D6-DM Les fonctions Tale STI2D
Exercice 1(QCM - Lecture graphique)
On considère une fonction fdéfinie et dérivable sur l’intervalle [ 2 ; 10 ] représentée
graphiquement par la courbe Cfci-dessous. La droite Dest la tangente à Cfau point
Bet les tangentes aux points Cet Esont parallèles à l’axe des abscisses.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10123
B
C
E
Cf
D
1. Quelle est la valeur de f(2) ?
a. f(2) = 0 b. f(2) = 4,38 c. f(2) = 4,5
2. Quelle est la valeur de f(0) nombre dérivé de fen 0 ?
a. f(0) = 2,5 b. f(0) = 2 c. f(0) = 0,5
3. Quel est l’ensemble Sdes solutions de l’équation f(x) = 0 ?
a. S=b. S={ −1 ; 6 ; 10 }c. S={2 ; 8 }
4. Quelle est l’équation réduite de la droite D?
a. y= 2,5x+ 4 b. y=2x+ 2,5 c. y= 2x+ 2,5
5. Quel est l’ensemble Sdes solutions de l’inéquation f(x)>0 ?
a. S= ] 2 ; 8 [ b. S= [2; 2 [ ] 8; 10 ] c. S={2 ; 8 }
Exercice 2(Fonctions logarithme et de l’exponentielle)
Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire
Soit gla fonction définie sur [ 1 ; +[ par
g(x) = 1 x1
ex.
1. Déterminer les valeurs exactes de g(1) et de g(2).
2. On admet que lim
x+
g(x) = 1. Interpréter graphiquement cette limite.
3. (a) On note gla fonction dérivée de la fonction g. Montrer que g(x) = x2
ex.
(b) Étudier le signe de g(x) sur [ 1 ; +[.
(c) Dresser le tableau de variations de g.
(d) Grâce au tableau de variation, en déduire que g(x) est positif sur [ 1 ; +[.
Partie B - Étude d’une fonction
Soit fla fonction définie sur ] 1 ; +[ par
f(x) = 1
ex1
e2+ ln(x1).
On note Cla courbe représentative de la fonction fdans un repère orthonormal
(O, I, J) d’unité graphique 1 cm.
1. On admet que lim
x1f(x) = −∞ et que lim
x+f(x) = +.
En déduire l’existence d’une asymptote ∆ à la courbe C, dont on précisera
une équation.
2. On note fla fonction dérivée de la fonction f.
(a) Montrer que f(x) = 1
ex+1
x1.
(b) En déduire que f(x) = g(x)
x1.
(c) En déduire le sens de variation de fsur ] 1 ; +[.
Dresser la tableau de variation de f.
3. (a) Calculer f(2) et f(2).
(b) Déterminer l’équation de la tangente Tà la courbe au point d’abscisse 2.
Partie C - Représentation graphique
Dans le repère défini précédemment, tracer les droites ∆ et Tpuis la courbe C.
N. DAVAL 1/2 Lycée Georges Brassens
D6-DM Les fonctions Tale STI2D
Correction du D6-DM
Exercice 1
Réponses du Q.C.M. : 1b 2b 3b 4c 5b
Exercice 2
Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire
1. On trouve g(1) = 1 11
e1= 1 et g(2) = 1 21
e2donc :
g(1) = 1 et g(2) = 1 e2
2. la droite d’équation y= 1 est asymptote horizontale en +à la courbe re-
présentative de la fonction g.
3. (a) g(x) = 0 1×ex(x1)ex
(ex)2=(x2)ex
e2x=g(x) = x2
ex
(b) Signe de ex: positif sur R,
Signe de x2:x20x2 et x20x2 d’où le signe
de g(x) :
g(x)0 sur [ 1 ; 2 ] et g(x)0 sur [ 2 ; +]
(c) D’où le tableau de variation :
x1 2 +
g(x)0 +
1 1
g
1e2
(d) Au vu du tableau de variation, étant donné que 1 e20,86 >0,
g(x) est toujours positif puisque son minimum est strictement positif.
Partie B - Étude d’une fonction.
1. On en déduit que la droite ∆ d’équation x= 1 est asymptote verticale à la
courbe C.
2. (a) f(x) = ex
(ex)20 + 1
x1donc : f(x) = 1
ex+1
x1
(b) g(x)
x1=1
x1x1
ex(x1) =1
x11
ex. D’où f(x) = g(x)
x1
(c) signe de g(x) : positif d’après la partie A,
signe de (x1) : positif sur l’intervalle [1; +[
x1 +
f(x) +
+
f
−∞
3. (a) On trouve f(2) = 1
e21
e2+ ln(2 1) = ln(1) d’où f(2) = 0
et f(2) = g(2)
21= 1 e2d’où f(2) = 1 e2
(b) Ta pour équation y=f(2)(x2) + f(2) = (1 e2)(x2) soit
T:y= (1 e2)x2 + 2e20,86x1,73
Partie C - Représentation graphique.
1
2
1
2
3
4
5
123456781
C
T
N. DAVAL 2/2 Lycée Georges Brassens
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