cours sur les nombres complexes

Les nombres complexes.
1°) Définitions.
Soient a et b deux réels quelconques, le couple ordonné (a,b) est appelé nombre complexe. A est appelée partie réelle du
complexe et b partie imaginaire. L’ensemble des nombres complexes est noté C.
Représentation.
Dans le plan rapporté au repère orthonormé, le point M d’abscisse a et d’ordonnée b est appelé image du complexe z = (a,b).
On dit encore que z est l’affixe de M.
ρ
θ
Argument.
si a = b = 0 alors M est confondu avec O et on pose z = 0
sinon l’angle θ =
(
)
OMOx, est appelé l’argument de z. Il est défini à 2kπ près où k∈IN.
Module.
On appelle module de z et on note |z| la longueur OM. On note ρ = OM .
Remarque : On a alors : a = ρ×cos θ et b = ρ×sin θ et réciproquement ρ =
22
ba + et tan θ =
a
b
, on peut alors noter z =
(a,b) ou z = (ρ,θ).
Egalité.
Deux complexes z
1
= (a
1
,b
1
) et z
2
= (a
2
,b
2
) sont égaux si et seulement si a
1
= a
2
et b
1
= b
2
c’est à dire si les images M
1
et M
2
sont confondues.
Deux complexes sont égaux si et seulement si les modules sont égaux et les arguments sont égaux à 2kπ près.
2°) Opérations sur les complexes.
Conjugué.
Deux complexes z
1
= (a
1
,b
1
) et z
2
= (a
2
,b
2
) sont conjugués si et seulement si a
1
= a
2
et b
1
= −b
2
c’est à dire si les images M
1
et
M
2
sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Le conjugué de z se note
z
Remarques : un nombre et son conjugué ont le même module et des arguments opposés. Le conjugué du conjugué est lui-
même :
z
= z
ρ
θ
ρ
−θ
Addition - soustraction.
On définit la somme de z
1
= (a
1
,b
1
) et z
2
= (a
2
,b
2
) par z
1
+ z
2
= (a
1
+ a
2
, b
1
+ b
2
)
Remarques :
Si on note M
1
l’image de z
1
, M
2
l’image de z
2
et M l’image de z = z
1
+ z
2
alors on a :
21
OMOMOM +=

Puisque OM≤OM
1
+OM
2
on a : |z
1
+z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|, on retiendra le module d’une somme est inférieur ou égal à la
somme des modules.
On définit de la même manière la soustraction de z
1
= (a
1
,b
1
) et z
2
= (a
2
,b
2
) par z
1
− z
2
= (a
1
− a
2
, b
1
− b
2
)
Remarque : l’addition et la soustraction des nombres complexes sont associatives et commutations comme leurs homologues
dans IR.
Multiplication.
On définit le produit des complexes z
1
= (ρ
1
,θ
1
) et z
2
= (ρ
2
,θ
2
) par le complexe z de module ρ
1
× ρ
2
et d’argument θ
1
+ θ
2
.
On note (ρ
1
,θ
1
)× (ρ
2
,θ
2
) = ( ρ
1
× ρ
2
, θ
1
+θ
2
).
D’après ce qui précède :
la partie réelle de z est : ρ
1
× ρ
2
× cos (θ
1
+θ
2
) = ρ
1
× ρ
2
× [ cos (θ
1
) × cos(θ
2
) − sin (θ
1
) × sin(θ
2
) ]
= ρ
1
× cos (θ
1
) × ρ
2
×cos(θ
2
) − ρ
1
×sin (θ
1
) × ρ
2
×sin(θ
2
)
= a
1
× a
2
− b
1
× b
2
.
la partie imaginaire de z est : ρ
1
× ρ
2
× sin (θ
1
+θ
2
) = a
1
× b
2
+ b
1
× a
2
.
On note alors : (a
1
,b
1
) × (a
2
,b
2
) = (a
1
× a
2
− b
1
× b
2
, a
1
× b
2
+ b
1
× a
2
)
Division.
On définit le quotient des complexes z
1
= (ρ
1
,θ
1
) et z
2
= (ρ
2
,θ
2
) par le complexe z de module ρ
1
÷ ρ
2
et d’argument θ
1
− θ
2
.
On note (ρ
1
,θ
1
)× (ρ
2
,θ
2
) = ( ρ
1
× ρ
2
, θ
1
− θ
2
).
En particulier :
−=
θ
ρ
,
11
z
3°) Différentes notations.
Notation algébrique.
D’après ce qui précède, quelque soit le complexe (a,b) on a : (a,b) = (a,0)+(0,b)
Or les (a,0) a son image sur l’axe des abscisses, on peut le confondre avec le réel a et (0,b) a son image sur l’axe des ordonnée,
on dit que c’est un imaginaire pur. Son argument est toujours π
π
k2
2
+ .
On distingue en particulier (0,1) de module 1 et d’argument π
π
k2
2
+ en le nommant i .
Puisque (a,0) correspond à a fois l’unité d’abscisse 1, on note (0,b) = b×i = ib , on peut écrire z = a+ib où i est un nombre
imaginaire tel que i² = (0,1)×(0,1) = (-1,0) = -1.
Le complexe z = (a,b) peut donc se noter z = a+ib où i² = -1.
C’est la notation algébrique de z. Son avantage est de simplifier la rédaction lors de sommes ou différences, en effet :
Si z = a+ib et z’ = c+id alors z+z’ = a+c + i( b+d ) et z−z’ = a−c + i( b−d )
Par contre elle n’est pas pratique lors des multiplications.
Notation trigonométrique.
On sait déjà que si z = (a,b) alors a = ρ×cos θ et b = ρ×sin θ or z peut s’écrire z = a+ib donc il vient :
z = ρ×( cos θ + i sin θ )
C’est la notation trigonométrique de z. Son avantage est de simplifier la rédaction lors de produits, en effet :
Si z = ρ
1
×( cos θ
1
+ i sin θ
1
) et z’ = ρ
2
×( cos θ
2
+ i sin θ
2
) alors zz’ = ρ
1
ρ
2
×( cos (θ
1
+θ
2
) + i sin (θ
1
+θ
2
) )
Et surtout : z
n
= ρ
1n
×( cos nθ
1
+ i sin nθ
1
)
Notation exponentielle.
Lorsqu’on élève un complexe a la puissance n on remarque que le module est élèvé à la puissance n et l’argument est multiplié
n fois, d’où la notation z = ρe
iθ
où e
iθ
= cos θ +i sin θ.

4°) Formule de De Moivre et formules d’Euler.
Si on considère les complexes de module 1 et d’argument θ, ils se notent : z = cos θ + i sin θ et on a :
z
n
= ρ
n
×( cos nθ + i sin nθ) donc (cos θ + i sin θ )
n
= cos nθ + i sin nθ pour tout n ∈ IN C’est la formule de De Moivre.
Puisque : e
iθ
= cos θ +i sin θ on a aussi e
-iθ
= cos -θ +i sin -θ = cos θ − i sin θ d’où on obtient :
2
cos
θθ
θ
ii
ee
−
+
=
et
i
ee
ii
2
sin
θθ
θ
−
−
=
ce sont les formules d’Euler.
5°) Racines nièmes d’un nombre complexe.
Soit z’ = (r, α) un complexe on cherche les racines n
ièmes
de z’. On cherche donc les z vérifiant z
n
= z’.
Notons z = (ρ,θ) = ρ×( cos θ + i sin θ)
Le module de z
n
est ρ
n
et son argument est nθ donc ρ
n
= r et nθ = α+2kπ où k ∈ IN
donc
n
r ρ = et
n
k
n
π
α
θ
2
+=
Lorsque k décrit IN, l’angle θ prend n valeurs distinctes dans [0 ;2π[, formant ainsi n complexes racines n
ièmes
de z’ de même
module.
On retiendra : un complexe a n racines n
ièmes
de même module, formant les sommets d’un polygone régulier si n>2.
Cas particuliers : les racines n
ièmes
de l’unité.
6°) Résolution de l’équation du second degré.
Soient a,b,c des réels et z un nombre complexe. On cherche à résoudre az²+bz+c = 0 (1)
Soit a = 0 et alors (1) devient bz+c = 0 donc z =
b
c
−
Soit a ≠ 0 et alors (1) devient 0
2
=++
a
c
z
a
b
z donc 0
4
2
2
2
2
=+−
+a
c
a
b
a
b
z donc 0
4
4
2
2
2
2
=
−
−
+a
acb
a
b
z
Notons alors ∆ = b
2
-4ac
Soit ∆ > 0 donc z =
a
b
2
∆+− ou z =
a
b
2
∆−−
Soit ∆ = 0 donc z =
a
b
2
−
Soit ∆ < 0 donc -∆ > 0 et alors z =
a
ib
2
∆−+− ou z =
a
ib
2
∆−−−
Exemples : Résoudre x
2
-x-2 = 0 puis résoudre x
2
+x+1 = 0
7°) Applications à la géométrie.