Les fonctions mathématiques (Chap 6)

Cours de physique appliqué Terminale STI éléctronique [email protected]
Les fonctions mathématiques (Chap 6)
! Révisé et compris
! Chapitre à retravaillé
! Chapitre incompris
Il s’agit d’étudier les montages permettant de réaliser les fonctions mathématiques, telles que
l’addition, la soustraction, la multiplication, la dérivation, et l’intégration des tensions. Dans chaque
étude, on considérera les ADI comme étant parfait.
1. Le sommateur non inverseur:
DEF
Dans un montage sommateur, la tension de sortie est proportionnelle à :
Us = k x ( U1 + U2 + U3 + Un…)
On a une contre-réaction par R4,
l’amplificateur est donc en fonctionnement
linéaire.
Expression de Ue- :
Expression de Ue+ :
Page 1 sur 8
Cours de physique appliqué Terminale STI éléctronique [email protected]
Si R1 = R2 = R, on a :
Us = U1 + U2.
2. Le sommateur inverseur :
On a un fonctionnement linéaire, du à
la présence de la résistance de
contre-réaction R.
Exprimons Us en fonction de u1, u2, u3 :
Si R1 = R2 = R3= R’, on a :
Si R = R’, on a :
Us = - ( u1 + u2 + u3), ce qui correspond bien à un sommateur inverseur.
3. Le convertisseur numérique analogique à résistance pondéré :
Us = q x N
Page 2 sur 8
Cours de physique appliqué Terminale STI éléctronique [email protected]
Soit un montage à 4 éléments binaires :
Les interrupteurs k0, k1, k2, k3 sont commandés par les éléments binaires A0, a1, A2, A.
Les résistances sont pondérées de la manière suivante :
R0 = 16R
R1 = 8 R
R2 = 4R
R3 = 2R
L’ADI fonctionne en mode linéaire, car il y a une contre-réaction : Ve+ = Ve-
Page 3 sur 8
Cours de physique appliqué Terminale STI éléctronique [email protected]
Ce montage nous permet bien de réaliser un convertisseur numérique analogique, mais il présente
cependant quelques inconvénients :
- limitation de la tension de sortie
- limitation à 4 ou 8 éléments binaires.
4. La fonction soustraction :
Expression de Ue+ :
Expression de Ue- :
On égalise ensuite :
Si R2 = R1, on a :
Us = U1 – U2.
Les applications de ce montage : Un comparateur dans un système bouclé.
5. La fonction multiplication :
DEF
La fonction « multiplication » permet de réaliser une multiplication analogique. La tension Us
est proportionnelle au produit des deux tensions d’entrée.
Page 4 sur 8
Cours de physique appliqué Terminale STI éléctronique [email protected]
La représentation :
Us = k x ( u1 x u2)
-1
Le coefficient « k » est exprimé en V .
On a aussi :
On utilise généralement le multiplieur référencé AD 534, qui possède les caractéristiques
suivantes :
- alimentation symétrique (en + et – 15V)
- résistance d’entrée très grande
- résistance de sortie très faible
- coefficient k = 0.1 V-1
- multiplieur quatre quadrants : on peut avoir des tensions d’entrée et de sortie positive ou
négative.
- Ce circuit peut aussi réaliser des divisions, des extractions de racine carrées.
6. Le multiplieur de deux tensions :
On dispose des tensions u1 et u2, tel que :
U1 = U1 (tension continue)
U2 = Û2 x cos (wt) (signal périodique).
Us = k x ( U1 x U2) , par définition.
Donc Us = k x (U1 x Û2 x cos wt)
Dans le cas présent, le multiplieur réalise une amplification égale à K x U1.
7. Multiplication de deux tensions sinusoïdale de même fréquence :
On dispose de deux tensions, tel que :
U1 = Û1 x cos (wt)
U2 = Û2 x cos (wt + phi)
La tension de sortie est définie par :
Us = k x ( U1 x U2 )
Us = k x (Û1 x cos wt ) x ( Û2 x cos (wt + phi ) )
Us = k x Û1 x Û2 x cos wt x cos (wt + phi)
Page 5 sur 8
Cours de physique appliqué Terminale STI éléctronique [email protected]
On peut simplifier les cosinus avec les formules :
Cos (a) x cos (b) = 0.5 x [ cos ( a – b) – cos ( a + b) ]
Ce qui tends à simplifier notre expression de départ :
On peut scinder l’expression en deux parties :
Interprétation : La multiplication de deux tensions sinusoïdale de même fréquence, donne une
tension continue, et une tension sinusoïdale de fréquence double.
La multiplication n’est absolument pas linéaire, car il y a création d’harmoniques.
8. Application du multiplieur :
-
Réalisation d’un wattmètre (multiplieur et filtre passe-bas moyenneur)
Réalisation d’un phasemètre
Réalisation d’un voltmètre RMS (valeur efficace vrai)
Générateur d’harmonique double, triple, quadruple…
9. Le montage dérivateur :
DEF
Le signal disponible à la sortie d’un montage « dérivateur » est proportionnel à la dérivée
(en fonction du temps), du signal d’entrée.
Page 6 sur 8
Cours de physique appliqué Terminale STI éléctronique [email protected]
Démonstration :
Méthode
Tension
Calculs
Courant
10. Application du montage dérivateur :
-
Transformation d’un signal triangulaire, en un signal carré
-
Déphasage de sinusoïde de ±
-
Correction des systèmes bouclés (correcteur PID).
π.
Page 7 sur 8
Cours de physique appliqué Terminale STI éléctronique [email protected]
11. Le montage intégrateur :
DEF
Le signal disponible à la sortie d’un montage « intégrateur » est proportionnel à l’intégration
en fonction du temps du signal d’entrée.
Démonstration :
Méthode
Tension
Calculs
Courant
12. Application de l’intégrateur :
-
Transformation d’un signal carré en un signal triangulaire
-
Déphasage de sinusoïde de ±
-
Correction des systèmes bouclés (correcteur PID).
π.
Page 8 sur 8