DM3 à rendre le 07/11/2011

TS1- TS2
Exercice 1 :
DEVOIR MAISON N°3
On considère la suite
un  n I; N
Pour lundi 7/11/11
définie par :
6
 2
u0 = 5 et, pour tout entier n  1, un  1  un 1  .
n
 n
1) (a)
Calculer
u1 .
(b) Les valeurs de
u2 , u3 , …, u11 sont notées dans le tableau suivant :
n=
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
un 
45
77
117
165
221
285
357
437
525
621
A partir de ces données, conjecturer la nature de la suite
2) On considère la suite arithmétique
vn  n  I; N
d n  n  I; N
définie par
de raison 8 et de premier terme
d n  un1  un .
v0 = 16.
Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4n  12n .
2
3) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un  4n  12n  5 .
2
4) Valider la conjecture émise à la question 1) (b).
Exercice 2 :
On considère la fonction f définie par : f(x) = Error! .
On nomme C sa courbe représentative dans le repère orthonormé (O; Error!; Error!).
1) Etudier la continuité de la fonction f.
2) Montrer que I( – 1 ; 0) est centre de symétrie de C.
3) Déterminer les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition.
4) Etablir le tableau de variations de la fonction f.
5) En déduire alors d’après le tableau précédent, suivant les valeurs du paramètre réel m,
le nombre et le signe des solutions de l’équation f(x) = m.
6) Retrouver ce résultat en résolvant par l’algèbre l’équation du second degré
mx2 + 2(m – 1)x – (3m + 2) = 0.
Exercice 3 : Facultatif
Le mathématicien Fibonacci, aussi appelé Léonard de Pise (XIII ième siècle), étudia le problème suivant sur la
reproduction des lapins : possédant au départ un couple de lapins, combien de couples de lapins obtient-on en n mois si chaque
couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du second mois de son existence ?
1)
2)
Montrer que le problème se ramène à étudier la suite définie par :
u0 = 1 et u1 = 1 et pour tout entier naturel n, la relation de récurrence
Calculer
un 2  un1  un (*)
u2 , u3 , u4 , u5 et u6 .
On cherche des suites simples qui seraient solutions du problème.
3)
Montrer qu’aucune suite arithmétique ne vérifie la relation de récurrence correspondant au problème.
4) (a) Trouver toutes les suites géométriques solutions de la relation de récurrence (*).
On notera q1 et q2 les raisons trouvées avec q1  q2 .
(b) Montrer que pour tous réels  et , la suite
un  définie par un  λq1n  μq2n
vérifie la relation (*).
On admet que toute solution de la relation de récurrence peut s’écrire sous cette forme !
(c) Déterminer  et  pour qu’une telle suite un  remplisse les conditions initiales.
5)
Si on possède un couple de lapins en janvier 2005, combien en possèdera-t-on fin 2006 ?