Les nombres complexes

Les nombres complexes
I) Forme algébrique
1) Ensemble des nombres complexes
Un nombre complexe est de la forme
z  a  ib
La partie réelle est notée :
Re(z) = a
La partie imaginaire est notée
Im(z) = b
Deux nombre complexes sont égaux
si et seulement si ils possèdent la
même partie réelle et le même partie
imaginaire.
2) Règles de calcul dans
i 2  1
 Addition
z  z '  (a  ib)  (a ' ib ')
 a  a ' i(b  b ')
 Multiplication
z  z '  (a  ib)(a ' ib ')
 aa ' bb ' i(ab ' ba ')
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II) Conjugué d’un nombre complexe
Le conjugué d'un nombre complexe
z  a  ib est z  a  ib
Opérations sur les conjugués :
z  z' z z'
zz'  zz'
z
z

z'
z'
Démonstration :
z  a  ib
z  a  ib
z '  a ' ib '
z '  a ' ib '
z  z '  a  ib  a ' ib
z  z '  a  a ' i (b  b ')
z  z '  a  a ' i (b  b ')
z  z '  a  ib  a ' ib
z z' z z'
III) Forme trigonométrique
Module de z :
z  a ²  b²
Argument de z :
arg( z )  
Avec :
cos  
a
z
sin  
b
z
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D’où la forme trigonométrique :
z  r (cos   i sin  )
Egalité de deux nombres complexes :
z  z' 
r  r'
   ' 2k
IV) Propriétés des modules et des arguments
zz'  z  z'
arg( z  z ')  arg( z)  arg( z ')  2 
Démonstration :
z  r (cos   i sin  )
z '  r '(cos  ' i sin  ')
z  z '  r (cos   i sin  )  r '(cos  ' i sin  ')
 rr '  (cos  cos  ' sin  sin  ')  i(cos  'sin   sin  'cos  ) 
 rr '  cos(   ')  i sin(   ') 
z  z '  rr '  z  z '
arg( zz ')     '2   arg( z)  arg( z ') 2 
Formule de Moivre
(cos   i sin  )n  cos(n )  i sin(n )
Démonstration par récurrence
On vérifie au rang n=1
(cos   i sin  )1  cos(1  )  i sin(1  )
Vrai
On suppose vrai au rang n c'est-à-dire
(cos   i sin  )n  Cos(n )  i sin(n )
On démontre alors vrai au rang n+1
(cos   i sin  ) n 1  (cos   i sin  ) n  (cos   i sin  )
 (cos(n )  i sin(n ))  (cos   i sin  )
 cos((n  1) )  sin((n  1) )
Module et argument d’un rapport
z
z

z'
z'
z
arg    arg( z )  arg( z ')  2 
 z'
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V) Forme exponentielle d’un complexe
Cas général : z  z ei
Formule de Moivre
(cos   i sin  )n  Cos(n )  i sin(n )
i n
in
(e )  e
Formule d’Euler
ei  ei
cos  
2
ei  ei
sin  
2i
Démonstration :
ei  cos   i sin 
ei  cos   i sin 
ei  ei  2 cos 
ei  ei  2i sin 
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VI) Equation du second degré à coefficients réels
az 2  bz  c  0
b
c

a  z 2  z    0 Car a  0
a
a

c
 2 b
z  z   0
a
a

Forme canonique
2
2
b   b 
c

z
     0
2a   2a  a

b  b 2  4ac

z

0

 
2a 
4a 2

Posons   b 2  4ac
2
L’équation devient :
b 


z
  2 0
2a  4a

2
1er Cas   0
2
2
b   

 0
z
 
2a   2a 


b
 
b



 z 
  z 
  0
2
a
2
a
2
a
2
a





b

b



 z 
  0 ou
 z 
0
2a 2a 
2a 2a 


z1 
b  
2a
z2 
b  
2a
 b   b   
S 
;

2a 
 2a
2ème cas   0
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2
b 

z
 0
2a 

b
z
0
2a
b
z
2a
 b 
S 
 2a 
3ème cas   0
b 


z
  2 0
2a  4a

Or   i 2  
2
b  i 2  ()

z

0

 
2a 
4a 2

b
b



 i   z 
 i    0
z
2a
2a



2
b
b
On a donc  z   i    0 ou  z   i    0
2a
2a


z1 
b  i 
2a

et
z2 

b  i 
2a
 b  i  b  i  
S 
;

2a
2a


Figures dessinées avec Cabri Géomètre II
Fiche réalisée par Pierre-Yves Magnaldi et Nicolas Moro
Terminale S – Année scolaire 2005/2006
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