exercices TA

FONCTION EXPONENTIELLE (exercices et problèmes) – série n° 1
Exercice 1. Ecrire plus simplement :
e ln 5 ; e - ln 3 ;
4ln
2
1
e
; - ln e-2 ; e - 3 ln 5 ;
3
1
ln
e
1
;
3
e1
ln
; e 1 + ln 2 ; e ln 6 - ln 3 ;
e x - ln x ;
4ln4
5ln3
e
e
;
2x
4x
e
e2
2
xx
2
xx
2ee 2ee 
Exercice 2. Résoudre dans IR les équations suivantes
a) e x = 3 e x-2 = e 2x+1
b) e 2x+e x -2=0
4e 2
x
c) e x+1 = e -x-1 3e2x-11ex +8=0
d) e x = -3 e 2x = 3 e-2
e) e 6x + 2 + e3x + 1=0
2
3
1xx
xee.e 
f)
0e
e
5
2x
x
05e2e 2
x
x
Exercice 3. Développer : ( X-1 ) ( X+4 ) ( X + 3 )
En déduire la résolution dans IR de l'équation
e 3x + 6 e 2x + 5 e x - 12 = 0
Exercice 4. Résoudre les systèmes suivants :
a)
3
4
ee
12ee
yx
yx
b)
7e5e5
1e3e2 yx
yx
c)
4e2e3
04e24eyx
xyx
d)
11e6e7
3e3e5 yx
yx
Exercice 5. Résoudre les inéquations suivantes :
e x < 3 e -x < 0
e 2x+1 < e x+2
0e 3x2
e x +1 - 1> 0 e 3x -1  e x ² +1
e x - 3 e-x - 2<0
Exercice 6. Déterminer l'ensemble de définition de f

a)
1x2
exf 
b)
x
1
exf 
c)
1e x3
xf x
d)
1e 5
xf x
e)
)2e(lnxf x
f)
2e 2e
xf x
x
g)
1e 1e
lnxf x
x
h)
)2e(ln 1 1ee
xf xx
x
Exercice 7. Vérifier que pour tout x appartenant au domaine de définition :
a)
5e2 6
1
e52 e2 5e2 1e2 xx
x
x
x
b)
3e2 6
2
e32 4 3e2 e4 xxx
x
c)
x
x
x
x
x
x
x2
e1 1
e
1ee
e
1ee
Exercice 8. Calculer les limites aux bornes du domaine de définition :
a)
x
e)x(f 
b)
2
x
e)x(f 
c)
2e 1e
)x(f x
x
d)
1e e
)x(f x2
x
e)
x
ex)x(f 
f)
x
e)1x()x(f 
g)
x
e
)x(f x
Exercice 9. Démontrer que les droites d'équation données sont asymptotes à la
courbe représentative de f.
a) y = x-2 pour f(x) = x - 2 + ex
b) y = 2x + 3 et y = 2x + 1 pour f(x) = 2x + 1 +
3e e2
x
x
Exercice 10. Calculer la dérivée de f :
a) f(x) = x² + ex + e² b)
1e 1
)x(f x
c)
2x)e()x(f 
d)
1e e
)x(f x2
x
e)
xx2
e)x(f 
f)
xx
xx
ee ee
)x(f 
g)
2e 1e
ln)x(f x
x
Exercice 11. Calculer les primitives de f :

a)
x2
e)x(f 
b)
2
x
ex2)x(f 
c)
3
x2 ex)x(f 
d)
1ee
)x(f x2
x2
e)
1e
e2
)x(f x2
x
f)
x
2
e
x1
)x(f 2
g)
3xx2
xx2
)1e2e( ee
)x(f 
Exercice 12. Soit la fonction f définie par f(x) = e 2x - 2ex.
a- Résoudre l'équation f(x) = 0
b- Calculer f '(x). Etudier les variations de f.
c- Ecrire l'équation de la tangente (T) à la courbe représentative (C) de f au
point d'abscisse x = ln 2.
d- Tracer (T)et (C ) dans un repère orthonormé.
Exercice 13. f est la fonction
xe
e
x
x
2
et C la courbe représentant f dans un
repère orthonormé
( , , )O i j
unité : 3cm.
1. Quel est l'ensemble de définition de f ?
Etudiez la limite de f en - .
Montrez que, pour tout réel x :
2e
2
1)x(f x
Déduisez-en la limite de f en +.
Précisez si C admet des asymptotes.
2. Montrez que f est dérivable en tout point de son ensemble de définition et
explicitez la fonction f '.
Etudiez les variations de f et dressez son tableau de variation.
3. Calculez f(0), f(ln 2), f(ln 4), f(ln 8).
Déterminez l'abscisse du point de C dont l'ordonnée est 8/9.
Donnez une équation de la tangente D à C au point d'abscisse ln 2.
4. Construisez D et C.
Exercice 14. Soit f l'application de IR dans IR telle que f(x) = 2x + 2 - e x.
1. Calculer à 0,01 près f(-1), f(ln2) et f(3 ln2).
2. Calculer la limite de f lorsque x tend vers - .
3. Etudier les variations de f. (On admettra que
lim ( )
xf x
et
lim ( )
xf x
x
).
Vérifier que la droite d'équation y = 2x +2 est asymptote à la courbe repré-
sentative (C) de f.
4. Construire la courbe (C ) dans un repère orthonormé x'0x, y'Oy, l'unité de
longueur étant 2cm.
5. Déterminer la primitive F de f qui s'annule pour x = 0.

En déduire, en cm2, l'aire de la portion du plan ensemble des points M(x,y)
tels que
0  x  ln2 et 0  y  f(x).
Exercice 15. Soit f la fonction déterminée par : f(x) = x + e -x.
1. Quel est l'ensemble de définition de f ?
2. Calculer la limite de f lorsque x tend vers + . ( On donne
lim ( )
xf x
et
lim ( )
xf x
x
).
Vérifier que la courbe représentative (C ) de f est asymptote à la droite (D)
d'équation y = x.
3. Etudier les variations de f.
4. Construire (C) dans un repère orthonormé (unité : 2 cm).
5. Calculer l'aire, en cm², de la surface comprise entre la courbe (C ), la droite
(D) et les droites d'équations respectives x =0 et x =  ( > 0). Quelle est la
limite de cette aire quand  tend vers + .
Exercice 16. f est la fonction
x x ex   3 1 1
.
1. a- Etudiez les variations de f.
b- C est la courbe représentant f dans un repère orthonormal (unité : 1 cm).
Montrez que la droite d'équation y = 3x + 1 est asymptote à la courbe C.
2. a- Déterminez l'équation de la tangente à C au point d'abscisse 0 et tracez
cette tangente.
b- Construisez C.