Nombres complexes I Rappels de trigonométrie 1 II Définitions algébrique et géométrique de C II.A Construction de C . . . . . . . . . . . . . . II.B Le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . II.C Conjugué et module d’un nombre complexe. II.C.1 Conjugué . . . . . . . . . . . . . . . II.C.2 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 4 4 4 . . . . . 6 6 6 7 8 9 IV Applications des nombres complexes à la trigonométrie IV.A Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.B Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 . . . . . . . . . . . . Propriétés . . . . . . . . . . . . III Forme trigonométrique d’un nombre complexe III.A Argument d’un nombre complexe non nul . . . . . . III.B L’ensemble (U, ×) des nombres complexes de module III.C Relations utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.D Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . III.E Application exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . dans . . . . . . . . 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C. . . . . . . . . . . . . . . V Résolution des équations du second degré à coefficients complexes 10 V.A Racine d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 V.B Application à la résolution de l’équation du second degré . . . . . 10 VI Racines nièmes d’un nombre complexe non nul 11 VI.A Racines nièmes de l’unité (a = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 VI.B Résolution de l’équation z n = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 VIIGéométrie des nombres complexes 13 VII.AProblèmes de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 VII.BAngles et nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 VII.CBarycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 I Rappels de trigonométrie (Cf feuille annexe.) Exercice 1. A partir des formules de cos(a+b) et sin(a+b), redémontrer toutes les autres formules. 1 II Définitions algébrique et géométrique de C II.A Construction de C Définition 1. On considère l’ensemble R2 des couples (x, y) de nombres réels, muni des deux lois de composition suivantes : 1) L’addition, définie par : (x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ) 2) La multiplication, définie par : (x, y) × (x0 , y 0 ) = (xx0 − yy 0 , xy 0 + yx0 ) Cet ensemble est noté C, et ses éléments sont appelés nombres complexes. Remarque 1. Soit z = (x, y) ∈ C. On a : (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0) × (0, 1) Si on pose i = (0, 1) et qu’on note k le couple (k, 0), on peut alors écrire z = x + iy. Avec cette notation, on vérifie que : 1) R ⊂ C, avec la relation particulière i2 = −1. 2) × est distributive par rapport à +, et : (x + iy) × (x0 + iy 0 ) = xx0 + i(xy 0 + yx0 ) + i2 yy 0 = (xx0 − yy 0 ) + i(xy 0 + yx0 ) Définition 2. Un nombre complexe s’écrit de manière unique sous la forme z = x + iy, avec x, y ∈ R. Cette écriture est appelée écriture algébrique. x s’appelle partie réelle de z notée <e(z) ; y s’appelle partie imaginaire de z notée =m(z). On écrit donc également : z = <e(z) + i.=m(z) Conséquences : On déduit de l’unicité de cette écriture que ∀x, x0 , y, y 0 ∈ R : (x + iy = x0 + iy 0 ⇔ x = x0 et y = y 0 ) et (x + iy = 0 ⇔ x = y = 0). Attention : La partie imaginaire =m(z) est un nombre réel. Proposition 1. Soit z, z 0 ∈ C et λ ∈ R, alors : 1. <e(λz) = λ<e(z) et <e(z + z 0 ) = <e(z) + <e(z 0 ). 2. Im(λz) = λ Im(z) et Im(z + z 0 ) = Im(z) + Im(z 0 ). 2 II.B Le plan complexe Définition 3. Dans le plan euclidien (O,~i, ~j), le nombre complexe z est re−−−−→ présenté par le point M = M (z) (ou par le vecteur OM (z)) de coordonnées (<e(z), =m(z)). On dit que M (z) est l’image du nombre z. Inversement, z = zM est l’affixe du point M . M (z) =m(z) −−−−→ On dit que OM (z) est le vecteur image du −→ est l’affixe nombre z. Inversement, z = z− OM −−→ du vecteur OM . ~j O ~i <e(z) Cette double représentation des nombres complexes (soit par un point, soit par un vecteur) est appelée plan complexe. Remarque 2. On peut alors interpréter géométriquement certaines opérations sur les nombres complexes. P (z + z 0 ) y + y0 M (z) Par exemple, on suppose que z = x + iy et z 0 = x0 + iy 0 ont pour images respectives les deux points du plan M (x, y) et M 0 (x0 , y 0 ). y z + z 0 a pour image le point P (x + x0 , y + y 0 ) défini par : M 0 (z 0 ) y0 −−→ −−→ −−−→0 OP = OM + OM O x x0 x + x0 Règle du parallélogramme De même, on peut interpréter d’autres opérations (cette liste n’est pas exhaustive et sera enrichie par la suite) : Point de vue numérique (affixe) z = x + iy 0 z − z = (x0 − x) + i(y 0 − y) 0 0 z 0 +z = x 2+x + i y 2+y 2 Point de vue géométrique (image) −−→ M (x, y) ou OM −−−→0 0 M M (x − x, y 0 − y) 0 0 x +x y +y I( 2 , 2 ) milieu de [M M 0 ] 3 Exercice 2. Soient ABCD un quadrilatère quelconque et zA , zB , zC , zD les affixes respectives des sommets. On note I, J, K, L les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]. − → −−→ Calculer les affixes des vecteurs IJ et LK, et en déduire la nature du quadrilatère IJKL. II.C II.C.1 Conjugué et module d’un nombre complexe. Propriétés dans C. Conjugué Définition 4. On appelle conjugué de z = x + iy (avec x, y ∈ R) le nombre z̄ = x − iy = <e(z) − i.=m(z) Interprétation géométrique de la transformation z → z̄ Si on note M l’image de z et M 0 l’image de z̄, la transformation M → M 0 est la symétrie d’axe (O,~i). y M (z) O x M 0 (z̄) −y Propriétés 1. ∀z ∈ C, on a : (i) z + z̄ = 2<e(z) (ii) z − z̄ = 2i=m(z) (iii) z̄¯ = z (iv) z ∈ R ⇔ z = z̄ (v) z ∈ iR (imaginaire pur ) ⇔ z = −z̄ Propriétés 2. ∀z, z 0 ∈ C, on a : 1) z + z 0 = z̄ + z¯0 4) II.C.2 1 z = 1 z̄ 2) z − z 0 = z̄ − z¯0 5) z z0 = z̄ z¯0 3) zz 0 = z̄ z¯0 6) z n = z̄ n ∀n ∈ Z Module Définition 5. Soit z = x + iy ∈ C (x, y ∈ R). On a z z̄ = x2 + y 2 . Le module de z est la valeur : p √ |z| = z z̄ = x2 + y 2 4 Interprétation géométrique Si M est l’image de z et M 0 l’image de z 0 , alors |z| est la longueur OM et |z 0 − z| est la longueur M M 0 . M (x, y) x p ~j O x2 + y 2 y ~i Propriétés 3. ∀z, z 0 ∈ C, on a : 1) |z|2 = z z̄ 2) |zz 0 | = |z|.|z 0 | 3) | zz0 | = |z| |z 0 | 4) |z n | = |z|n ∀n ∈ Z 5) |z| = |z̄| Démonstration. 2) |zz 0 |2 = zz 0 zz 0 = zz 0 z̄ z¯0 = z z̄z 0 z¯0 = |z|2 .|z 0 |2 . Remarque 3. On peut écrire sous forme algébrique le nombre complexe z 6= 0 en utilisant le conjugué de z : 1 z avec 1 z̄ z̄ z̄ = = 2 = 2 z z z̄ |z| x + y2 De la même manière, on peut mettre un quotient sous forme algébrique : z z̄ 0 z z̄ 0 z z̄ 0 z = 0 0 = 02 = 2 0 z z z̄ |z | x + y2 Exercice 3. Donner l’écriture algébrique des inverses de 1+i et 4−6i. Vérifiez. Exercice 4. Écrire sous la forme algébrique les nombres complexes √ 2+i 3 √ 3−2i et (3+i)(2−i) . 2+i Exercice 5. Déterminer l’ensemble des nombres complexes z = x + iy tels que Z = 2z−4 z−i soit un nombre réel. Proposition 2 (inégalité triangulaire). ∀z, z 0 ∈ C, on a : |z + z 0 | 6 |z| + |z 0 | 5 Interprétation géométrique de l’inégalité triangulaire Si M est l’image de z, M 0 l’image de z 0 , et P l’image de z + z 0 , alors OP 6 OM + OM 0 . Exercice 6. Montrer que : 1) ∀z ∈ C, on a : |z| 6 |<e(z)| + |=m(z)|. √ 2) ∀z ∈ C, |z| 6 12 , on a : |2iz + 1 + i| 6 1 + 2 III III.A Forme trigonométrique d’un nombre complexe Argument d’un nombre complexe non nul Définition 6. Soit z = x + iy, d’image M . Si z 6= 0, on appelle argument de z −−→ tout nombre θ = (~i, OM ) [2π]. On note θ = arg(z). Remarque 4. On ne peut pas attribuer d’argument à 0 car il est impossible de définir l’angle (~i, ~0). Remarque 5. Le module ρ = |z| et un argument θ = arg(z) d’un nombre complexe forment un couple de coordonnées polaires (ρ, θ) du point d’affixe z. Dans ce cas, on peut écrire z = ρ(cos θ + i sin θ). M (z) ρ sin θ ρ θ ρ cos θ O III.B L’ensemble (U, ×) des nombres complexes de module 1. Définition 7. On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1. Autrement dit : U = {z ∈ C \ |z| = 1} Remarque 6. L’ensemble image de U est le cercle de centre 0 et de rayon 1 (cercle unité du plan). 1 U M (z) sin θ θ O cos θ −1 1 −1 Ensemble U des nombres complexes de module 1 6 Définition 8. Soit θ ∈ R. On note eiθ le nombre complexe défini par : eiθ = cos θ + i sin θ Proposition 3. U = {eiθ , θ ∈ R} Démonstration. • Soit θ ∈ R, on a |eiθ | = cos2 θ + sin2 θ = 1, donc eiθ ∈ U. • Soit z ∈ U. On pose θ = arg(z), ainsi : z = cos θ + i sin θ = eiθ III.C Relations utiles Formules d’Euler : On sait que eiθ = cos θ + i sin θ et e−iθ = cos θ − i sin θ, d’où : cos θ = eiθ + e−iθ 2 et sin θ = eiθ − e−iθ 2i Ce sont les formules d’Euler. Propriétés 4. ∀θ, θ0 ∈ R : 0 1) ei(θ+θ ) = eiθ eiθ 4) eiθ = e−iθ 0 0 2) ei(θ−θ ) = eiθ eiθ0 3) e−iθ = 1 eiθ 5) ∀n ∈ Z, (eiθ )n = einθ Démonstration. Montrons 1). Les autres propriétés s’en déduisent aisément : ei(θ+θ 0 ) = = = = cos (θ + θ0 ) + i sin (θ + θ0 ) (cos θ cos θ0 − sin θ sin θ0 ) + i (sin θ cos θ0 + sin θ0 cos θ) cos θ0 (cos θ + i sin θ) + i sin θ0 (cos θ + i sin θ) 0 (cos θ + i sin θ) (cos θ0 + i sin θ0 ) = eiθ eiθ Une conséquence directe de la propriété 4.5) est la formule de Moivre : n (cos θ + i sin θ) = cos (nθ) + i sin (nθ) Exercice 7. En utilisant la formule de Moivre, calculer cos 3x en fonction de cos x, ainsi que sin 3x en fonction de sin x. 7 III.D Forme trigonométrique d’un nombre complexe Définition 9. Tout nombre complexe non nul s’écrit de manière unique sous la forme : z = ρeiθ avec ρ > 0 et θ ∈ R (défini modulo 2π). On a ρ = |z| et θ = arg(z). Cette écriture est appelée forme trigonométrique (ou exponentielle, ou polaire) de z. On note parfois [ρ, θ] = ρ(cos θ + i sin θ). Remarque 7. Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique : Si z = a + ib 6= 0, alors ρ = √ cos θ = √ a2 + b2 , et θ est défini à 2kπ près par : a b et sin θ = √ 2 2 +b a + b2 a2 Exercice 8. √ 1. Déterminer le module et un argument du nombre complexe z1 = 3 − i, et le mettre sous forme trigonométrique. 2. Écrire z2 sous la forme algébrique sachant que |z2 | = 2 et arg(z2 ) = 2π 3 . Exercice 9. Ecrire sous forme trigonométrique 1 + i et 1 − i. En déduire le 20 calcul sous forme algébrique de (1−i) (1+i)16 . Exercice 10. π π 1. Ecrire sous forme exponentielle l’expression ei 9 +ei 3 (on pourra factoriser 2π par ei 9 puis utiliser les formules d’Euler). 2. Généraliser la méthode pour écrire sous la forme ρeiθ (ρ ∈ R) les expressions eiθ + e3iθ , eiα + eiβ et 1 + eiθ . La méthode utilisée est appelée méthode de l’arc moitié (à retenir). eiθ + e3iθ 1 e3iθ e2iθ eiθ θ −1 O 1 −1 Principe de l’arc moitié 8 III.E Application exponentielle complexe C → C∗ z = x + iy 7→ ex eiy Cette application est appelée fonction exponentielle complexe (sur l’ensemble R, elle coïncide avec la fonction exponentielle). Définition 10. On définit l’application exp : Proposition 4. 1. Pour tout nombre complexe z, on a ez 6= 0. 0 0 2. ∀z, z 0 ∈ C, on a ez+z = ez ez (en particulier e−z est l’inverse de ez ). IV IV.A Applications des nombres complexes à la trigonométrie Linéarisation On veut linéariser une expression trigonométrique, c’est à dire écrire une puissance (produit) de cos ou sin sous forme de somme. On dispose d’une méthode utilisant les nombres complexes. Observons la sur un exemple : la linéarisation de cos4 θ. iθ 4 e + e−iθ 1 4iθ 4 cos θ = = (e + 4e2iθ + 6 + 4e−2iθ + e−4iθ ) 2 16 Or e4iθ + e−4iθ = 2 cos (4θ) et e2iθ + e−2iθ = 2 cos (2θ) en vertu des formules d’Euler, d’où : 1 1 3 cos4 θ = cos (4θ) + cos (2θ) + 8 2 8 Exercice 11. Linéariser sin3 θ et en déduire Z π 2 sin3 θ dθ. 0 IV.B Factorisation Dans ce paragraphe, la démarche est inverse. Il s’agit au contraire d’écrire une somme de cos ou sin sous forme d’un produit (factoriser). On utilise la méthode de l’arc moitié (cf exercice 10). Exemple 1. Factorisation de cos p + cos q. On écrit cos p + cos q = <e eip + eiq , avec : p−q p+q q−p p − q i p+q eip + eiq = ei 2 ei 2 + ei 2 = 2 cos ( )e 2 2 p+q Donc cos p + cos q = 2 cos ( p−q 2 ) cos ( 2 ). Exercice 12. Factoriser sin p + sin q et cos p − cos q. 9 V V.A Résolution des équations du second degré à coefficients complexes Racine d’un nombre complexe Soit Z = x + iy ∈ C. On se pose le problème de trouver le(s) nombre(s) z = a + ib ∈ C tels que z 2 = Z (z est une racine carrée de Z dans C). Supposons qu’un tel nombre existe, on a alors : 1) z 2 = a2 − b2 + i2ab = x + iy, donc a2 − b2 = x et 2ab = y. p 2) |z 2 | = |z|2 = |Z|, donc a2 + b2 = x2 + y 2 . On obtient alors trois conditions sur a et b qui, réciproquement, nous assurent aisément l’existence d’une racine carrée. En conclusion, on peut résumer ainsi : 2 a − b2 = x p z = a + ib est une racine carrée de Z ⇐⇒ a2 + b2 = x2 + y 2 2ab = y Le calcul de(s) racine(s) carrée(s) s’effectue donc en résolvant ce système de trois équations aux deux inconnues a et b. En général, on trouve deux racines distinctes opposées. Exercice 13. Chercher les racines carrées de −3 − 4i. V.B Application à la résolution de l’équation du second degré Le principe de résolution est le même que pour l’équation du second degré à coefficients réels. On se donne une équation : (?) AZ 2 + BZ + C = 0 avec A ∈ C∗ , B, C ∈ C (Z est une inconnue complexe). On calcule le discriminant ∆ = B 2 − 4AC ∈ C. Soit δ une racine carrée de ∆ dans C. L’équation (?) admet toujours deux racines complexes distinctes (si ∆ 6= 0) ou confondues (si ∆ = 0) : Z1 = −B + δ −B − δ et Z2 = 2A 2A √ Attention !. Ne pas écrire δ = √∆ ! Cette écriture est réservée aux seuls réels positifs. Par exemple, écrire i = −1 est incorrect. Exercice 14. résoudre Z 2 − (5 + 3i)Z + 7i + 4 = 0. 10 VI Racines nièmes d’un nombre complexe non nul Soit a ∈ C∗ , d’écriture trigonométrique a = reiα (r = |a|, α = arg (a)). On cherche les nombres z = ρeiθ ∈ C tels que z n = a (racines nièmes de a). VI.A Racines nièmes de l’unité (a = 1) On cherche ici à résoudre l’équation z n = 1. Avec les notations z = ρeiθ et 1 = ei0 , cette écriture devient : ρn einθ = ei0 Par identification du module et de l’argument modulo 2π, on obtient ρn = 1 et nθ = 0 [2π], ou encore : ρn = 1 et nθ = 2kπ, k ∈ Z 2kπ , k ∈ Z, ce qui donne un ensemble Un de solun n 2kπ o U n = ei n , k ∈ Z Donc ρ = 1 et θ = tions : Il nous suffit alors de constater que la formule donnant l’expression des solutions est périodique d’ordre n car : ei 2(k+n)π n = ei 2kπ n +2π = ei 2kπ n ce qui fait qu’il n’y a que n solutions distinctes. Plus précisément : Théorème 1. L’ensemble des racines nièmes de l’unité est : n 2kπ o Un = ei n , k ∈ {0, . . . , n − 1} i e 6iπ n e 4iπ n e 2iπ n 2π n −1 1 O e 2(n−1)iπ n −i Racines n ièmes de l’unité Remarque 8. On constate géométriquement que les racines nièmes de l’unité sont les affixes des sommets du polygône régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité, et dont l’un des sommets est le point d’affixe 1. Ceci revient à partager le cercle en n parties égales. Il est donc facile de les retrouver graphiquement dans certains cas, par exemple pour n = 3 ou n = 4 : 11 e i 2iπ 3 −1 e 1 O e 4iπ 3 e 4iπ 4 2iπ 4 =i 1 O = −1 −i e 6iπ 4 = −i Racines quatrièmes de l’unité Racines cubiques de l’unité Exemple 2. 1. Les racines cubiques de 1 sont 1, j et j 2 avec j = ei 2π 3 . 2. Les racines quatrièmes de 1 sont 1, −1, i et −i. Remarque 9. On peut aussi noter : o n 2kπ Un = ei n , k ∈ {1, . . . , n} Exercice 15. 1. Montrer que pour tout z ∈ C avec z 6= 1, on a : 1 + z + z2 + · · · + zn = 1 − z n+1 1−z 2. Soit ξ une racine nième de l’unité. Calculer 1 + ξ + ξ 2 + · · · + ξ n−1 . Remarques 10. 1. On note Un l’ensemble des racines nièmes de l’unité. Un est un sousensemble de U. 2. La somme des racines nièmes de l’unité est nulle. VI.B Résolution de l’équation z n = a Commençons par chercher une solution particulière de cette équation. Avec 1 α la notation a = reiα , on remarque que z0 = r n ei n en est une, car : 1 α n 1 n α n z0n = r n ei n = rn ei n = reiα Exercice 16. Donner, sous forme algébrique, une racine cubique de 8i (on pourra utiliser la forme trigonométrique). Vérifier le résultat par le calcul. 12 Proposition 5. Si z0 est une racine nième de a, alors l’ensemble des racines nièmes de a est : S = {z0 ξ, ξ ∈ Un } Démonstration. z n = a = z0n ⇔ z z0 n =1⇔ z z0 ∈ Un On déduit des deux résultats précédents le théorème suivant, qui fournit les autres solutions : Théorème 2. On note a = reiα . Les solutions de l’équation z n = a sont : n 1 α 2kπ o n 1 α+2kπ o S = r n ei n ei n , k ∈ {0, . . . , n − 1} = r n ei n , k ∈ {0, . . . , n − 1} Autrement dit, on obtient l’ensemble des solutions de z n = a en multipliant une solution particulière z0 par les racines nièmes de l’unité. Exercice 17. Résoudre l’équation z 5 = 1 + i. Exercice 18. Chercher les racines cubiques, puis les racines quatrièmes, de −1. VII VII.A Géométrie des nombres complexes Problèmes de distances Rappel : Si A et B sont deux points du plan complexe, d’affixes respectives zA et zB , alors : AB = |zB − zA | Exercice 19. Déterminer l’ensemble des z ∈ C tels que : √ a) |z + 2 + i| = 2 2 b) |z + 1 − i| 6 3 c) |z − i| = |z − i + 1| VII.B d) |(1 + i)z − 2i| = 2 Angles et nombres complexes Propriétés 5. Soient z, z 0 ∈ C∗ , alors : 1) arg z̄ = − arg z [2π] 2) arg (zz 0 ) = arg z + arg z 0 [2π] 3) arg z1 = − arg z [2π] 4) arg zz0 = arg z − arg z 0 [2π] 13 Démonstration. On démontre 1) et 2). Pour cela, écrivons z et z 0 sous la forme trigonomé0 trique : z = ρeiθ et z 0 = ρ0 eiθ . 1) z̄ = ρeiθ = ρe−iθ , donc arg z̄ = −θ = − arg z. 0 0 2) zz 0 = ρeiθ ρ0 eiθ = ρρ0 ei(θ+θ ) , donc arg (zz 0 ) = θ + θ0 = arg z + arg z 0 Proposition 6. Soient A, B, C trois points distincts du plan, alors : −−→ −→ zC − zA [2π] AB, AC = arg zB − zA Démonstration. arg zC −zA zB −zA = = arg(zC − zA ) − arg(zB − zA ) −→ −→ −→ −→ ~i, AC − ~i, AB = AB, AC [2π] zC − zA AC = Remarque 11. On peut aussi constater que . zB − zA AB √ √ Exercice 20. Soient A(−1, 1), B(3, −1) et C(1− 3, −2 3). Montrer que ABC est un triangle équilatéral indirect. Conséquences : Si A, B et C sont trois points distincts du plan, alors : zC − zA 1. (AB) ⊥ (AC) ⇐⇒ est un imaginaire pur. zB − zA zC − zA est un réel. 2. A, B, C sont alignés ⇐⇒ zB − zA Démonstration. 1. (AB) ⊥ (AC) ⇔ ⇔ ⇔ 2. A, B, C alignés ⇔ ⇔ ⇔ −→ −→ AB, AC = π2 [π] A arg zzC −z = π2 [π] B −zA zC − zA est un imaginaire pur. zB − zA −→ −→ AB, AC = 0 [π] A arg zzC −z = 0 [π] B −zA zC − zA est un réel. zB − zA Exercice 21. Soient A(−2, 0), B(0, 3) et C(1, −2) trois points du plan. Montrer, en utilisant les nombres complexes, que ABC est un triangle rectangle en A. 14 VII.C Barycentres On rappelle que si A et B sont deux points du plan, et α, β deux réels tels que α + β 6= 0, alors il existe un unique point G tel que : −→ −−→ αGA + β GB = ~0 (1) G est appelé barycentre des points pondérés (A, α) et (B, β) (points A et B affectés des coefficients -ou poids- α et β). Dans ce cas, si M est un point quelconque du plan, on a également : −−→ MG = β −−→ α −−→ MA + MB α+β α+β (2) −→ Exemple 3. Le barycentre G de (A, 1) et (B, 2) est défini par la relation GA + −−→ 2GB = ~0, et peut se construire en utilisant la relation (2) avec M = A : G −→ 1 −→ 2 −−→ AG = AA + AB 3 3 B A Démonstration. −→ − − → αGA + β GB = ~0 ⇔ ⇔ ⇔ −−→ −−→ −−→ −−→ α(GM + M A) + β(GM + M B) = ~0 −−→ −−→ −−→ (α + β)M G = αM A + β M B −→ −−→ β −−→ α − M A + α+β MB M G = α+β Donc il existe bien un unique point G vérifiant la relation (1), et ce point est défini par la relation (2). Proposition 7. Si G est le barycentre de (A, α) et (B, β), alors : zG = α β zA + zB α+β α+β Démonstration. Il suffit d’utiliser la relation (2) avec M = O, et de traduire la relation avec les affixes des vecteurs. Cette définition du barycentre de deux points pondérés peut s’étendre à un ensemble de n points pondérés : Définition 11. Soient A1 , A2 , . . . , An n points du plan et α1 , α2 , . . . , αn n réels tels que α1 + α2 + · · · + αn 6= 0. On appelle barycentre du système de points pondérés (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (An , αn ) l’unique point G tel que : −−→ −−→ −−→ α1 GA1 + α2 GA2 + · · · + αn GAn = ~0 Dans ce cas, M étant un point quelconque du plan, on a également : −−→ MG = −−−→ −−−→ −−−→ 1 α1 M A1 + α2 M A2 + · · · + αn M An α1 + α2 + · · · + αn 15 Remarques 12. 1. Le barycentre ne change pas si on multiplie tous les coefficients par le même nombre k 6= 0, en effet : −−→ −−→ −−→ −−→ α1 GA1 + · · · + αn GAn = ~0 ⇐⇒ (α1 k)GA1 + · · · + (αn k)GAn = ~0 2. Si α1 = α2 = · · · = αn , on dit que G est l’isobarycentre de A1 , A2 , . . . , An . Proposition 8. Si G est le barycentre de (A1 , α1 ), (A2 , α2 ), . . . , (An , αn ), alors : zG = 1 (α1 zA1 + α2 zA2 + · · · + αn zAn ) α1 + α2 + · · · + αn Exercice 22. Calculer les coordonnées de l’isobarycentre des points A(1, 1), B(6, 3), C(−1, −2) et D(6, 0). 16