+ = 4 1 9 2 0 et lim x lim x

ENONCE : On considère la fonction f définie par
4 1
2
x
f ( x )
x
−
=
+
.
a) Préciser l’ensemble de définition
f
D
de f .
b) Déterminer les deux asymptotes à la courbe
f
C
représentative de f .
c) Montrer que la droite d’équation y = x est tangente à la courbe
f
C
en un point à préciser.
d) On cherche à résoudre l’équation f(x) + x² = 0 sur
f
D
. Montrer que cette équation est équivalente à l’équation
3 2
2 4 1 0x x x
+ + − =
; en considérant la fonction g définie par
3 2
2 4 1
g( x ) x x x
= + + −
, montrer l’existence et l’unicité
de la solution α de cette équation. Trouver un encadrement de α à 0,1 près.
CORRIGE : a) L’ensemble de définition
f
D
= IR \ {-2}.
b) Pour déterminer les asymptotes à la courbe
f
C
, on calcule les limites de f aux bornes de son ensemble de
définition :
4 1 4 1
4
2 2
x x
x x
lim lim
x x
→+∞ →−∞
− −
= =
+ +
; donc la droite d’équation y = 4 est asymptote horizontale à
f
C
. On a
2 2
4 1 9 2 0
et
x x
lim x lim x
+ +
+
→− →−
− = − + =
donc
2
4 1
2
x
x
lim
x
+
→−
−
= −∞
+
; et
2 2
4 1 9 2 0
et
x x
lim x lim x
− −
−
→− →−
− = − + =
donc
2
4 1
2
x
x
lim
x
−
→−
−
= +∞
+
; donc la droite d’équation x = -2 est asymptote verticale à
f
C
.
c) La droite d’équation y = x est tangente en un point à
f
C
si le coefficient directeur de cette tangente est 1, donc on
cherche a tel que f’(a) = 1 ; on a
2
9
2
f '( x )
( x )
=
+
; on résout l’équation
2
9
1
2( x )
=
+
et on trouve deux solutions : 1
et -5 . Pour a = 1, la tangente est
y f '( a )( x a ) f ( a ) x
= − + =
; et pour a = -5, la tangente est
54
7
y f '( a )( x a ) f ( a ) x
= − + = +
(tangente parallèle à la droite d’équation y = x ).
d) L’équation f(x) + x² = 0 sur
f
D
est équivalente à
2
4 1
0
2
x
x
x
−
+ =
+
, équivalent à
3 2
4 1 2
0
2
x x x
x
− + +
=
+
équivalent à
l’équation
3 2
2 4 1 0x x x
+ + − =
. On a
2
3 4 4
g'( x ) x x
= + +
; le discriminant de ce trinôme est ∆ = -32 < 0, donc il n’y
pas de racines réelles et g’(x) est du signe du coefficient de x² sur IR, donc ici g’(x) > 0, donc la fonction g est
continue (c’est un polynôme) et strictement monotone de IR dans IR ; donc 0 a un unique antécédent par g dans IR,
c’est-à-dire, l’équation g(x) =0 a une unique solution dans IR. On la note α ; on a g(0) = -1 <0 et g(1) = 6 > 0, donc
0 < α < 1 et par approximations successives, on trouve 0,2 < α < 0,3 .