Les fonctions
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Les fonctions
D6-DM
Exercice 1 (QCM - Lecture graphique)
Tale STI2D
Exercice 2 (Fonctions logarithme et de l’exponentielle)
On considère une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [ −2 ; 10 ] représentée
graphiquement par la courbe Cf ci-dessous. La droite D est la tangente à Cf au point
B et les tangentes aux points C et E sont parallèles à l’axe des abscisses.
Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur [ 1 ; +∞ [ par
g(x) = 1 −
D
5
1. Déterminer les valeurs exactes de g(1) et de g(2).
2. On admet que lim g(x) = 1. Interpréter graphiquement cette limite.
C
b
x→+∞
4
3. (a) On note g la fonction dérivée de la fonction g. Montrer que g ′ (x) =
′
Cf
3
x−2
.
ex
(b) Étudier le signe de g ′ (x) sur [ 1 ; +∞ [.
(c) Dresser le tableau de variations de g.
(d) Grâce au tableau de variation, en déduire que g(x) est positif sur [ 1 ; +∞ [.
b
2
x−1
.
ex
B
1
Partie B - Étude d’une fonction
Soit f la fonction définie sur ] 1 ; +∞ [ par
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
− 2 + ln(x − 1).
x
e
e
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal
(O, I, J) d’unité graphique 1 cm.
10
f (x) =
b
E
−2
1. On admet que lim f (x) = −∞ et que lim f (x) = +∞.
x→1
−3
−4
1. Quelle est la valeur de f (2) ?
a. f (2) = 0
b. f (2) = 4, 38
c. f (2) = 4, 5
2. Quelle est la valeur de f (0) nombre dérivé de f en 0 ?
a. f ′ (0) = 2, 5
b. f ′ (0) = 2
c. f ′ (0) = 0, 5
′
3. Quel est l’ensemble S des solutions de l’équation f (x) = 0 ?
a. S = ∅
b. S = { −1 ; 6 ; 10 } c. S = { 2 ; 8 }
4. Quelle est l’équation réduite de la droite D ?
a. y = 2, 5x + 4
b. y = −2x + 2, 5
c. y = 2x + 2, 5
Partie C - Représentation graphique
5. Quel est l’ensemble S ′ des solutions de l’inéquation f ′ (x) > 0 ?
a. S = ] 2 ; 8 [
b. S = [−2; 2 [ ∪ ] 8; 10 ] c. S = { 2 ; 8 }
N. DAVAL
x→+∞
En déduire l’existence d’une asymptote ∆ à la courbe C, dont on précisera
une équation.
2. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f .
1
1
.
(a) Montrer que f ′ (x) = − x +
e
x−1
g(x)
.
(b) En déduire que f ′ (x) =
x−1
(c) En déduire le sens de variation de f sur ] 1 ; +∞ [.
Dresser la tableau de variation de f .
3. (a) Calculer f (2) et f ′ (2).
(b) Déterminer l’équation de la tangente T à la courbe au point d’abscisse 2.
Dans le repère défini précédemment, tracer les droites ∆ et T puis la courbe C.
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D6-DM
g(x)
g(x)
1
x−1
1
1
=
−
=
− . D’où f ′ (x) =
x−1
x − 1 ex (x − 1)
x − 1 ex
x−1
(c) signe de g(x) : positif d’après la partie A,
signe de (x − 1) : positif sur l’intervalle [1; +∞[
Correction du D6-DM
(b)
Exercice 1
Réponses du Q.C.M. : 1b
2b
3b
4c
Tale STI2D
5b
Exercice 2
+∞
−∞
1
1
3. (a) On trouve f (2) = 2 − 2 + ln(2 − 1) = ln(1) d’où f (2) = 0
e
e
g(2)
′
et f (2) =
= 1 − e−2 d’où f ′ (2) = 1 − e−2
2−1
(b) T a pour équation y = f ′ (2)(x − 2) + f (2) = (1 − e−2 )(x − 2) soit
T : y = (1 − e−2 )x − 2 + 2e−2 ≈ 0, 86x − 1, 73
2−1
1−1
1. On trouve g(1) = 1 − 1 = 1 et g(2) = 1 − 2 donc :
e
e
g(1) = 1 et g(2) = 1 − e−2
2. la droite d’équation y = 1 est asymptote horizontale en +∞ à la courbe représentative de la fonction g.
(x − 2)ex
x−2
1 × ex − (x − 1)ex
=
=⇒ g ′ (x) =
(ex )2
e2x
ex
Partie C - Représentation graphique.
(b) Signe de ex : positif sur R,
Signe de x − 2 : x − 2 ≤ 0 ⇐⇒ x ≤ 2 et x − 2 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 2 d’où le signe
de g ′ (x) :
g ′ (x) ≤ 0 sur [ 1 ; 2 ] et g ′ (x) ≥ 0 sur [ 2 ; +∞ ]
x
g ′ (x)
1
−
2
0
1
C
∆
2
(c) D’où le tableau de variation :
T
1
+∞
b
+
1
1
−1
g
2
3
4
5
6
7
8
−1
1 − e−2
(d) Au vu du tableau de variation, étant donné que 1 − e−2 ≈ 0, 86 > 0,
g(x) est toujours positif puisque son minimum est strictement positif.
−2
−3
Partie B - Étude d’une fonction.
−4
1. On en déduit que la droite ∆ d’équation x = 1 est asymptote verticale à la
courbe C.
−ex
1
1
1
2. (a) f ′ (x) = x 2 − 0 +
donc : f ′ (x) = − x +
(e )
x−1
e
x−1
N. DAVAL
+∞
+
f
Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire
3. (a) g ′ (x) = 0 −
1
x
f ′ (x)
−5
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