Correction Dérivée

Correction
Dérivée
Exercice 1.
Déterminer la limite des fonctions suivantes :
1.
2
2
2
5
lim 3 10
x
xxx
3 ² 10 2 3 5x x x x    
donc, quand x tend vers 2–,
2x
tend vers 0– et
35x
vers 11–, et le produit tend
vers 0–. On a donc
2
2
2
5
lim 3 10
x
xxx
2.
3
3
1
lim ( ) ² 5 2
x
x
fx x
Quand x tend vers 3+ ,
² 5 2x
tend vers 0+ et donc
3
3
1
lim ² 5 2
x
xx
Exercice 2.
Soit
f
la fonction définie sur
1
2
par
3
( ) 1 12 f x x x
,
1. Déterminer les points de la courbe représentative de f en lesquels la tangente est parallèle à la droite
d’équation
74yx
Le coefficient directeur de la tangente est le nombre dérivé.
Il faut donc trouver le (ou les) nombre(s) x0 tel que f '(x0) = 7.
3
( ) 1 ( ) ( )
12
f x x u x v x
x
( ) 1u x x
'( ) 1ux
3
() 12 vx x
22
0 1 2 3 2 6
'( ) 1 2 1 2
x
vx xx
2
6
'( ) 1 12 fx x
Il faut donc résoudre l'équation
2
2
2
2
6
17
12
66
12
11
12
1 2 1
1 2 1 1 2 1
01
x
x
x
x
x ou x
x ou x
f(0) = 4 et f(1) = -1
Les points recherchés sont
0
4
A
et
1
1
B

2. Déterminer les nombres a, b et c tels que
1 1 2 3
3 2 ² 1 2 3 2 ² 4
( ) 1 1 2 1 2 1 2 1 2
xx
x x x x x
f x x x x x x
Exercice 3.
Soit
f
la fonction définie sur
2;7
par
32
( ) 6 7f x x x   
, soit sa courbe représentative dans un repère du
plan.
1. Étudier les variations de f sur
2;7
et dresser son tableau de variation.
 f est définie sur IR. Df = IR.
3
lim ( ) lim
xx
f x x
3
lim ( ) lim
xx
f x x
 f '(x)=–3x² + 12x = 3x(– x + 4)
x
–∞
0
4
+∞
f '(x)
–
0
+
0
–
f(x)
+∞
–7
25
–∞
f(0)=–7 ; f(4) = 25
2. En déduire que f est bornée sur
2;7
et donner un encadrement de f(x) sur cet intervalle.
Sur [–2 ; 0] la fonction est décroissante et prend des valeurs de f(-2)=25 à f(0)=7.
Sur [0 ; 4], la fonction est croissante et prend des valeurs de f(0)=7 à f(4)=25.
Sur [4 ; 7], la fonction est croissante et prend ses valeurs de f(4)=25 à f(7)=–56.
Conclusion : pour x 
2;7
, –56 ≤ f(x) ≤ 25

Exercice 4.
Soit la courbe d’équation
223y x x  
.
1. Déterminer l’équation réduite de la tangente à au point A d’abscisse a
L'équation de la tangente est de la forme : y = f '(a)(x – a) + f(a)
2
( ) 2 3
( ) ² 2 3
f x x x
f a a a
'( ) 2 2
'( ) 2 2
f x x
f a a
L'équation devient : y = (2a + 2)(x – a) + (a² + 2a + 3) = 2ax –2a² + 2x – 2a + a² + 2a + 3 = (2a + 2)x +(3 – a²)
2. Existe-t-il des tangentes à la courbe passant par le point E (-3 ; 5) ? Si oui déterminer l’équation de chaque
tangente à la courbe passant par E.
Si elle existe, cette tangente passe par un point de la courbe d'abscisse a (donc son équation est celle du dessus) et aussi
par le point E donc son équation est de la forme y = mx + p avec 5 = –3m + p
Il faut donc résoudre le système :
{5=−3𝑚+𝑝
𝑚=2𝑎+2
𝑝=3−𝑎²
En prenant m et p et en substituant leur valeur dans la
première équation on obtient :
5 = –3(2a + 2) + (3 – a²)
ou encore
a² + 6a + 8 = 0
(a + 2)(a + 4 ) = 0 (racine évident a = – 2)
et en remplaçant a :
a = – 2
m = 2×(–2) + 2 = – 2
p = 3 – (-2)² = 3 – 4 = – 1
T1 : y = –2x – 1
a = – 4
m = 2×(–4) + 2 = – 6
p = 3 – (-4)² = – 13
T2 : y = –6x – 13

Exercice 5.
Calculer la dérivée de la fonction définie sur
1
2
par :
2 ² 4
() 21
xx
fx x
On remarque que la fonction de cet exercice est la même que celle de l'exercice 2.
En effet, d'après 2.2, on a :
2 ² 4
3 2 ² 4 2 ² 4
1 ( )
1 2 1 2 1 2 2 1
xx
x x x x
x f x
x x x x
Il est toujours plus simple de dériver une somme qu'un quotient :
3
( ) 1 12 f x x x
22
3 ( 2) 6
'( ) 1 0 1 0
1 2 1 2
fx xx
donc la fonction f est strictement croissante sur son domaine.
Correction de la méthode "longue" :
2 ² 4 ( )
() 2 1 ( )
x x u x
fx x v x
( ) 2 ² 4
'( ) 4 1
u x x x
u x x
( ) 2 1
'( ) 2
v x x
vx
2 2 2
4 1 2 1 2 ² 4 2
'( ) ( ) ( ) '( ) 8 ² 4 2 1 4 ² 2 8 4 ² 4 7
'( ) ²( ) 2 1 2 1 2 1
x x x x
u x v x u x v x x x x x x x x
fx vx x x x
étudier les variations de f revient à étudier le signe de f'. Le discriminant du numérateur est négatif (Δ=16-16×7) donc le
numérateur est du signe du coefficient de plus haut degré : 4.
Je vous laisse juge du choix de la méthode…