Chapitre VI : Fonctions trigonométriques

Chapitre VI :
Fonctions trigonométriques
Extrait du programme :
I Rappels de premier
On munit le cercle trigonométrique d’un repère orthonormé (O;−→ OI ;−→ OJ).
Soit xla mesure en radian d’un angle, et M le point tel que l’angle orienté
(−→ OI ;−→ OJ)=x.
Alors le point M a pour coordonnées (cosx; sin x) dans le repère.
•−1Écos xÉ1 et −1Ésin xÉ1
• (cos x)2+(sin x)2)=1 pour tout réel x
• cos(x+2kπ)=cos xet sin(x+2kπ)=sin xpour tout x∈Ret tout k∈Z
Propriété :
Quelques valeurs particulières :
x0π
6
π
4
π
3
π
2
cos x1p3
2
p2
2
1
20
sin x01
2
p2
2
p3
21
On obtient les autres valeurs particulières du cercle grâce aux angles associés :
1

•cos(−x)=cos x•sin (−x)=−sin x
•cos(π+x)= −cos x•sin(π+x)= −sin x
•cos(π−x)= −cos x•sin(π−x)=sin x
•cos³π
2+x´=−sin x•sin³π 2+x´=cos x
•cos³π
2−x´=sin x•sin³π 2−x´=cos x
Propiétés des angles associés :
Pour finir, les formules d’addition et de duplication nous permettent de trouver d’autres valeurs exactes :
Quelques soient les réels aet b:
cos(a+b)=cos acosb−sin asinbsin (a+b)=sin acosb+cos asin b
cos(a−b)=cos acosb+sin asinbsin (a−b)=sin acosb−cos asin b
Formules d’addition :
Quel que soit le réel a:
cos(2a)=cos2a−sin2a=2 cos2a−1=1−2sin2asin (2a)=2 sin acos a
Formules de duplication :
II La fonction cosinus
1 Définition et propriétés
Définition 1 Tout nombre réel a un cosinus.
On appelle fonction cosinus la fonction définie sur Rpar : x 7→cos x
• La fonction cosinus est continue et dérivable sur Ret :
Pour tout réel x, cos0x=−sin x
• Soient aet bdeux réels. La fonction fdéfinie sur Rpar f(x)=cos(ax +b) est dérivable et :
Pour tout réel x,f0(x)=−asin (ax +b)
Dérivabilité :
2

Puisque pour tout x, cos(x+2π)=cos x, on n’étudiera la fonction que sur l’intervalle [−π;π]. On dit que
cette fonction est périodique de période 2πou est 2π-périodique.
Périodicité :
Pour tout réel x, cos(−x)=cos x, donc la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées. On dit que la fonction cosinus est paire.
La parité et la périodicité nous permettront de réduire l’intervalle d’étude à [0;π].
Parité :
2 Sens de variation et courbe représentative
Tableau de variation :
x
cos x
0π
11
−1−1
Courbe représentative : Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses puis par périodicité, on obtient la
courbe suivante :
III La fonction sinus
1 Définition et propriété
Définition 2 Tout nombre réel a un sinus. On appelle fonction sinus la fonction définie sur Rpar : x 7→ sin x
• La fonction sinus est continue et dérivable sur Ret :
Pour tout réel x, sin0x=cos x
• Soient aet bdeux réels. La fonction fdéfinie sur Rpar f(x)=sin(ax +b) est dérivable et :
Pour tout réel x,f0(x)=acos(ax +b)
Dérivabilité :
3

Puisque pour tout x, sin(x+2π)=sin x, on n’étudiera la fonction que sur l’intervalle [−π;π]. On dit que cette
fonction est périodique de période 2πou est 2π-périodique.
Périodicité :
Pour tout réel x, sin(−x)= −sin x, donc la courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par
rapport à l’origine. On dit que la fonction sinus est impaire.
La parité et la périodicité nous permettront de réduire l’intervalle d’étude à [0;π].
Parité :
2 Sens de variation et courbe représentative
Tableau de variation :
x
sin x
0
π
2π
00
11
00
Courbe représentative : Par symétrie par rapport à l’origine puis par périodicité, on obtient la courbe sui-
vante :
Remarque : Les représentations graphiques des fonctions cosinus et sinus s’appellent des sinusoïdes.
3 Limite particulière
lim
x→0
sin x
x=1
Propriété :
Démonstration : Le nombre dérivé en 0 de la fonction sinus est égal à :
sin00=cos0 =1
et sin00=lim
x→0
sin x−sin0
x−0=lim
x→0
sin x
x=1.
CQFD
4

IV Lignes trigonométriques
1 Equations cos x=cos aet sin x=sin a
L’équation cos x=cos aa pour solutions les nombres réels : x=a+2kπet x= −a+2k0π; avec k∈Zet k0∈Z
Propriété :
L’équation sin x=sin aa pour solutions les nombres réels : x=a+2kπet x=π−a+2k0π; avec k∈Zet
k0∈Z
Propriété :
2 Inéquations de la forme cos xÉyet sin xÉy(y∈R)
Résoudre l’équation sin(2x)É−0,5 dans Rpuis dans [0;2π]. Solution :
1. On fait un changement de variable pour résoudre l’inéquation avec une variable simple : On pose
X=2x
2. On résout sin XÉ −0,5 : Sur le cercle trigonométrique, on
colorie les points associés à un réel dont le sinus est inférieur à
−0,5, c’est-à-dire qui ont une ordonnée inférieure à −0,5.
On repère les réels auxquels sont associés ces points.
Ainsi, on a :
−5π
6+2kπÉXÉ −
π
6+2kπ;k∈ZOn traduit les solutions du cercle en inéquation
−5π
6+2kπÉ2xÉ −
π
6+2kπ;k∈ZOn repasse à la variable x
−5π
12 +kπÉxÉ −
π
12 +kπ;k∈ZOn isole x(Attention de diviser aussi le 2k)
Ainsi dans R:S=·−5π
12 +2kπ;−
π
12 +2kπ¸;k∈Z
Point-méthode 29 : Résoudre une inéquation trigonométrique
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