CORRECTION DM8 EXERCICE 1 : Etude d`une fonction

CORRECTION DM8
EXERCICE 1 : Etude d’une fonction trigonométrique
f est la fonction définie sur R par : f(x) = sin x (1 + cosx)
1) a) i) Pour tout x ∈ R, (x + 2π) ∈ R
ii) Pour tout x ∈ R, f(x + 2π) = sin(x + 2π)(1 +cos(x + 2π)
= sin x( 1 + cos x) car les fonctions sinus et cosinus sont 2π périodiques.
= f(x)
Donc f est périodique de période 2π
π.
b) i) Pour tout x ∈ R, (-x) ∈ R
ii) Pour tout x ∈ R, f(-x ) = sin(-x )(1 +cos(-x)
= - sin x( 1 + cos x) car la fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire.
= - f(x)
Donc f est impaire.
c) f est périodique de période 2π donc on peut restreindre son étude à un intervalle de longueur 2π comme
[0 ; 2 π] ou [- π ; π ] de plus f est une fonction impaire donc on peut l’étudier sur [0 ; + [. Sa courbe admet
pour centre de symétrie, l’origine O du repère.
Finalement on peut étudier f sur I = [0 ; π].
2) a) f est dérivable R comme produit de fonctions dérivables sur R .
Ainsi f est dérivable sur I = [0 ; π]
Pour tout x de I, f ’(x) = cosx(1 + cosx) + sinx(- sinx) = cosx + cos²x – sin²x
= cosx + cos² x – (1 – cos²x) = 2cos²x + cosx - 1
1
D’autre part, 2( cosx – )(cosx + 1) = (2 cosx – 1)(cos x + 1) = 2cos²x + 2cosx – cos x – 1= 2cos²x + cos x – 1
2
1
Ainsi pour tout x de I, f ’(x) = 2( cosx – )(cosx + 1)
2
b) A l’aide du cercle trigonométrique ,
1
1
1
π
Sur I, signe de cos x – : cos x – = 0 ⇔ cos x = donc pour x =
2
2
2
3
1
1
π
π
cos x – > 0 pour x ∈ [0 ; [ et cos x – < 0 pour x ∈ ] ; π]
2
3
2
3
signe de cos x + 1 : cos x + 1 = 0 lorsque cos x = - 1 donc pour x = π
cos x + 1 > 0 quand cos x > -1 donc pour x ∈ [0 ; π [ et cos x + 1 < 0 n’a pas de solution sur I
D’où le tableau de signe de f ’(x) :
x
1
2
cos x + 1
f ’(x)
cos x –
On a donc sur I,
π
3
0
+
+
+
π
0
-
0
+
-
π
ou x = π
3
π
π
f ’(x) > 0 ⇔ x ∈ [0 ; [ donc f est strictement croissante sur [0 ; ]
3
3
π
π
f ’(x) < 0 ⇔ x ∈] ; π [ donc f est strictement décroissante sur [ ; π ]
3
3
f ’(x) = 0 ⇔ x =
0
0
D'où le tableau de variations de f sur I :
x
π/3
3 3
4
0
f
π
0
0
f(0) = sin(0)(1 + cos (0)) = 0
3
1
3 3
π
π
π
f( ) = sin ( )(1 + cos ) =
(1+ )=
3
2
4
3
3
2
f( π) = sin ( π) ( 1 + cos (π))= 0
3) Tableau de valeurs :
3π
5π
π
π
π 2π
π
π
4
3
2 3
6
4
6
f(x) 0 0,93 1,21 1,3 1 0,43 0,21 0,07 0
x
0
Représentation graphique de f sur [-2 π ; 2 π]
y
1
Cf
−2π
−10π/3
−π
−π/3
0
π/6
π/3
π
10π/3
2π
x
EXERCICE 2: Coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes
1)
Comme OABC est un carré direct,
→ →
π
OC = OA et ( OA , OC ) = [ 2 π]
2
 π
Or, A a pour coordonnées polaires  2;  donc,
 3
OC = 2 et
→ →
→ →
y
B
2
A
1
C
→ →
( i , OC ) = ( i , OA ) + ( OA , OC ) [2 π ]
5π
π π
= + [2 π] =
[ 2 π] d’où,
3 2
6
5π
C a pour coordonnées polaires C( 2 ,
).
6
-2
-1
0
1
2
3x
-1
A partir des coordonnées polaires de C on a ses coordonnées cartésiennes :
5π
5π
1
3
xC = 2 cos( ) = 2 (- )= - 3 et yC = 2 sin ( ) = 2× = 1 ,
6
2
6
2
Les coordonnées cartésiennes de C sont : C( - 3 ; 1)
2) De même à partir des coordonnées polaires de A, on obtient ses coordonnées cartésiennes :
1
3
π
π
xA = 2 cos( ) = 2× = 1 et yA = 2 sin ( ) = 2×(
) = 3 , soit A( 1 ; 3).
2
2
3
3
→
→
Comme le quadrilatère OABC est un carré, on a l’égalité vectorielle OA = CB .
On en déduit que xB + 3 = 1 et yB - 1 = 3 d’où xB = 1 - 3 et yB = 3 + 1
Les coordonnées cartésiennes du point B sont : B(1 - 3, 3 + 1).
3) OB = (1 - 3)² + ( 3 + 1)²= 8 = 2 2
→ →
Comme, OABC est un carré de sens direct ( OB , OA ) = → →
→ →
→ →
Ainsi, ( i , OB ) = ( i , OA ) + ( OA , OB ) [ 2 π] =
π
[2 π]
4
7π
π
π
+ [2 π] =
[2 π]
3
4
12
7π
)
12
On utilise la relation qui existe entre les coordonnées polaires et les coordonnées cartésiennes du point B pour
7π
7π
déterminer cos
et sin .
12
12
7π
7π
On a 1 - 3 = 2 2cos
et
3 + 1 = 2 2 sin
12
12
7 π 1- 3
7π
3+1
D’où, cos
=
et sin
=
soit ,
12 2 2
12
2 2
2- 6
6+ 2
7π
( 1 – 3) 2
7 π ( 3 + 1) 2
cos
=
=
et sin
=
=
.
12
4
12
4
2 2 2
2 2 2
7π π
7π
7π
π
π
π
Comme
= +
, cos
= sin
et sin
= - cos
d’ où :
12 2 12
12
12
12
12
Les coordonnées polaires de B sont ( 2 2,
cos
π
=
12
6+
4
2
et
sin
π
12
=
6- 2
4
EXERCICE 3 : Coordonnées polaires et construction de points
1) A (
3–1
3–1
;) donc rA = OA=
2
2
8–4 3
=
4
4(2 - 3)
=
4
(
3 – 2 3 + 1 3 - 2 3 +1
+
=
4
4
3–1
3–1
)² +()² =
2
2
2 - 3.
6- 2
sont positifs, comparons leur carré.
2
6 – 2 12 + 2 8 – 4 3
6- 2
et
(
)²=
=
=2- 3
( 2 - 3 )² = 2 - 3
2
4
4
6- 2
.
Les deux nombres positifs ont même carré, ils sont donc égaux. D’où, rA =
2
Les deux nombres
2 - 3 et
3–1
2
( 3 -1)( 6 + 2)
3–1
18 + 6 - 6 - 2 3 2 - 2
2
cos ( θ A) =
=
=
=
=
= .
6
2
4
2
6- 2
6 - 2 ( 6 - 2)( 6 + 2)
2
3–1
2
2
π
sin ( θ A) =
=d’après les calculs précédents. Ainsi, θ A = - [2 π]
4
2
6- 2
2
6- 2 π
Les coordonnées polaires de A sont bien (
; - ).
2
4
Si OAB est un triangle direct, isocèle et rectangle en O, alors B est l’image de A par la rotation de centre O et
π
d’angle .
2
6- 2 π
Ainsi puisque A a pour coordonnées polaires (
; - ) , B a pour coordonnées polaires
2
4
6- 2 π π
6- 2 π
(
; - + ) soit B(
; )
2
4 2
2
4
2)
DA = (xA – xD)² + ( yA- yD)² =
=
(
3–1
3–1
)² + (-1)² =
2
2
3–2 3+1
- 3 +1 – 2
+(
)²
4
2
4 – 2 3 3 + 2 3 +1
+
= 2.
4
4
Les coordonnées cartésiennes de C sont xC =
6+ 2
π
cos =
2
4
6+ 2 2
12 + 2 2 3 + 2
3+1
× =
=
=
2
2
4
4
2
6+ 2
6+ 2
2
3+1
π
sin =
× =
d’après ce qui précède
2
4
2
2
2
3+1 3+1
Les coordonnées cartésiennes de C sont (
,
).
2
2
et yC =
DC =
(
3+1
3+1
)² + (
- 1)² =
2
2
3+2 3+1
3+1–2
+(
)² =
4
2
4+2 3 3–2 3+1
+
4
4
8
= 2
4
On a DA = DC = 2, les points A et C sont situés sur le cercle de centre D et de rayon
=
2.
3)
y
3
2
C
C
1 D
B
-3
-2
-1
1I
0
2
3
4
x
A
-1
-2
-3
-4
→ →
Dans le repère orthonormal direct (O, i , j ), placer D(0 ; 1) puis construire le cercle C de centre D passant par
I (1 ; 0). Ce cercle a pour rayon DI = 2 .
→ →
On construit ensuite la demi droite [OE) avec E(1 ; 0) , c’est la première bissectrice et ( i , OE ) =
π
[2 π]
4
Le point C est le point d’intersection de cette demi droite et du cercle C.
→ →
π
Construire la demi droite [OF) avec F(1 ; -1), on a alors ( i , OF ) = - [2 π]
4
Le point A est le point d’intersection de cette demi droite et du cercle C.
B se trouve sur la demi droite [OC) et vérifie OB = OA, pour le placer il faut construire le cercle de centre O
passant par A. B est alors le point d’intersection de ce cercle et de [OC).