Les fonctions

D6-DM Les fonctions Tale STI2D
Exercice 1(QCM - Lecture graphique)
On considère une fonction fdéfinie et dérivable sur l’intervalle [ −2 ; 10 ] représentée
graphiquement par la courbe Cfci-dessous. La droite Dest la tangente à Cfau point
Bet les tangentes aux points Cet Esont parallèles à l’axe des abscisses.
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1−2−3
B
C
E
Cf
D
1. Quelle est la valeur de f(2) ?
a. f(2) = 0 b. f(2) = 4,38 c. f(2) = 4,5
2. Quelle est la valeur de f′(0) nombre dérivé de fen 0 ?
a. f′(0) = 2,5 b. f′(0) = 2 c. f′(0) = 0,5
3. Quel est l’ensemble Sdes solutions de l’équation f(x) = 0 ?
a. S=∅b. S={ −1 ; 6 ; 10 }c. S={2 ; 8 }
4. Quelle est l’équation réduite de la droite D?
a. y= 2,5x+ 4 b. y=−2x+ 2,5 c. y= 2x+ 2,5
5. Quel est l’ensemble S′des solutions de l’inéquation f′(x)>0 ?
a. S= ] 2 ; 8 [ b. S= [−2; 2 [ ∪] 8; 10 ] c. S={2 ; 8 }
Exercice 2(Fonctions logarithme et de l’exponentielle)
Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire
Soit gla fonction définie sur [ 1 ; +∞[ par
g(x) = 1 −x−1
ex.
1. Déterminer les valeurs exactes de g(1) et de g(2).
2. On admet que lim
x→+∞
g(x) = 1. Interpréter graphiquement cette limite.
3. (a) On note g′la fonction dérivée de la fonction g. Montrer que g′(x) = x−2
ex.
(b) Étudier le signe de g′(x) sur [ 1 ; +∞[.
(c) Dresser le tableau de variations de g.
(d) Grâce au tableau de variation, en déduire que g(x) est positif sur [ 1 ; +∞[.
Partie B - Étude d’une fonction
Soit fla fonction définie sur ] 1 ; +∞[ par
f(x) = 1
ex−1 e2+ ln(x−1).
On note Cla courbe représentative de la fonction fdans un repère orthonormal
(O, I, J) d’unité graphique 1 cm.
1. On admet que lim
x→1f(x) = −∞ et que lim
x→+∞f(x) = +∞.
En déduire l’existence d’une asymptote ∆ à la courbe C, dont on précisera
une équation.
2. On note f′la fonction dérivée de la fonction f.
(a) Montrer que f′(x) = −1
ex+1 x−1.
(b) En déduire que f′(x) = g(x)
x−1.
(c) En déduire le sens de variation de fsur ] 1 ; +∞[.
Dresser la tableau de variation de f.
3. (a) Calculer f(2) et f′(2).
(b) Déterminer l’équation de la tangente Tà la courbe au point d’abscisse 2.
Partie C - Représentation graphique
Dans le repère défini précédemment, tracer les droites ∆ et Tpuis la courbe C.
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D6-DM Les fonctions Tale STI2D
Correction du D6-DM
Exercice 1
Réponses du Q.C.M. : 1b 2b 3b 4c 5b
Exercice 2
Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire
1. On trouve g(1) = 1 −1−1
e1= 1 et g(2) = 1 −2−1 e2donc :
g(1) = 1 et g(2) = 1 −e−2
2. la droite d’équation y= 1 est asymptote horizontale en +∞à la courbe re-
présentative de la fonction g.
3. (a) g′(x) = 0 −1×ex−(x−1)ex
(ex)2=(x−2)ex e2x=⇒g′(x) = x−2 ex
(b) Signe de ex: positif sur R,
Signe de x−2:x−2≤0⇐⇒ x≤2 et x−2≥0⇐⇒ x≥2 d’où le signe
de g′(x) :
g′(x)≤0 sur [ 1 ; 2 ] et g′(x)≥0 sur [ 2 ; +∞]
(c) D’où le tableau de variation :
x1 2 +∞
g′(x)−0 +
1 1
g
1−e−2
(d) Au vu du tableau de variation, étant donné que 1 −e−2≈0,86 >0,
g(x) est toujours positif puisque son minimum est strictement positif.
Partie B - Étude d’une fonction.
1. On en déduit que la droite ∆ d’équation x= 1 est asymptote verticale à la
courbe C.
2. (a) f′(x) = −ex
(ex)2−0 + 1 x−1donc : f′(x) = −1 ex+1 x−1
(b) g(x)
x−1=1 x−1−x−1 ex(x−1) =1 x−1−1 ex. D’où f′(x) = g(x) x−1
(c) signe de g(x) : positif d’après la partie A,
signe de (x−1) : positif sur l’intervalle [1; +∞[
x1 +∞
f′(x) +
+∞
f
−∞
3. (a) On trouve f(2) = 1
e2−1 e2+ ln(2 −1) = ln(1) d’où f(2) = 0
et f′(2) = g(2)
2−1= 1 −e−2d’où f′(2) = 1 −e−2
(b) Ta pour équation y=f′(2)(x−2) + f(2) = (1 −e−2)(x−2) soit
T:y= (1 −e−2)x−2 + 2e−2≈0,86x−1,73
Partie C - Représentation graphique.
1
2
−1
−2
−3
−4
−5
12345678−1
C
∆T
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