Ensemble N, récurrence et calculs de sommes

Marino Alexandre
Massena ECS 1
Feuille d’exercices 3
Ensemble N, récurrence et calculs de sommes
Les exercices à regarder sont mentionnés par une *.
Récurrence et propriétés des entiers
Exercice 1 : Si on note P l’ensemble des nombres premiers, montrer que ∀n ≥ 2, ∃p ∈ P tel que p divise n.
(*)Exercice 2 : Montrer que
n
P
1. ∀n ∈ N,
k(k + 1) =
n(n+1)(n+2)
3
3. ∀n ∈ N,
(2k + 1)3 = 2n4 − n2
4. ∀n ∈ N,
k=0
n−1
P
2. ∀n ∈ N∗ ,
n
P
(2k + 1) = (n + 1)2
k=0
n
P
k(k!) = (n + 1)! − 1
k=0
k=0
Exercice 3 : Montrer : ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 , 2n > n2 . (déterminer n0 )
Exercice 4 :
1. Montrer que pour tout entier n non nul, 9 divise 10n − 1.
n
2. Soit a une entier impair. Montrer que pour tout entier n non nul 2n+2 divise a2 − 1.
(*)Exercice 5 : Montrer que si u ≥ −1, alors pour tout n ∈ N, (1 + u)n ≥ 1 + nu
Exercice 6 : Démontrer par récurrence que ∀n ∈ N ∗ ,
2n
X
(−1)k+1
k=1
k
Exercice 7 : Démontrer par récurrence que ∀n ≥ 2,
=
n
X
k=1
n
P
k=1
1
k
1
n+k
est le quotient d’un nombre impair par un nombre pair.
Sommes simples et doubles
(*)Exercice 8 : Calculer en fonction de n les quantités suivantes :
n
n
n
n
n
n
P
P
Q
Q
Q
P
1,
k,
n,
k,
(1 − k1 ),
(3k − 1),
k=1
k=1
k=1
k=1
k=2
k=1
Exercice 9 : Calculer les sommes suivantes où n et p sont deux entiers tels que 1 ≤ p ≤ n :
n
n
n
n+1
n
2n
n
P
P
P
P
P
P
P
S=
uk , T =
uk , U =
uk , V =
uk , W =
uk+1 , X =
uk , Y =
u2k
k=0
k=1
k=p
k=1
k=0
k=0
k=0
dans chacun des cas suivants :
(a) uk = k, (b) uk = k 2 , (c) uk = xk avec x 6= 1, (d) uk = 1, (e) uk = a avec a ∈ C∗ .
(*)Exercice 10 : Calculer les sommes suivantes
n
P
1
1.
4k2 −1
2.
k=1
n
P
k=1
ln(1 + k1 )
3.
n
P
4.
k=0
n
P
2
5.
2 3
i j
6.
i2
X
(i + j)
0≤i+j≤n
i≥0 j≥0
i∈[[0;n]]
j∈[[0;n]]
3.
n X
k
X
k=0 i=0
k=0
2.
kxk où x ∈ C\{1}.
k=1
(*)Exercice 11 : Calculer les sommes suivantes :
n
X
1.
ak b2k c3k
X
k(k + 1)
i+3
X X
7. (p et n fixés)
2
2j i
0≤j≤n
j≤i
i−j≤p
1≤i≤n j=i
4.
j j
n X
X
x
j=1 i=0
X
8.
n P
n
P
i=1j=1
xi
1
i
i+j
(i − j)2
(*)Exercice 12 :
P
1. Calculer
min(i, j)
1≤i,j≤n
P
2. En déduire la valeur de
max(i, j)
1≤i,j≤n
P
3. En déduire la valeur de
|i − j|
1≤i,j≤n
√
Q
Exercice 13 : Montrer que pour n ≥ 1, n! =
ij
i+j=n+1, i≥1, j≥1
(*)Exercice 14 : Montrer par récurrence que pour tout t ∈]0, 2π[, (correction à lire attentivement)
n
X
cos(kt) =
k=0
n+1
cos( nt
2 ) sin( 2 t)
sin( 2t )
Généralités sur les sommes
(*)Exercice 15 :
1. Remplacer les " ?" :
?
n
P
P
ak
(a)
ak+1 =
k=?
k=0
(b) Somme télescopique :
n
P
(c) Produit télescopique :
k=0
n
Q
(ak+1 − ak ) =?
(ak+1 /ak ) =?
k=0
n
P
(d) "Sommation par parties" :
(ak+1 − ak )bk =? −
k=0
2. Applications : calculer les sommes suivantes
n
P
k=1
1
k(k+1) ,
n
P
ak+1 (bk+1 − bk )
k=0
n
P
k=2
1
k2 −1 ,
n
P
k=2
1
k3 −k .
Exercice 16 : Manipulations sur les sommes doubles : Justifier les égalités suivantes
n P
?
n P
?
P
P
P
1.
ai,j =
ai,j =
ai,j
1≤i≤j≤n
P
2.
ai,j =
1≤i<j≤n
3. (
n
P
k=1
j=1 i=?
i=1 j=?
? P
?
P
? P
?
P
ai,j =
j=? i=?
ak )(
m
P
k=1
bk ) =
n P
m
P
ai,j
i=? j=?
ai bj
i=1 j=1
4. Déduire des questions précédentes que :
(
n
X
k=1
ak )2 =
n X
n
X
i=1 j=1
ai aj =
n
X
k=1
a2k + 2
X
1≤i<j≤n
ai aj