CORRECTION DM8 EXERCICE 1 : Etude d`une fonction

CORRECTION DM8
EXERCICE 1 : Etude d’une fonction trigonométrique
f est la fonction définie sur R par : f(x) = sin x (1 + cosx)
1) a) i) Pour tout x ∈ R, (x + 2π) ∈ R
ii) Pour tout x ∈ R, f(x + 2π) = sin(x + 2π)(1 +cos(x + 2π)
= sin x( 1 + cos x) car les fonctions sinus et cosinus sont 2π périodiques.
= f(x)
Donc f est périodique de période 2π
ππ
π.
b) i) Pour tout x ∈ R, (-x) ∈ R
ii) Pour tout x ∈ R, f(-x ) = sin(-x )(1 +cos(-x)
= - sin x( 1 + cos x) car la fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire.
= - f(x)
Donc f est impaire.
c) f est périodique de période 2π donc on peut restreindre son étude à un intervalle de longueur 2π comme
[0 ; 2 π] ou [- π ; π ] de plus f est une fonction impaire donc on peut l’étudier sur [0 ; + [. Sa courbe admet
pour centre de symétrie, l’origine O du repère.
Finalement on peut étudier f sur I = [0 ; π].
2) a) f est dérivable R comme produit de fonctions dérivables sur R .
Ainsi f est dérivable sur I = [0 ; π]
Pour tout x de I, f ’(x) = cosx(1 + cosx) + sinx(- sinx) = cosx + cos²x – sin²x
= cosx + cos² x – (1 – cos²x) = 2cos²x + cosx - 1
D’autre part, 2( cosx – 1
2 )(cosx + 1) = (2 cosx – 1)(cos x + 1) = 2cos²x + 2cosx – cos x – 1= 2cos²x + cos x – 1
Ainsi pour tout x de I, f ’(x) = 2( cosx – 1
2 )(cosx + 1)
b) A l’aide du cercle trigonométrique ,
Sur I, signe de cos x – 1
2 : cos x – 1 2 = 0 ⇔ cos x = 1 2 donc pour x = π 3
cos x – 1
2 > 0 pour x ∈ [0 ; π 3 [ et cos x – 1 2 < 0 pour x ∈ ]π 3 ; π]
signe de cos x + 1 : cos x + 1 = 0 lorsque cos x = - 1 donc pour x = π
cos x + 1 > 0 quand cos x > -1 donc pour x ∈ [0 ; π [ et cos x + 1 < 0 n’a pas de solution sur I
D’où le tableau de signe de f ’(x) :
On a donc sur I,
f ’(x) = 0 ⇔ x = π
3 ou x = π
f ’(x) > 0 ⇔ x ∈ [0 ; π
3 [ donc f est strictement croissante sur [0 ; π 3 ]
f ’(x) < 0 ⇔ x ∈] π
3 ; π [ donc f est strictement décroissante sur [ π 3 ; π ]
x 0 π
3 π
cos x – 1
2
+ 0 -
cos x + 1 + + 0
f ’(x) + 0 - 0

D'où le tableau de variations de f sur I :
f(0) = sin(0)(1 + cos (0)) = 0
f( π
3 ) = sin ( π 3 )(1 + cos π 3 ) = 3 2 ( 1 + 1 2 ) = 3 3 4
f( π) = sin ( π) ( 1 + cos (π))= 0
3) Tableau de valeurs :
Représentation graphique de f sur [-2 π ; 2 π]
C
f
−2π −π
π
π/3 2π
−π/3 10π/3
−10π/3
0π/6
1
x
y
x 0 π/3 π
f 3 3
4
0 0
x 0
π
6 π 4 π 3 π 2
2
π
3 3
π
4 5
π
6 π
f(x) 0 0,93 1,21 1,3 1 0,43 0,21 0,07 0

EXERCICE 2: Coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes
1) Comme OABC est un carré direct,
OC = OA et (
→
OA ,
→
OC ) = π
2 [ 2 π]
Or, A a pour coordonnées polaires
2;
3
π
donc,
OC = 2 et
(
→
i ,
→
OC ) = (
→
i ,
→
OA) + (
→
OA,
→
OC) [2 π ]
=
π
3 +
π
2 [2
π ] = 5
π
6 [ 2
π ] d’où,
C a pour coordonnées polaires C( 2 , 5 π
ππ
π
6).
A partir des coordonnées polaires de C on a ses coordonnées cartésiennes :
x
C
= 2 cos(5
π
6) = 2 (- 3 2 )= - 3 et y
C
= 2 sin (5
π
6) = 2× 1 2 = 1 ,
Les coordonnées cartésiennes de C sont : C( - 3 ; 1)
2) De même à partir des coordonnées polaires de A, on obtient ses coordonnées cartésiennes :
x
A
= 2 cos(
π
3) = 2×1 2 = 1 et y
A
= 2 sin (
π
3) = 2×( 3 2 ) = 3 , soit
A( 1 ; 3).
Comme le quadrilatère OABC est un carré, on a l’égalité vectorielle
→
OA =
→
CB.
On en déduit que x
B
+ 3 = 1 et y
B
- 1 = 3 d’où x
B
= 1 - 3 et y
B
= 3 + 1
Les coordonnées cartésiennes du point B sont : B(1 - 3, 3 + 1).
3) OB = (1 - 3)² + ( 3 + 1)²= 8 = 2 2
Comme, OABC est un carré de sens direct (
→
OB,
→
OA) = -
π
4 [2
π ]
Ainsi, (
→
i ,
→
OB) = (
→
i ,
→
OA) + (
→
OA ,
→
OB) [ 2 π ] =
π
3 +
π
4[2
π ] = 7
π
12 [2
π ]
Les coordonnées polaires de B sont ( 2 2, 7 π
ππ
π
12 )
On utilise la relation qui existe entre les coordonnées polaires et les coordonnées cartésiennes du point B pour
déterminer cos 7
π
12 et sin7
π
12.
On a 1 - 3 = 2 2cos 7
π
12 et 3 + 1 = 2 2 sin 7
π
12
D’où, cos 7
π
12 = 1- 3
2 2 et sin 7
π
12 = 3 + 1
2 2 soit ,
cos 7
π
12 = ( 1 – 3) 2
2 2 2 = 2 - 6
4 et sin 7
π
12 = ( 3 + 1) 2
2 2 2 = 6 + 2
4 .
Comme 7
π
12 =
π
2 +
π
12 , cos
π
12 = sin 7
π
12 et sin
π
12 = - cos 7
π
12 d’ où :
cos π
12
= 6 + 2
4
et sin
12
π
= 6 - 2
4
A
C
B
2 3-1-2
2
-1
0 1
1
x
y
A
C
B

EXERCICE 3 : Coordonnées polaires et construction de points
1) A ( 3 – 1
2 ; - 3 – 1 2) donc r
A
= OA= ( 3 – 1
2)² +(- 3 – 1 2)² = 3 – 2 3 + 1 4 + 3 - 2 3 +1 4 =
8 – 4 3
4 = 4(2 - 3) 4 =
2 - 3.
Les deux nombres 2 - 3 et 6 - 2
2
sont positifs , comparons leur carré.
( 2 - 3 )² = 2 - 3 et ( 6 - 2
2) ² = 6 – 2 12 + 2 4 = 8 – 4 3 4 = 2 - 3
Les deux nombres positifs ont même carré, ils sont donc égaux. D’où, r
A
= 6 - 2
2.
cos (
θ
A
) =
3 – 1
2
6 - 2
2
= 3 – 1
6 - 2 = ( 3 -1)( 6 + 2) ( 6 - 2)( 6 + 2) = 18 + 6 - 6 - 2
6 - 2 = 3 2 - 2 4 =
2
2
.
sin (
θ
A
) = - 3 – 1
2
6 - 2
2
= - 2
2
d’après les calculs précédents. Ainsi,
θ
A
= -
π
4 [2
π ]
Les coordonnées polaires de A sont bien ( 6 - 2
2 ; - π
ππ
π
4 ).
Si OAB est un triangle direct, isocèle et rectangle en O, alors B est l’image de A par la rotation de centre O et
d’angle
π
2.
Ainsi puisque A a pour coordonnées polaires ( 6 - 2
2 ; -
π
4 ) , B a pour coordonnées polaires
( 6 - 2
2 ; -
π
4 +
π
2 ) soit
B( 6 - 2
2 ; π
ππ
π
4 )
2)
DA = (x
A
– x
D
)² + ( y
A
- y
D
)² = ( 3 – 1
2 )² + (- 3 – 1 2 -1)² = 3 – 2 3 + 1 4 + (- 3 +1 – 2 2)²
= 4 – 2 3
4 + 3 + 2 3 +1 4 = 2.
Les coordonnées cartésiennes de C sont x
C
= 6 + 2
2 cos
π
4 = 6 + 2 2×2 2 = 12 + 2 4 = 2 3 + 2 4 = 3 + 1 2
et y
C =
6 + 2
2 sin
π
4 = 6 + 2 2 × 2 2 = 3 + 1 2 d’après ce qui précède
Les coordonnées cartésiennes de C sont ( 3 + 1
2 , 3 + 1 2) .
DC = ( 3 + 1
2 )² + ( 3 + 1 2 - 1)² = 3 + 2 3 + 1 4 + ( 3 + 1 – 2 2 )² = 4 + 2 3 4 + 3 – 2 3 + 1 4
= 8
4 = 2
On a DA = DC = 2, les points A et C sont situés sur le cercle de centre D et de rayon
2
.

3)
D
I
A
C
B
C
2 3 4-1-2-3
2
3
-1
-2
-3
-4
0 1
1
x
y
D
I
A
C
B
Dans le repère orthonormal direct (O,
→
i ,
→
j ), placer D(0 ; 1) puis construire le cercle C de centre D passant par
I (1 ; 0). Ce cercle a pour rayon DI = 2 .
On construit ensuite la demi droite [OE) avec E(1 ; 0) , c’est la première bissectrice et (
→
i ,
→
OE) =
π
4 [2
π ]
Le point C est le point d’intersection de cette demi droite et du cercle C.
Construire la demi droite [OF) avec F(1 ; -1), on a alors (
→
i ,
→
OF ) = -
π
4 [2
π ]
Le point A est le point d’intersection de cette demi droite et du cercle C.
B se trouve sur la demi droite [OC) et vérifie OB = OA, pour le placer il faut construire le cercle de centre O
passant par A. B est alors le point d’intersection de ce cercle et de [OC).