exercices TA

FONCTION EXPONENTIELLE (exercices et problèmes) – série n° 1
Exercice 1. Ecrire plus simplement :
1
ln 4
e ln 5 ; e - ln 3 ; e 2
1
1
; ln
; e
1
3
ln 3
e
e
e
x - ln x
e3  ln 5
;
e 4  ln 4
; - ln e-2 ;
- 3 ln 5
;
; e ln 6 - ln 3 ;
1 + ln 2
2
e x 4
;
2
e
e x 2
x 
 e x  e x 
 x

 e e 




2
2




2
Exercice 2. Résoudre dans IR les équations suivantes
a) e x = 3
e x-2 = e 2x+1
2
ex  4
b) e 2x+e x -2=0
c) e x+1 = e -x-1
d) e x = -3
e)
f)
e
6x + 2
2
5
ex
3e2x-11ex +8=0
e 2x = 3 e-2
1
2
x
e 3 .e  x  e x
+ e3x + 1=0
x
ex  2 e 2  5  0
 ex  0
Exercice 3. Développer : ( X-1 ) ( X+4 ) ( X + 3 )
En déduire la résolution dans IR de l'équation
e 3x + 6 e 2x + 5 e x - 12 = 0
Exercice 4. Résoudre les systèmes suivants :
 e x  e y  12
 2 e x  3 e y  1

a) 
b)

4
x
y
 5 e x  5 e y  7
e e 
3

 e  x  y  24 e  x  4  0
c) 
 3 e x  2 e y  4
 5 e x  3 e  y  3
d) 
 7 e x  6 e  y  11
Exercice 5. Résoudre les inéquations suivantes :
ex < 3
e -x < 0
e 2x+1 < e x+2
e x +1 - 1> 0
e x - 3 e-x - 2<0
e x 3  0
e 3x -1  e x ² +1
2
Exercice 6. Déterminer l'ensemble de définition de f
2
a) f x   e x 1
1
b) f x   e x
c) f x  
d) f x  
3x
ex  1
e) f x   ln (ex  2)
g) f x   ln
ex  1
f) f x  
h) f x  
ex  1
5
ex  1
ex  2
ex  2
ex
1

ex  1
ln (ex  2)
Exercice 7. Vérifier que pour tout x appartenant au domaine de définition :
a)
b)
c)
2e x  1
2e x  5
4e x
2e x  3


2  e x
2  5e x
4
2  3e x
 1
 2
6
2e x  5
6
2e x  3
e2 x
ex
1
 ex 
 ex 
ex  1
ex  1
1  e x
Exercice 8. Calculer les limites aux bornes du domaine de définition :
a) f ( x)  ex
c) f ( x ) 
e)
ex  1
ex  2
b) f ( x )  e x
d) f ( x ) 
2
ex
e2 x  1
f) f ( x)  ( x  1) ex
f ( x)  x ex
ex
x
Exercice 9. Démontrer que les droites d'équation données sont asymptotes à la
courbe représentative de f.
a) y = x-2
pour f(x) = x - 2 + ex
g)
f (x) 
b)
y = 2x + 3 et
y = 2x + 1
pour
f(x) = 2x + 1 +
Exercice 10. Calculer la dérivée de f :
a)
f(x) = x² + ex + e²
b) f ( x ) 
c) f ( x)  (ex )2
d) f ( x ) 
2
e) f ( x )  e x  x
f) f ( x ) 
g) f ( x )  ln
1
ex  1
ex
e2 x  1
e x  e x
e x  e x
ex  1
ex  2
Exercice 11. Calculer les primitives de f :
2e x
ex  3
2
b) f ( x )  2x e x
a) f ( x)  e2x
3
c) f ( x )  x 2 e x
e) f ( x ) 
g) f ( x ) 
d) f ( x ) 
2 ex
f)
e2 x  1
e2 x
e2 x  1
f ( x) 
1
x2
2
ex
e2 x  e x
( e2x  2 e x  1) 3
Exercice 12. Soit la fonction f définie par f(x) = e 2x - 2ex.
a- Résoudre l'équation f(x) = 0
b- Calculer f '(x). Etudier les variations de f.
c- Ecrire l'équation de la tangente (T) à la courbe représentative (C) de f au
point d'abscisse x = ln 2.
d- Tracer (T)et (C ) dans un repère orthonormé.
Exercice 13. f est la fonction x 
 
ex
ex 2
et C la courbe représentant f dans un
repère orthonormé ( O , i , j ) unité : 3cm.
1. Quel est l'ensemble de définition de f ?
Etudiez la limite de f en - .
Montrez que, pour tout réel x :
2
f ( x ) 1 
ex  2
Déduisez-en la limite de f en +.
Précisez si C admet des asymptotes.
2. Montrez que f est dérivable en tout point de son ensemble de définition et
explicitez la fonction f '.
Etudiez les variations de f et dressez son tableau de variation.
3. Calculez f(0), f(ln 2), f(ln 4), f(ln 8).
Déterminez l'abscisse du point de C dont l'ordonnée est 8/9.
Donnez une équation de la tangente D à C au point d'abscisse ln 2.
4. Construisez D et C.
Exercice 14. Soit f l'application de IR dans IR telle que f(x) = 2x + 2 - e x.
1. Calculer à 0,01 près f(-1), f(ln2) et f(3 ln2).
2. Calculer la limite de f lorsque x tend vers - .
3. Etudier les variations de f. (On admettra que lim f ( x)  et
x
f ( x)
  ).
x x
Vérifier que la droite d'équation y = 2x +2 est asymptote à la courbe représentative (C) de f.
4. Construire la courbe (C ) dans un repère orthonormé x'0x, y'Oy, l'unité de
longueur étant 2cm.
5. Déterminer la primitive F de f qui s'annule pour x = 0.
lim
En déduire, en cm2, l'aire de la portion du plan ensemble des points M(x,y)
tels que
0  x  ln2 et 0  y  f(x).
Exercice 15. Soit f la fonction déterminée par : f(x) = x + e -x.
1. Quel est l'ensemble de définition de f ?
2. Calculer la limite de f lorsque x tend vers + . ( On donne
lim f ( x)  et
x 
f ( x)
  ).
x  x
Vérifier que la courbe représentative (C ) de f est asymptote à la droite (D)
d'équation y = x.
3. Etudier les variations de f.
4. Construire (C) dans un repère orthonormé (unité : 2 cm).
5. Calculer l'aire, en cm², de la surface comprise entre la courbe (C ), la droite
(D) et les droites d'équations respectives x =0 et x =  ( > 0). Quelle est la
limite de cette aire quand  tend vers + .
lim
Exercice 16. f est la fonction x 3x 1
1
ex
.
1. a- Etudiez les variations de f.
b- C est la courbe représentant f dans un repère orthonormal (unité : 1 cm).
Montrez que la droite d'équation y = 3x + 1 est asymptote à la courbe C.
2. a- Déterminez l'équation de la tangente à C au point d'abscisse 0 et tracez
cette tangente.
b- Construisez C.