b0 a, soit v 0 (x) = −1× ln x + ×(−x) = − ln x − 1
x
F 0 = u0 + v 0 , donc F 0 (x) = x + 1 − ln x − 1 = x − ln x
On a bien montré que F 0 (x) = f (x), donc F est une primitive de f
2. Calculer l’aire de la surface comprise entre la courbe C, l’axe des abscisse et les droites d’équation x = 1 et x = 2.
Un dessin ?
Comme la fonction f est positive sur [1; 2], sa courbe est située au dessus de (Ox) sur ]0; +∞[ donc sur [1; 2], l’aire cherchée
vaut donc :
Z2
2
f (x) dxu.a. = [F (x)]1 = F (2) − F (1)
A=
1
On utilise F (x) =
- F (1) =
- F (2) =
12
2
2
2
2
x2
2
+ x − x ln x on calcule successivement :
+ 1 − 1 ln 1 =
3
2
+ 2 − 2 ln 2 = 4 − 2 ln 2
- F (2) − F (1) = 4 − 2 ln 2 −
3
2
= −2 ln 2 +
5
2
L’unité d’aire vaut 2cm×2cm = 4cm2 , donc A = 4
A = 10 − 8 ln 2 cm2 ≈ 4, 45 cm2
5
2
− 2 ln 2 cm2