+ = 4 1 9 2 0 et lim x lim x

ENONCE : On considère la fonction f définie par f ( x ) =
4x −1
.
x+2
a) Préciser l’ensemble de définition D f de f .
b) Déterminer les deux asymptotes à la courbe C f représentative de f .
c) Montrer que la droite d’équation y = x est tangente à la courbe C f en un point à préciser.
d) On cherche à résoudre l’équation f(x) + x² = 0 sur D f . Montrer que cette équation est équivalente à l’équation
x 3 + 2 x 2 + 4 x − 1 = 0 ; en considérant la fonction g définie par g( x ) = x 3 + 2 x 2 + 4 x − 1 , montrer l’existence et l’unicité
de la solution α de cette équation. Trouver un encadrement de α à 0,1 près.
CORRIGE : a) L’ensemble de définition D f = IR \ {-2}.
b) Pour déterminer les asymptotes à la courbe C f , on calcule les limites de f aux bornes de son ensemble de
4x −1
4x −1
= xlim
= 4 ; donc la droite d’équation y = 4 est asymptote horizontale à C f . On a
→−∞
x+2
x+2
4x −1
lim 4 x − 1 = −9 et lim+ x + 2 = 0+ donc lim+
= −∞ ; et lim− 4 x − 1 = −9 et lim− x + 2 = 0− donc
x→−2+
x→−2
x→−2 x + 2
x→−2
x→−2
4x − 1
= +∞ ; donc la droite d’équation x = -2 est asymptote verticale à C f .
lim
x→−2− x + 2
c) La droite d’équation y = x est tangente en un point à C f si le coefficient directeur de cette tangente est 1, donc on
définition : lim
x
→+∞
cherche a tel que f’(a) = 1 ; on a f '( x =
)
9
9
= 1 et on trouve deux solutions : 1
; on résout l’équation
2
( x+2)
( x + 2 )2
et -5 . Pour a = 1, la tangente est y = f '( a )( x− a +) f ( a =
) x; et pour a = -5, la tangente est
y = f '( a )( x− a +) f ( a =
) x+
54
(tangente parallèle à la droite d’équation y = x ).
7
4x −1 2
4 x − 1 + x3 + 2 x 2
+ x = 0 , équivalent à
= 0 équivalent à
x+2
x+2
l’équation x 3 + 2 x 2 + 4 x − 1 = 0 . On a g'( x =
) 3 2x + 4 x+ 4 ; le discriminant de ce trinôme est ∆ = -32 < 0, donc il n’y
pas de racines réelles et g’(x) est du signe du coefficient de x² sur IR, donc ici g’(x) > 0, donc la fonction g est
continue (c’est un polynôme) et strictement monotone de IR dans IR ; donc 0 a un unique antécédent par g dans IR,
c’est-à-dire, l’équation g(x) =0 a une unique solution dans IR. On la note α ; on a g(0) = -1 <0 et g(1) = 6 > 0, donc
0 < α < 1 et par approximations successives, on trouve 0,2 < α < 0,3 .
d) L’équation f(x) + x² = 0 sur D f est équivalente à