Correction Dérivée Exercice 1. Déterminer la limite des fonctions suivantes : 1. lim x2 x2 5 3 x x 10 2 3x² x 10 x 23x 5 donc, quand x tend vers 2–, x 2 tend vers 0– et 3x 5 vers 11–, et le produit tend 5 vers 0–. On a donc lim 2 x 2 3 x x 10 x2 2. 1 x² 5 2 lim f ( x) x 3 x 3 Quand x tend vers 3+ , x ² 5 2 tend vers 0+ et donc lim x 3 x 3 1 x² 5 2 Exercice 2. Soit f la fonction définie sur 3 1 par f ( x) x 1 , 1 2x 2 1. Déterminer les points de la courbe représentative de f en lesquels la tangente est parallèle à la droite d’équation y 7 x 4 Le coefficient directeur de la tangente est le nombre dérivé. Il faut donc trouver le (ou les) nombre(s) x0 tel que f '(x0) = 7. f ( x) x 1 3 u ( x) v( x) 1 2x u ( x) x 1 v( x) f '( x) 1 3 1 2x u '( x) 1 v '( x) 0 1 2 x 3 2 1 2 x 2 6 1 2 x 2 6 1 2 x 2 Il faut donc résoudre l'équation 1 6 1 2 x 6 1 2 x 2 1 2 7 6 1 1 2 x 2 1 2 x 1 2 1 2 x 1 ou 1 2 x 1 x0 ou x 1 f(0) = 4 et f(1) = -1 0 4 1 1 Les points recherchés sont A et B 2. Déterminer les nombres a, b et c tels que f ( x) x 1 x 11 2 x 3 x 2 x² 1 2 x 3 2 x² x 4 3 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x Exercice 3. Soit f la fonction définie sur 2;7 par f ( x) x3 6 x 2 7 , soit sa courbe représentative dans un repère du plan. 1. Étudier les variations de f sur 2;7 et dresser son tableau de variation. f est définie sur IR. Df = IR. f '(x)=–3x² + 12x = 3x(– x + 4) x f '(x) lim f ( x) lim x3 lim f ( x) lim x3 x x –∞ – x 0 0 x + +∞ 4 0 25 +∞ – f(x) –7 –∞ f(0)=–7 ; f(4) = 25 2. En déduire que f est bornée sur 2;7 et donner un encadrement de f(x) sur cet intervalle. Sur [–2 ; 0] la fonction est décroissante et prend des valeurs de f(-2)=25 à f(0)=7. Sur [0 ; 4], la fonction est croissante et prend des valeurs de f(0)=7 à f(4)=25. Sur [4 ; 7], la fonction est croissante et prend ses valeurs de f(4)=25 à f(7)=–56. Conclusion : pour x 2;7 –56 ≤ f(x) ≤ 25 , Exercice 4. Soit la courbe d’équation y x 2 2 x 3 . 1. Déterminer l’équation réduite de la tangente à au point A d’abscisse a L'équation de la tangente est de la forme : y = f '(a)(x – a) + f(a) f '( x) 2 x 2 f '(a) 2a 2 L'équation devient : y = (2a + 2)(x – a) + (a² + 2a + 3) = 2ax –2a² + 2x – 2a + a² + 2a + 3 = (2a + 2)x +(3 – a²) f ( x) x 2 2 x 3 f ( a ) a ² 2a 3 2. Existe-t-il des tangentes à la courbe passant par le point E (-3 ; 5) ? Si oui déterminer l’équation de chaque tangente à la courbe passant par E. Si elle existe, cette tangente passe par un point de la courbe d'abscisse a (donc son équation est celle du dessus) et aussi par le point E donc son équation est de la forme y = mx + p avec 5 = –3m + p Il faut donc résoudre le système : 5 = −3𝑚 + 𝑝 { 𝑚 = 2𝑎 + 2 𝑝 = 3 − 𝑎² En prenant m et p et en substituant leur valeur dans la et en remplaçant a : première équation on obtient : a=–2 a=–4 5 = –3(2a + 2) + (3 – a²) m = 2×(–2) + 2 = – 2 m = 2×(–4) + 2 = – 6 ou encore p = 3 – (-2)² = 3 – 4 = – 1 p = 3 – (-4)² = – 13 a² + 6a + 8 = 0 (a + 2)(a + 4 ) = 0 (racine évident a = – 2) T1 : y = –2x – 1 T2 : y = –6x – 13 Exercice 5. Calculer la dérivée de la fonction définie sur 2 x² x 4 1 par : f ( x) 2x 1 2 On remarque que la fonction de cet exercice est la même que celle de l'exercice 2. x 1 3 2 x ² x 4 2 x ² x 4 2 x ² x 4 f ( x) 1 2x 1 2x 1 2 x 2x 1 En effet, d'après 2.2, on a : Il est toujours plus simple de dériver une somme qu'un quotient : f ( x) x 1 f '( x) 1 0 3 1 2x 3 (2) 1 2 x 2 1 6 1 2 x 2 0 donc la fonction f est strictement croissante sur son domaine. Correction de la méthode "longue" : u ( x) 2 x ² x 4 u '( x) 4 x 1 v( x) 2 x 1 v '( x) 2 f ( x) 2 x ² x 4 u ( x) 2x 1 v( x) f '( x) u '( x) v( x) u ( x) v '( x) 4 x 1 2 x 1 2 x² x 4 2 8 x² 4 x 2 x 1 4 x² 2 x 8 4 x² 4 x 7 2 2 2 v ²( x) 2 x 1 2 x 1 2 x 1 étudier les variations de f revient à étudier le signe de f'. Le discriminant du numérateur est négatif (Δ=16-16×7) donc le numérateur est du signe du coefficient de plus haut degré : 4. Je vous laisse juge du choix de la méthode…