Nombres complexes I Rappels de trigonométrie

Nombres complexes
I Rappels de trigonométrie 1
II Définitions algébrique et géométrique de C2
II.A Construction de C.......................... 2
II.BLeplancomplexe........................... 3
II.C Conjugué et module d’un nombre complexe. Propriétés dans C. . 4
II.C.1 Conjugué ........................... 4
II.C.2 Module ............................ 4
III Forme trigonométrique d’un nombre complexe 6
III.A Argument d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . 6
III.B L’ensemble (U,×)des nombres complexes de module 1. ..... 6
III.CRelationsutiles............................ 7
III.D Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . 8
III.E Application exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
IV Applications des nombres complexes à la trigonométrie 9
IV.ALinéarisation ............................. 9
IV.BFactorisation ............................. 9
V Résolution des équations du second degré à coefficients com-
plexes 10
V.A Racine d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
V.B Application à la résolution de l’équation du second degré . . . . . 10
VI Racines ni`emes d’un nombre complexe non nul 11
VI.A Racines ni`emes de l’unité (a= 1) .................. 11
VI.B Résolution de l’équation zn=a................... 12
VIIGéométrie des nombres complexes 13
VII.AProblèmes de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
VII.BAngles et nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
VII.CBarycentres.............................. 15
I Rappels de trigonométrie
(Cf feuille annexe.)
Exercice 1. A partir des formules de cos(a+b)et sin(a+b), redémontrer toutes
les autres formules.
1

II Définitions algébrique et géométrique de C
II.A Construction de C
Définition 1. On considère l’ensemble R2des couples (x, y)de nombres réels,
muni des deux lois de composition suivantes :
1) L’addition, définie par : (x, y)+(x0, y0)=(x+x0, y +y0)
2) La multiplication, définie par : (x, y)×(x0, y0)=(xx0−yy0, xy0+yx0)
Cet ensemble est noté C, et ses éléments sont appelés nombres complexes.
Remarque 1. Soit z= (x, y)∈C. On a :
(x, y) = (x, 0) + (0, y)=(x, 0) + (y, 0) ×(0,1)
Si on pose i= (0,1) et qu’on note kle couple (k, 0), on peut alors écrire
z=x+iy. Avec cette notation, on vérifie que :
1) R⊂C, avec la relation particulière i2=−1.
2) ×est distributive par rapport à +, et :
(x+iy)×(x0+iy0) = xx0+i(xy0+yx0) + i2yy0
= (xx0−yy0) + i(xy0+yx0)
Définition 2. Un nombre complexe s’écrit de manière unique sous la forme
z=x+iy, avec x, y ∈R. Cette écriture est appelée écriture algébrique.
xs’appelle partie réelle de znotée <e(z);ys’appelle partie imaginaire de z
notée =m(z). On écrit donc également :
z=<e(z) + i.=m(z)
Conséquences : On déduit de l’unicité de cette écriture que ∀x, x0, y, y0∈R:
(x+iy =x0+iy0⇔x=x0et y=y0) et (x+iy = 0 ⇔x=y= 0).
Attention : La partie imaginaire =m(z)est un nombre réel.
Proposition 1. Soit z, z0∈Cet λ∈R, alors :
1. <e(λz) = λ<e(z)et <e(z+z0) = <e(z) + <e(z0).
2. Im(λz) = λIm(z)et Im(z+z0) = Im(z) + Im(z0).
2

II.B Le plan complexe
Définition 3. Dans le plan euclidien (O,~ i,~ j), le nombre complexe zest re-
présenté par le point M=M(z)(ou par le vecteur −−−−→ OM(z)) de coordonnées
(<e(z),=m(z)).
On dit que M(z)est l’image du nombre z.
Inversement, z=zMest l’affixe du point M.
On dit que −−−−→ OM(z)est le vecteur image du
nombre z. Inversement, z=z−−→
OM est l’affixe
du vecteur −−→ OM.O
=m(z)
<e(z)
~
i
~
j
M(z)
Cette double représentation des nombres complexes (soit par un point, soit par
un vecteur) est appelée plan complexe.
Remarque 2. On peut alors interpréter géométriquement certaines opérations
sur les nombres complexes.
Par exemple, on suppose que
z=x+iy et z0=x0+iy0ont pour
images respectives les deux points du
plan M(x, y)et M0(x0, y0).
z+z0a pour image le point
P(x+x0, y +y0)défini par :
−−→
OP =−−→ OM +−−−→ OM0Oxx0
y
y0
P(z+z0)
M0(z0)
M(z)
x+x0
y+y0
Règle du parallélogramme
De même, on peut interpréter d’autres opérations (cette liste n’est pas ex-
haustive et sera enrichie par la suite) :
Point de vue numérique (affixe) Point de vue géométrique (image)
z=x+iy M(x, y)ou −−→ OM
z0−z= (x0−x) + i(y0−y)−−−→ MM0(x0−x, y0−y)
z0+z
2=x0+x 2+iy0+y 2I(x0+x 2,y0+y 2)milieu de [MM 0]
3

Exercice 2. Soient ABCD un quadrilatère quelconque et zA, zB, zC, zDles
affixes respectives des sommets. On note I, J, K, L les milieux respectifs des
côtés [AB],[BC],[CD]et [DA].
Calculer les affixes des vecteurs −→ IJ et −−→ LK, et en déduire la nature du quadrilatère
IJKL.
II.C Conjugué et module d’un nombre complexe. Proprié-
tés dans C.
II.C.1 Conjugué
Définition 4. On appelle conjugué de z=x+iy (avec x, y ∈R) le nombre
¯z=x−iy =<e(z)−i.=m(z)
Interprétation géométrique de la transformation z→¯zSi on note M
l’image de zet M0l’image de ¯z, la transformation M→M0est la symétrie
d’axe (O,~ i).
O
M(z)
M0(¯z)
x
y
−y
Propriétés 1. ∀z∈C, on a :
(i) z+ ¯z= 2<e(z)(ii) z−¯z= 2i=m(z)(iii) ¯ ¯z=z
(iv) z∈R⇔z= ¯z(v) z∈iR(imaginaire pur )⇔z=−¯z
Propriétés 2. ∀z, z0∈C, on a :
1) z+z0= ¯z+¯ z02) z−z0= ¯z−¯ z03) zz0= ¯z¯ z0
4) 1
z=1 ¯z5) z z0=¯z
¯
z06) zn= ¯zn∀n∈Z
II.C.2 Module
Définition 5. Soit z=x+iy ∈C(x, y ∈R). On a z¯z=x2+y2. Le module
de zest la valeur :
|z|=√z¯z=px2+y2
4

Interprétation géométrique Si Mest l’image de zet M0l’image de z0,
alors |z|est la longueur OM et |z0−z|est la longueur MM 0.
O
x
y
px2+y2
~
i
~
j
M(x, y)
Propriétés 3. ∀z, z0∈C, on a :
1) |z|2=z¯z2) |zz0|=|z|.|z0|3) |z
z0|=|z| |z0|
4) |zn|=|z|n∀n∈Z5) |z|=|¯z|
Démonstration. 2) |zz0|2=zz0zz0=zz0¯z¯ z0=z¯zz0¯ z0=|z|2.|z0|2.
Remarque 3. On peut écrire sous forme algébrique le nombre complexe 1
zavec
z6= 0 en utilisant le conjugué de z:
1
z=¯z z¯z=¯z |z|2=¯z x2+y2
De la même manière, on peut mettre un quotient sous forme algébrique :
z
z0=z¯z0 z0¯z0=z¯z0 |z0|2=z¯z0 x2+y2
Exercice 3. Donner l’écriture algébrique des inverses de 1+iet 4−6i. Vérifiez.
Exercice 4. Écrire sous la forme algébrique les nombres complexes 2+i√3
√3−2iet
(3+i)(2−i)
2+i.
Exercice 5. Déterminer l’ensemble des nombres complexes z=x+iy tels que
Z=2z−4
z−isoit un nombre réel.
Proposition 2 (inégalité triangulaire).∀z, z0∈C, on a :
|z+z0|6|z|+|z0|
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