Chapitre VI : Fonctions trigonométriques

Chapitre VI :
Fonctions trigonométriques
Extrait du programme :
I Rappels de premier
−→ −→
On munit le cercle trigonométrique d’un repère orthonormé (O; OI ; O J ).
Soit x la mesure en radian d’un angle, et M le point tel que l’angle orienté
−→ −→
(OI ; O J ) = x.
Alors le point M a pour coordonnées (cos x; sin x) dans le repère.
Propriété :
• −1 É cos x É 1 et −1 É sin x É 1
• (cos x)2 + (sin x)2 ) = 1 pour tout réel x
• cos (x + 2kπ) = cos x et sin (x + 2kπ) = sin x pour tout x ∈ R et tout k ∈ Z
Quelques valeurs particulières :
x
0
cos x
1
sin x
0
π
6
p
3
2
1
2
π
4
p
2
2
p
2
2
π
3
1
2
p
3
2
π
2
0
1
On obtient les autres valeurs particulières du cercle grâce aux angles associés :
1
Propiétés des angles associés :
• cos (−x) = cos x
• sin (−x) = − sin x
• cos (π + x) = − cos x
• sin (π + x) = − sin x
• cos (π − x) = − cos x
• sin (π − x) = sin x
• cos
• cos
³π
2
³π
2
´
+ x = − sin x
• sin
´
− x = sin x
• sin
³π
2
³π
2
´
+ x = cos x
´
− x = cos x
Pour finir, les formules d’addition et de duplication nous permettent de trouver d’autres valeurs exactes :
Formules d’addition :
Quelques soient les réels a et b :
cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin (a − b) = sin a cos b − cos a sin b
Formules de duplication :
Quel que soit le réel a :
cos (2a) = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a
sin (2a) = 2 sin a cos a
II La fonction cosinus
1 Définition et propriétés
Définition 1 Tout nombre réel a un cosinus.
On appelle fonction cosinus la fonction définie sur R par : x 7→ cos x
Dérivabilité :
• La fonction cosinus est continue et dérivable sur R et :
Pour tout réel x, cos0 x = − sin x
• Soient a et b deux réels. La fonction f définie sur R par f (x) = cos (ax + b) est dérivable et :
Pour tout réel x, f 0 (x) = −a sin (ax + b)
2
Périodicité :
Puisque pour tout x, cos (x + 2π) = cos x, on n’étudiera la fonction que sur l’intervalle [−π; π]. On dit que
cette fonction est périodique de période 2π ou est 2π-périodique.
Parité :
Pour tout réel x, cos (−x) = cos x, donc la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées. On dit que la fonction cosinus est paire.
La parité et la périodicité nous permettront de réduire l’intervalle d’étude à [0; π].
2 Sens de variation et courbe représentative
Tableau de variation :
x
cos x
π
0
1
−1
Courbe représentative : Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses puis par périodicité, on obtient la
courbe suivante :
III La fonction sinus
1 Définition et propriété
Définition 2 Tout nombre réel a un sinus. On appelle fonction sinus la fonction définie sur R par : x 7→ sin x
Dérivabilité :
• La fonction sinus est continue et dérivable sur R et :
Pour tout réel x, sin0 x = cos x
• Soient a et b deux réels. La fonction f définie sur R par f (x) = sin (ax + b) est dérivable et :
Pour tout réel x, f 0 (x) = a cos (ax + b)
3
Périodicité :
Puisque pour tout x, sin (x + 2π) = sin x, on n’étudiera la fonction que sur l’intervalle [−π; π]. On dit que cette
fonction est périodique de période 2π ou est 2π-périodique.
Parité :
Pour tout réel x, sin (−x) = − sin x, donc la courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par
rapport à l’origine. On dit que la fonction sinus est impaire.
La parité et la périodicité nous permettront de réduire l’intervalle d’étude à [0; π].
2 Sens de variation et courbe représentative
Tableau de variation :
x
π
2
0
π
1
sin x
0
0
Courbe représentative : Par symétrie par rapport à l’origine puis par périodicité, on obtient la courbe suivante :
Remarque : Les représentations graphiques des fonctions cosinus et sinus s’appellent des sinusoïdes.
3 Limite particulière
Propriété :
sin x
=1
x→0 x
lim
Démonstration : Le nombre dérivé en 0 de la fonction sinus est égal à :
sin0 0 = cos 0 = 1
sin x − sin 0
sin x
et sin0 0 = lim
= lim
= 1.
x→0 x
x→0
x −0
CQFD
4
IV Lignes trigonométriques
1 Equations cos x = cos a et sin x = sin a
Propriété :
L’équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels : x = a +2kπ et x = −a +2k 0 π ; avec k ∈ Z et k 0 ∈ Z
Propriété :
L’équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels : x = a + 2kπ et x = π − a + 2k 0 π ; avec k ∈ Z et
k0 ∈ Z
2 Inéquations de la forme cos x É y et sin x É y (y ∈ R)
Point-méthode 29 : Résoudre une inéquation trigonométrique
Résoudre l’équation sin (2x) É −0, 5 dans R puis dans [0; 2π]. Solution :
1. On fait un changement de variable pour résoudre l’inéquation avec une variable simple : On pose
X = 2x
2. On résout sin X É −0, 5 : Sur le cercle trigonométrique, on
colorie les points associés à un réel dont le sinus est inférieur à
−0, 5, c’est-à-dire qui ont une ordonnée inférieure à −0, 5.
On repère les réels auxquels sont associés ces points.
Ainsi, on a :
π
+ 2kπ ; k ∈ Z On traduit les solutions du cercle en inéquation
6
π
É 2x É − + 2kπ ; k ∈ Z On repasse à la variable x
6
π
É x É − + kπ ; k ∈ Z On isole x (Attention de diviser aussi le 2k)
12
·
¸
5π
π
Ainsi dans R : S = −
+ 2kπ; − + 2kπ ; k ∈ Z
12
12
5π
+ 2kπ
6
5π
−
+ 2kπ
6
5π
−
+ kπ
12
−
ÉX É
−
5
Point-méthode 29 (suite)
3. Pour passer à un intervalle plus petit que R, on doit trouver les bonnes valeurs de k pour lesquelles
tout ou partie des intervalles formés sont dans l’ensemble considéré.
Si k = 0
Si k = 1
Si k = 2
Si k = 3
5π
12
7π
12
19π
12
31π
12
−
ÉxÉ
ÉxÉ
ÉxÉ
ÉxÉ
π
12
11π
12
23π
12
35π
12
−
∉ [0; 2π]
∈ [0; 2π]
·
¸ ·
¸
7π 11π
19π 23π
Ainsi, dans [0; 2π], on a S
;
∪
;
12 12
12 12
∈ [0; 2π]
∉ [0; 2π]
Point-méthode 30 : Etudier une fonction trigonométrique
f est la fonction définie sur R par : f (x) = cos (2x). f 0 est sa fonction dérivée et C sa courbe représentative
dans un repère orthogonal.
1. Exprimer f (x + π) et f (−x) en fonction de f (x). Qu’en déduit-on concernant C ?
h πi
2. (a) Déterminer l’expression de f 0 (x) et étudier son signe sur 0; .
2
·
¸
h πi
3π 3π
(b) Dresser le tableau de variation de f sur 0; , puis tracer C sur − ;
.
2
2 2
Solution :
1. On calcule f (x + π) et on utilise la périodicité de la fonction cosinus
f (x + π) = cos (2(x + π) = cos (2x + 2π) = cos 2x = f (x)
La fonction f est π-périodique donc il suffira de tracer C sur un intervalle d’amplitude π.
On calcule f (−x) en essayant de faire apparaître f (x)
f (−x) = cos (−2x) = cos 2x = f (x)
De plus, l’ensemble de définition est centré en 0 donc la fonction f est paire donc C est symétrique
h πi
par rapport à l’axe des ordonnées. Une étude sur 0;
suffit.
2
6
Point-méthode 30 (suite)
2.
(a) f (x) est du type cos (ax + b) donc sa dérivée est −a sin (ax + b). : f 0 (x) = −2 sin 2x
Pour étudier le signe de la dérivée, on peut procéder à un changement de variable ou bien
utiliser les formules de duplication :
• par duplication :
f 0 (x) =h−2 sin
2x = −2 × 2 cos x sin x = −4 cos x sin x h
πi
πi
Or sur 0; , cos x Ê 0 et sin x Ê 0 donc f 0 (x) É 0 sur 0; .
2
2
• par le changement de variable :
f 0 (x) = −2 sin 2x É 0
x
0
f 0 (x)
0
⇐⇒
−2 sin X
É
0
⇐⇒
sin X
Ê
0
⇐⇒
0 + 2kπ É X
É
π + 2kπ
⇐⇒
0 + 2kπ É 2x
É
π + 2kπ
⇐⇒
0 + kπ É x
É
⇐⇒
0Éx
É
π
+ kπ
2
π
2
avec X = 2x
k ∈Z
on prend k = 0
π
2
−
0
1
f
−1
On a donc :
h
πi
, puis on fait une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées puis
2
des traslations de vecteur π~
i et −π~
i.
(b) On trace la courbe sur 0;
7