Calculs Nautiques Claude GRANAT Ligue Maritime Belge www.jacana.be 25 heures Table des matières • • • • • • • • • • • • • • • Introduction Planing Trigonométrie Rappel trigonométrie plane Trigonométrie sphérique Le triangle rectangle sphérique Le triangle polaire Ex. Triangle Sphérique Rectangle Triangle sphérique quelconque Ex. Triangles Sphériques quelconques Trigonométrie sphérique appliquée Rappel navigation estimée Navigation orthodromique Route composite Exercices Orthodromie • • • • • • • • • • • • • • • • • Navigation Astronomique Ephémérides La mesure du temps Corriger la hauteur lue sur le sextant Latitude par la Méridienne Latitude par Polaris L’amplitude (vérification variation) Droite de hauteur Canevas Mercator Naviguer avec les tables nautiques Traverse Tables (Loxodromie) Meridional Parts (Mercator Sailing) Utiliser les tables logarithmiques Haversines (hc, dist. orthodromique) Tables ABC (Azimut, angles de route) Les tables en navigation orthodromique Les tables en navigation astronomique • Rappels algèbre élémentaire 2 Calculs Nautiques Notions de trigonométrie Navigation Orthodromique Navigation Astronomique Utilisation des tables Nories Navigation Orthodromique • Navigation selon un grand cercle chemin le plus court, cap à modifier constamment • Distance orthodromique • Angle de route au départ, à l’arrivée • Vertex : position, distance jusqu’au vertex • Longitude du nœud • Gain Orthodromie / navigation loxodromique 4 Triangles sphériques de la navigation orthodromique 5 Navigation Astronomique • Méridienne détermination de la latitude • Polaris Détermination de la latitude (hémisphère Nord seulement) • Amplitude : détermination de la variation du compas (déclinaison + déviation) • Droite de hauteur (soleil, planètes, étoiles, lune) 6 Triangles sphériques de la navigation astronomique 7 Comparaison triangles Ortho - Astro 8 Matériel souhaité 9 Planning Séance Matière 1 Introduction trigonométrie 2 Navigation Orthodromique 3 Navigation Ortho Utilisation Nautical Almanach, Corrections hauteurs sextant Méridienne, Polaris 4 Navigation Astro 5 Navigation Astro 6 Navigation Astro 7 Navigation Astro 8 Navigation Astro 9 Tables Nories, calculs manuels 10 Révisions 10 Utiliser les tables (Nories) • • • • • • • • • • • • Navigation Orthodromique Distance orthodromique, Angle de route Navigation loxodromique (Traverse Tables) Navigation Mercator (Meridional parts) Navigation Astronomique Calcul de la hauteur hc Calcul de l’Azimut (Tables ABC) Tables Traverses (Intercept/Azimut Point déterminatif) Les formules à utiliser Les formules Haversine Calcul logarithmique (Multiplication Addition de logarithmes) Tables trigonométriques 11 TRIGONOMETRIE Rappel Trigonométrie Plane Notions de Trigonométrie Sphérique Notions de Trigonométrie •La bonne réponse est … 13 Notions de trigonométrie • • • • • • • • Rappel éléments trigonométrie plane Trigonométrie sphérique : Triangle sphérique rectangle Règles de Napier Triangle polaire : résolution triangle quadrantal Triangle sphérique quelconque : Règle des sinus, Règle des cosinus des côtés Règle des cosinus des Angles 14 Trigonométrie plane Rappel éléments trigonométrie plane Cercle trigonométrique 16 Relations trigonométriques du triangle 17 Segments remarquables • hauteur : segment qui passe par l’angle opposé et qui est perpendiculaire au côté ; leurs intersections déterminent l’orthocentre. • Médiane : segment qui joint l’angle opposé et le milieu du côté ; leurs intersections déterminent le centre de gravité du triangle. • Médiatrice : segment perpendiculaire au milieu d’un côté ; leurs intersections déterminent le centre du cercle circonscrit. • Bissectrice d’un angle : segment qui divise un angle en deux angles adjacents de même amplitude ; leurs intersections déterminent le centre du cercle inscrit dans le triangle. 18 19 Applications de la trigonométrie plane 20 Trigonométrie sphérique • • • Triangle sphérique rectangle Règles de Napier Triangle polaire : résolution triangle quadrantal Triangle sphérique quelconque : – Règle des sinus, – – Règle des cosinus des côtés Règle des cosinus des Angles Types de triangles sphériques • Triangle sphérique rectangle l’angle C est déjà connu (= 90°) il suffit de connaître seulement 2 paramètres (côtés et/ou angle pour résoudre le triangle • Triangle quadrantal (1 côté = 90°). Il pourra être résolu via son triangle polaire associé qui sera rectangle • Triangle quelconque : résolu par la règle des sinus, la règle du cosinus des côtés ou la règle du cosinus des angles. 22 Arc de grand cercle 23 Triangle sphérique 24 Triangles sphériques : généralités • • La partie de la surface d'une sphère limitée les arcs de grands cercles de celle-ci est un triangle sphérique. Les arcs limites sont les côtés du triangle sphérique et les sommets des trois angles sont les sommets du triangle sphérique. Habituellement, les côtés sont désignés par a, b, c et les angles opposés par A, B, C. Pour les triangles sphériques dont chaque côté et chaque angle est inférieur à 180°: – La somme de deux côtés quelconque est supérieure au troisième côté. – La somme des trois côtés est inférieure à 360°. – Si deux côtés sont égaux, les angles opposés correspondants sont égaux et réciproquement. – Si deux côtés sont inégaux, les angles opposés sont inégaux et le plus grand angle est opposé au plus grand côté. – La somme des trois angles est supérieure à 180°et infé rieure à 540° 25 Mesure de l’angle sphérique • La mesure d'un angle sphérique APB est donnée par la mesure de l'angle dièdre correspondant AOB • Cf différence de longitude même valeur à l’équateur qu’au pôle 26 Triangle sphérique rectangle • Comme C est connu, il suffit de connaître deux éléments pour le résoudre via la règle de Napier • Calcul du vertex et latitude du nœud. 27 Règles de Napier 28 Règles de Napier • • • • • • • • • Notion d’élément milieu, élément adjacent, élément opposé Si a est l’élément milieu alors Co-B & b sont les éléments adjacents Co-c et Co-A sont les éléments opposés. Utiliser la fonction complémentaire pour Co-B, Coc, Co-A Fonctions complémentaires : Sin Cos Cos Sin Tg Cotg (ou 1/tg) 29 Règles de Napier • Sin (é_milieu) = Π [Tg(é_Adjacents)] • Sin (é_milieu) = Π [Cos(é_Opposés)] 30 Napier : Règles des Quadrants • A & a sont toujours dans le même quadrant. B & b sont toujours dans le même quadrant • Si c < 90°alors les côtés a & b (et les angles A, B) sont dans le même quadrant. • Si c>90°alors les côtés a & b (et les angles A, B) sont dans des quadrants différents c SI A <90° <90° <90 ° > 90° > 90° > 90° a B, b <90° <90° > 90° > 90° < 90° < 90° > 90° > 90° > 90° < 90° Alors . 31 32 33 Triangle Polaire • • • • Soient A, B, C les sommets d’un triangle sphérique. Construisons les 3 grands cercles ayant ces sommets pour pôle. Notons A’, B’, C’ les sommets de ce triangle polaire. Les côtés sont notés a ’, b’, c’. Si A’B’C’ est le triangle polaire de ABC, alors ABC est le triangle polaire de A’B’C’ Pour chacun des triangles polaires, chaque angle de l’un des triangles est égal au supplémentaire du côté correspondant de l’autre triangle A’=180°-a B’= 180°-b C’= 180°-c A=180°-a’ B=180°-b’ • C=180°-c’ • • • • 34 Triangle polaire d’un triangle quadrantal • Le triangle polaire d’un triangle quadrantal (c=90°) est donc un triangle sphérique rectangle • Application : trouver la longitude du nœud d’une route orthodromique 35 Triangles sphériques rectangles : exercices • • • • • • • • Résoudre les triangles sphériques rectangles ABC suivants : a=125°24.8, b= 32°16.5’ A= 110°47.4’, B=37°46.4’, c= 119°20.2’ A=67°38.8’, B=155°12.6’ a=24°54.2’, b=169°0.0’, c=152°55,2’ A=33°50.5’, B=72°24.2’ A=29°23.1’, b=57°7.3’, c= 61°46.2’ Résoudre le triangle quadrantal A=32°53.6’, 115°24.9’ a= 35°36.3’, b=104°28.2’, C=68°52.7’ L’angle de route initial d’une route partant de Yokohama (N 35°37.0’, E 139° 39.0’) est de 30°40.0’. Trouver le point le plus proche du pôle Nord N 58°0.7’, W 023°4.2’ Un navire quitte A (N 36°50.0’, W 076°20.0’) en pa rcourant un arc de grand cercle et traverse l’équateur en W 050°0.0’. Donner l’a ngle de route initial et la distance parcourue AR(départ)=140°27.3’, distance=2,649.9 NM 36 Résolution via triangle polaire • Un navire quitte A (N 36°50.0’ - W 076°20.0’) en suiv ant une route orthodromique qui lui fait franchir l’équateur en W 050°. Donner son angle de route de départ et la distance parcourue. • Voir dessin • • a est la colatitude de A (53°10’), B est la différence d e longitude (26°20’), c est la colatitude du point de passage à l’équateur (90°) ==> triangle QUADRANTAL à résoudre via le triangle polaire associé Sont connus a, B ==> (a’= 180°-53°10’ et b’= 180°- 26° 20’) • Sont recherchés C et b ==> calculer c’ et B’ du triangle polaire associé • • c’ = 39°36.6’ ==> angle de route : 180°- 39°36.6’ = 140°27.3’ B’ = 135°50’ ==> distance parcourue : (180°- 135°50’) * 60 = 2,650 Nm 37 38 Triangles sphériques quelconques 39 Résolution triangle sphérique quelconque • Règle des sinus sin a/sin A = sin b/sin B = sin c/sin C • Règle des cosinus des côtés (3 règles) les 3 côtés et un angle cos a = cos b.cos c + sin b.sin c.Cos A • Règle des cosinus des ANGLES (3 règles) les 3 angles et un côté cos A = - cos B.cos C + sin B.sin C.Cos a (Ne pas oublier le signe négatif) 40 Résolution triangle sphérique quelconque-1 • • • • • • • • • • • • • • • a=61°51.7’, c=67°55.4’, B=111°57.9’ Sont connus : 2 côtés (a & c) et 1 angle (B) Résoudre b, A, C via la formule des côtés ou des Angles cos b = cos a . cos c + sin a . sin c . Cos B b = Arccos(cos a . cos c + sin a . sin c . Cos B) b = Arccos(cos 61°51.7’ . cos 67°55.4’ + sin 61°51.7’ . s in 67°51.7’ . Cos 111°57.9’) b= 97°37.5’ cos a = cos b . cos c + sin b . sin c . Cos A (cos a - cos b cos c) / (sin b sin c) = Cos A A = Arcos (cos 61°51.7 - cos 97°37.5’ . cos 67°55.4’)/(sin 97°37.5’ . sin 67°55.4’) A= 55°36.0’ Cos C= - Cos A . Cos B + Sin A . Sin B . cos c C= Arccos (-Cos 55°36.0’ . Cos 111°57.9’ + Sin 55°36.0 ’ . Sin 111°57.9’) C= 60°07.3’ Vérification : Sin A/sin a = Sin B/sin b = Sin C/ sin c 41 Résolution triangle sphérique quelconque-2 • • • • • • • • • • • • • • A=116°01.8’, B=103°17.6’, C=94°21.2’ Sont connus : 3 angles (A, B & C) Résoudre a, b, c via la formule des côtés ou des Angles Cos A = - Cos B . Cos C + Sin B . Sin C cos a cos a = (Cos A + Cos B . Cos C) / (Sin B . Sin C) a = Arcos (Cos 116°01.8’ + Cos 103°17.6’ . Cos 94°21.2’) / (Sin 103°17.6’ . Sin 94°21.2’) a = 115° 44.2’ Cos B = - Cos A Cos C + Sin A Sin C Cos b cos b = (Cos B + Cos A Cos C) / (Sin A Sin B) b = Arccos((Cos 103°17.6’ + Cos 116°01.8’ Cos 94°21.2’) / (Sin 116°01.8’ Sin 94°21.2’) b = 102° 40.6’ Cos C =- Cos A . Cos B + Sin A . Sin B . Cos c c= Arccos ((Cos 94°21.2’ + Cos 116°01.8’ Cos 103°17.6’) / (Sin 116°01.8’ Sin 103°17.6’)) c = 88° 21,7’ 42 Vérification par la formule des sinus • • • • • • • • • • Énoncé : A=116°01.8’, B=103°17.6’, C=94°21.2’ Résultats : a = 115° 44.2’ b = 102° 40.6’ c = 88° 21,7’ Vérification : Sin A / sin a = 0.997518956 Sin B / sin b =0.997521212 Sin C / sin c =0.997522684 • Les trois valeurs sont égales, l’on peut considérer les résultats comme probablement exacts 43 Exercices triangles sphériques quelconques • Résoudre les triangles sphériques ABC quelconques • a=56°22.3, b= 65°54.9’, c=78°27.4’ A=58°08.4’, B=68°37.8, C=91°57.2’ • A=47°13.3’, B= 120°09.9’, c=123°31.6’ a=37°43.7’, b=133°52.9’; C=90°31.8’ • a=108°56.4’, b=58°34.8’, c=122°15.6’ A=93°40.8’, B=64°12.4’, C=116°51.0’ • B=66°42.7’, C=84°57.5’, a=107°08.4’ b=67°08.4’, c=92°07.6’, A=107°43.4 44 Trigonométrie sphérique appliquée Navigation orthodromique Navigation astronomique Le triangle sphérique de la navigation orthodromique • Côtés : • • • • Colatitude point de départ Colatitude point de d’arrivée Route orthodromique Colatitude du vertex • Angles : • Angle de route(départ) • Angle de route(arrivée) • Différence longitude(départarrivée) 46 Construire les équations de la navigation orthodromique - 0 • • • Formule de base Cos a = cos b.cos c + sin b.sin c.Cos A Distance orthodromique • AR(départ) • AR(arrivée) • Latitude vertex • Longitude vertex • Distance vertex 47 Construire les équations de la navigation orthodromique - 1 • • • • • • • • Formule de base Cos a = cos b.cos c + sin b.sin c.Cos A Distance orthodromique M=Arccos(sin Latdép . sin LatArr + cos Latdép . cos LatArr . cos Dg) AR(départ) ARdépart=Arccos ((sin LatArr – sin LatDép . cos M) / (cos LatDép . sin M)) AR(arrivée) ARarrivéet=Arccos ((sin LatDép – sin LatArr . cos M) / (cos LatArr . sin M)) 48 Construire les équations de la navigation orthodromique - 2 • Formules de base • Napier (Triangle sphérique rectangle) • Latitude (vertex) • coLatVx = arcsin (Sin ARdép . cos Latdép) • LatVx = Arccos (Sin ARdép . cos Latdép) • Longitude (vertex) • dg = Arctg(1/(tg ARdép . sin Latdép) • Distance (vertex) • Mvx = Arctg (cos ARdép / tg LatDép) 49 Construire les équations de la navigation orthodromique - 3 • • • Formules de base Triangle quadrantal ⇒triangle polaire rectangle ⇒Napier Longitude (Noeud) • Distance (Noeud) 50 Le triangle sphérique de la navigation astronomique • Côtés • • Distance zénithale (90°hauteur) Distance polaire (90°- déclinaison ) Colatitude (90°- latitude ) • Angles • • Angle polaire ( LHA) Azimut 51 Construire les équations de la navigation astronomique - 0 • Côtés • Distance zénithale (90°hauteur) Hauteur calculée • Angles • Azimut • • Intercept (hv-hc) Position Déterminative 52 Construire les équations de la navigation astronomique - 1 • Côtés • Distance zénithale (90°hauteur) Hauteur calculée • Angles • Azimut • • Intercept (hv-hc) Position Déterminative 53 Rappels Navigation estimée Navigation loxodromique Navigation Mercator Rappel : Navigation loxodromique • Par la latitude moyenne • Calculer le dLat • Déterminer la latitude moyenne • Calculer le Dg • Déterminer le DEW DEW = Dg * cos Latmoyenne • Distance loxodromique = racine carrée de la somme des carrés Dlat et DEW dloxo=√(dlat²+DEW²) • Rv=Arctg (DEW/Dlat) • Mercator sailing (meridional parts) • Calculer les lc du point de départ et d’arrivée • Dlc=lc(arrivée)-lc(départ) • Calculer le dlat • Déterminer la latitude moyenne croissante : lmc=Arccos(dlat/dlc) • Calculer le Dg • Déterminer le DEW DEW=dg * cos lmc • Distance=√(dlat² +²DEW²) • Rv=Arctg(dg/dlc) 55 Mercator Sailing • • • • • • • • • • • • Départ : N 50°, E 30° Arrivée : S 20°W 60° dlat = + 50 – (-20) = 70°x 60 = 4200’ dg = 30 – (-60) = 90 x 60 = 5400’ lcdépart = 3456.53 lc arrivée = -1217.14 dlc = 4633.67 (Additionner les lc si dép & arr sont de signes contraires) (Notation quadrantale S 49°22’ W ⇒ 229°22’) Rv = Arctg (dg/dlc) lcm = Arccos(dlat / dlc) lcm = 24°59.2’ DEW = dg x cos lcm DEW = 4894.6 M=√(dlat² + DEW²) M = 6449.58 Nm lc(λ)≈7915.704468 . log(tg(45 + λ/2)) - 23.0133263 sin λ - 0.052353 sin3 λ - .. 56 Canevas Mercator Sailing 57 Navigation Orthodromique Great Circle Navigation Navigation orthodromique - 1 59 Navigation Orthodromique - 2 • • • • Sont connus : (co)latitude de départ, (co)latitude d’arrivée, différence en longitude (dlong) Sont recherchés : La distance orthodromique M, l’angle de route au départ (Ard), l’angle de route à l’arrivée (Ara) • • • • • • • • • Les paires côtés/angles : M/dlong Ard/colat arrivée Ara/colat départ 1) calculer M 2) calculer Ard 3) calculer Ara 4) le(s) vertex 5) le nœud si passage de l’équateur • 1,2,3 via règle du cosinus des côtés, 4 via le triangle rectangle, 5 via le triangle polaire. 60 Formules Navigation orthodromique • • • • • • • • • M --> dlong ==> Cos M = cos colatArr cos ColatDép + sin colatArr sin colatDép cos dlong x 60 --> distance en Nm AR départ --> colatArr Cos colatArr = cos colatDép cos M + sin colatDép sin M cos Ardép Après transformations : Cos Ardép = (sin latArr - sin latDép cos M)/(cos latDép sin M) Ardép = Arccos ( « « « « «) Même procédure pour ARArr 61 Navigation orthodromique Exemples • • • • • • • • • • • • Exemple 1 Départ : Honolulu, N 21°18.3’ - W 157°52.3 Arrivée :San Fransisco, N 37°47.5N - 122°25.7’ W Distance : 2080.2 Nm Angle de route au départ : 53°40.2’ Angle de route à l’arrivée : 71°46.0’ Exemple 2 Départ : Dutch Harbor, N 53°53.0’ - W 166°35.0’ Arrivée : Melbourne, S 37°50.0’ - E 144°59.0’ Distance : 6,045.4 Nm Angle de route au départ : S 36°58.6 W (216°) Angle de route à l’arrivée : S 26°40.4 W (206°) 62 Vérification : calculer la distance loxodromique et comparer • • • • • Départ : Honolulu, N 21°18.3’ - W 157°52.3 Arrivée :San Fransisco, N 37°47.5N - 122°25.7’ W Distance orthodromique calculée : 2080.2 Nm Dlat = 16°29.2’ (989.2’) Dlong = 35°26.6’ (2,126.6’) Latitudes croissantes (formule ou NNT, Meridional parts) Hn = 1300.454 SF = 2438.306 Dlc = 1137.852 Rv = Arctg (dg/dlc) Rv= N 61°51.0’ E (61°51.0’) lmc = Arcos (989.2/ 1137.852) lmc = 29°37.0’ dg ⇒ DEW : DEW = dg . Cos lmc DEW= 2,126.6 . Cos 29°37.0’ DEW = 1,848.76 Nm Distance = √( 989.2² + 1,848.7²) --> 2,096.76 Nm 63 Vérification : calculer la distance loxodromique et comparer • • • • • • • Départ : Dutch Harbor, N 53°53.0’ - W 166°35.0’ Arrivée : Melbourne, S 37°50.0’ - E 144°59.0’ Distance : 6,045.4 Nm Dlat = 91°43.0’ (5,503’) Dlong = 48°26.0’ (2,906’) Latitudes croissantes (formule ou NNT, Meridional parts) DH = 3,834.126 Mb = -2,441.458 Dlc = 6,275.584 Rv = Arctg (dg/dlc) Rv= S 27°50.2’ W (207°50’) lmc = Arcos (5503/ 6275.6) lmc = 28°43.8’ dg ⇒ DEW : DEW = dg . Cos lmc DEW= 2,906 . Cos 28°43.8’ DEW = 2,548.24 Nm Distance = √( 5503² + 2548²) --> 6,064.36 Nm 64 Conversion cap quadrantal (NS 113 EW) en cap azimutal Caz = 180°-B Caz = 360° - B 65 Calcul de la position du vertex • On veut connaître : 1) position du vertex (co)latitude du vertex dlongitude • 2) distance jusqu’au vertex • Le vertex est atteint quand le pôle est par le travers ⇒ azimut = 90°!!! 66 Calcul du vertex • Sont connus : • La latitude de départ, l’angle de route de départ • Sont recherchés : • La distance Mx jusqu’au vertex, la (co)latitude du vertex, la longitude gx (dgx) du vertex • Comme l’angle C = 90°utiliser Napier 67 Formules du vertex • Résoudre via les formules de Napier • A et c sont connus • B, b, a sont à calculer 68 Exercice Navigation orthodromique • • • • • • • • Départ : Dutch Harbor, N 53° 53.0’ - W 166°35.0’ Arrivée : Melbourne, S 37°50.0’ - E 144°59.0’ Calculez : Distances orthodromique, loxodromique Angles de route orthodromique au départ, à l’arrivée La position des vertex La position du nœud Les positions intermédiaires quotidiennes si vitesse = 17 kts • Distance ortho • Distance loxo • ARdépart • ARArrivée • Position vertex N • Position vertex S • Position nœud 69 Navigation orthodromique : le noeud • Le nœud est le point de passage de l’équateur • L’on veut connaître la position de ce point et la distance parcourue depuis le départ La latitude vaut donc 0° et la colatitude 90°, le triangle polaire est donc rectangle que l’on peut résoudre par Napier 70 Positions intermédiaires 71 Navigation orthodromique : positions intermédiaires • • • • • • • • • Rechercher colat(i) Cos colat(i)=cos M(i).cos colat(départ)+sin M(i).sin colat(départ).Cos AR(départ) Sin lat(i)=cos M(i).sin lat(départ)+Sin M(i).Cos lat(départ).Cos AR(départ) Rechercher Dg(i) Cos M(i)=cos colat(i).cos colat(départ)+sin colat(i).sin colat(départ).Cos Dg(i) Cos Dg(i)=(Cos M(i)-sin lat(i).sin lat(départ))/(cos lat(i).cos lat(départ)) Rechercher AR(i) Cos colat(départ) = cos M(i).cos colat(i)+sin M(i).sin colat(i).Cos AR(i) Cos AR(i)=(sin lat(départ) - cos M(i).sin lat(i)) / (sin M(i).cos lat(i) 72 Navigation orthodromique : route composite 73 Navig Ortho : Route composite • L’on détermine un latitude maximum (ex N60°) • L’on pourrait imaginer suivre la route orthodromique « normale » et une fois à 60°, naviguer plein EstWest et puis repi quer plus tard sur le point d’arrivée mais cela allonge inutilement la route. • L’on va suivre une première route orthodromique [Départ-Vx1] dont Vx1 sera le vertex à une latitude égale à la latitude limite. • L’on va calculer une seconde route orthodromique [Vx2-Arrivée] dont Vx2 sera le vertex à une latitude égale à la latitude limite • L’on suivra le parallèle entre les deux vertex. • Comme Vx1 et Vx2 sont des vertex, l’on peut utiliser les formules des triangles rectangles sphériques (où il suffit de connaître deux éléments pour obtenir la résolution : colatitude des point de départ et d’arrivée et colatitude limite) 74 Calculer la route composite 75 Résoudre les triangles • Triangle I • • • Dist M1 = Arccos(sin latdépart/sin latlimite) ARDépart = Arcsin(coslatlim/cos latDépart) Dg Vx1 = Arccos(tg Latdépart / tg LatLim) • Triangle II • • • Distance M2 = Arccos(Sin latarrivée sin latlimite) ARArrivée = Arcsin(cos latlimite / cos latarrivée) Dg(Vx2) = Arccos(tg latlimite / tg latarrivée) • Navigation sur le parallèle • Dist (Vx1-Vx2) = Dg(Vx1, Vx2) . Cos latlimite • Distance totale = M1 + M3 + M2 76 Exercice LMB- 20 • • • • • • • Date : 01AUG1994 Heure T : 22h00 Vitesse : 06.0 Kts Départ : S 41°00.0’ - E 175°00.0’ Arrivée : S 33°00.0’ - W 071°30.0’ • • • • • • • • • • • Distance Orthodromique 5,038.62 Nm (83°58.6’) AR(départ) S 50°39.5’ E Position du vertex S 57°17.4’ - W 133°40.3 Distance et cap loxodromique 5,473.99 Nm, Rv= 084,96° Latitude au points de longitude W090°--> S 45°10.7’ W110°--> S 51°52.4’ W130°--> S 54°14.0’ 77 Résolution Exercice LMB-20 • Calcul de la distance • • • • Cos a=cos b.cos c + sin b.sin c.Cos A Cos M=cos colat_arr.cos colat_dep+ sin colat_arr.sin colat_dep.Cos Dg Cos M=sin lat_arr.sin lat_dep+ cos lat_arr.cos lat_dep.Cos Dg M=Arccos(sin -33.sin - 41+ cos - 33.cos - 41.Cos 113.5) x 60 • Angle de Route au départ • • • • Cos colat_arr = Cos M.Cos colat_dep + Sin M.Sin colat_dep.Cos AR_départ Sin lat_arr = Cos M.Sin lat_dep + Sin M.Cos lat_dep.Cos AR_départ Cos AR_départ = (Sin lat_arr - Cos M.Sin lat_dep)/(Sin M.Cos lat_dep) AR_départ = ArcCos((Sin - 33 - Cos 86°56.8’.Sin - 41)/ (Sin 86°56.8’.Cos - 41)) • Angle de Route à l’arrivée • • • • Cos colat_dep = Cos M.Cos colat_arr + Sin M.Sin colat_arr.Cos AR_arrivée Sin lat_dep = Cos M.Sin lat_arr + Sin M.Cos lat_arr.Cos AR_arrivée Cos AR_arrivée = (Sin lat_dep - Cos M.Sin lat_arr)/(Sin M.Cos lat_arr) AR_arrivée = ArcCos((Sin - 41 - Cos 86°56.8’.Sin - 33) /(Sin 86°56.8’.Cos - 33)) 78 Exercice LMB - 21 • • • • • • • Date : 03Jan1994 Heure T : 14h30 Vitesse 7 kts Départ : N 48°30.0’ - W 005°10.0’ Arrivée : S 22°00.0’ - W 040°40.0’ • • • • • Distance orthodromique 4,638.85 NM AR(départ) S 33°29,0’ W Position du vertex • N 68°33.5’ - E 058°28.7’ • • • • • • • • Latitude à W 010°--> N 43°02.9 Angle de route à W 020°--> S 024.21°W Distance restant à courir à W 030°--> 1,673.64 NM Distance et cap loxodromique 4,650.03 Nm, Rv = S 024.54°W 79 Navigation Astronomique Méridienne Droites de hauteur Amplitude Polaris Les Ephémérides GHA LHA Déclinaison Equation du temps Passage au méridien Nautical Almanach • Donne pour chaque heure ronde (hh:00) UT : – le GHA – la déclinaison • Utiliser les pages jaunes pour l’heure exacte de la visée (mm:ss) – Correction v : planètes & lune --> GHA – Correction d : Soleil, planètes & lune --> déclinaison 82 NA : Etoiles & Planètes, Soleil & Lune 83 NA : Increments & Corrections 84 Le temps L’heure UT L’heure ZT Passage UT ZT Le temps • • • • • • • • • • Soleil vrai, soleil moyen, équation du temps εt = Heure soleilvrai – Heure soleilmoyen εt maximum : 16m 24 s GMT : Heure du soleil moyen à Greenwich ZT (Zone Time) : heure du soleil moyen par rapport à un méridien de référence (ts les 15°) ZD (Zone description) : Numéro du fuseau ZD = Entier [ ( Longitude + 7.5)/15] (Est < 0, West > 0) GMT = ZT + ZD LMT : heure du soleil moyen au méridien de l’observateur GMT = LMT + longitude/15 (long Est > 0, long West < 0) Temps Sideral : par rapport à une étoile (pas le soleil!) écart ≈ 4 minutes 86 Heure locale → Heure UT • GMT= ZT + ZD – ZD = ent((g+7.5)/15) • GMT = LMT + longitude/15 – Avec longitude EST > 0, WEST <0 • Si le résultat > 24h, retirer 24h et ajouter un jour. • Si le résultat < 0, ajouter 24h et retirer un jour. 87 ZONE TIMES 88 Ligne de changement de date • Antiméridien de Greenwich (180°) Vers l’est : de D à D - 1 Est West Vers l’West : de D à D + 1 Cf. Jules Vernes, Le tour du monde en 80 jours 89 L’heure à bord • • • • • • • • Le chronomètre Utilisé pour les calculs de navigation astronomique Réglé sur GMT N’est JAMAIS remis à l’heure. L’on note sa marche et son état Marche : variation quotidienne Etat : différence entre Greenwich (M0) et le chronomètre (Mc) (≈ erreur cumulée). Une erreur de 4 secondes du chrono ⇒ erreur de 1 mile sur la position calculée. • • • • • • L’horloge de bord Utilisée pour rythmer les activités du bord (quarts, repas, etc.). Réglée sur la Zone time la plus proche. L’horloge est mise à jour tous les 15°de longitude. C’est l’heure que donnerait une station radio proche. Pas d’exigence d’exactitude. 90 Quelle heure utiliser dans le NA? • Date et heure à Greenwich si • • • • • • • 11:22:33 le 0902 à W 067°32’ (0902 16:22:33) 01:23:34 le 1303 à E 121°38’ (1503 17:23:34) 03:04:05 le 1907 à E 043°19’ (1907 00:04:05) 20:30:40 le 3110 à W 148°39’ (0111 06:30:40) Convertir les LMT en ZT 05:41 à W 013°42 (05:36) 11:58:41 à E 028°06’ (12:06:17) 91 92 93 Les corrections de hauteur du sextant 1. 2. 3. 4. 5. Collimation Dépression de l’horizon Réfraction Parallaxe Semi-diamètre L’erreur instrumentale hi --> ho • • • • Si le parallélisme des 2 miroirs du sextant était parfait, l'on verrait l'horizon direct et l'horizon réfléchi en coïncidence sur la même ligne lorsque l'alidade et le tambour sont sur 0. C'est rarement le cas et il faut tourner le tambour pour obtenir cette coïncidence. On lit alors le nombre de minutes sur le tambour. Si cette valeur est inférieure à 5 minutes, l'on ne modifie pas le réglage des miroirs mais l'on note cette valeur qui sera utilisée pour obtenir la hauteur observée (Ho). Cette valeur est la collimation. La collimation peut être positive (le tambour indique +3) ou négative (le tambour indique 55; la collimation est donc de 55-60 = -5). La correction à apporter aura la même valeur absolue mais sera de signe contraire : • Si ma collimation est de +3, je corrige avec –3 • Si ma collimation est de -5, je corrige avec +5 • Ho = Hi ± collimation 95 Erreur instrumentale --> correction (la collimation) 96 Corrections ho --> hv • • L'on peut regrouper les astres observés selon des caractéristiques communes : L'image du Soleil et de la Lune sont des surfaces avec un diamètre, à la différence de l'image des étoiles et des planètes qui se présentent comme des points, la Lune, Venus et Mars sont des astres proches de la Terre. Tous les astres sont vus au travers de notre horizon Terrestre et depuis la surface Terrestre et non pas depuis le centre de la Terre Ces corrections sont au nombre de 4 : Dépression de l'horizon : tous les astres Réfraction : tous les astres Parallaxe : les astres "proches" de la Terre (Lune, Mars, venus) Semi-Diamètre : le Soleil et la Lune. 97 98 La Dépression de l'horizon • • L'œil de l'observateur est situé à une certaine hauteur ce qui provoque un basculement de l'horizon. Ce basculement est proportionnel à la hauteur de l'observateur. Ce basculement augmente l'angle d'observation, la correction sera donc SOUSTRACTIVE. L'on voit que l'angle observé αO est plus important que l'angle réel αr. Cette correction est à appliquer dans tous les cas (Soleil, Lune, planètes, étoiles). 99 La Réfraction • • • Les rayons lumineux émis par l'astre sont réfractés lorsqu'ils traversent l'atmosphère. L'observateur mesure un angle plus important que l'angle réel. C'est donc une correction SOUSTRACTIVE L'angle de réfraction est d'autant plus important que l'astre est bas sur l'horizon. La réfraction est influencée par la pression atmosphérique et la température de l'air. • Cette correction est à appliquer dans tous les cas (Soleil, Lune, planètes, étoiles). 100 La parallaxe • Les calculs supposent que l'astre est vu depuis le centre de la Terre, or l'observateur se trouve à plus ou moins 6,370 km de ce point. La Lune, Venus et Mars étant proches de la Terre (0,368, 41, 78 millions de km), il faut corriger une erreur de parallaxe. L'angle observé depuis la surface Terrestre est inférieur à l'angle réel. La correction est donc ADDITIVE. • Cette correction est à appliquer pour la Lune, Vénus, Mars. 101 Le Semi-Diamètre • Les calculs supposent que l'on observe le centre de l'astre. Cela ne pose évidement pas de problème avec les astres ponctuels (planètes et étoiles). Lors de l'observation du Soleil ou de la Lune, l'on peut observer soit le bord supérieur (Upper Limb) ou le bord inférieur (Lower Limb). Le Soleil et la Lune présentent un diamètre d'approximativement un demidegré. L'observation du bord supérieur va donner un angle trop grand ( correction soustractive), l'observation du bord inférieur va donner un angle trop petit ( correction additive). 102 Les tables de corrections • • • • L'on peut trouver dans le Nautical Almanach une table qui regroupe les corrections à apporter au Soleil, Planètes et étoiles (A2/A3 -Sun-Stars, Planets Total Correction). Le Nories Nautical Tables offre également des tables de correction totale (Soleil, Etoiles). L'on peut y trouver aussi des tables de correction partielle (SemiDiamètre, Dépression horizon, Parallaxe, réfraction) Les tables de correction de la Lune sont les plus complexes : il faut corriger Dépression, réfraction mais il faut absolument corriger la parallaxe. Il faut donc entrer dans la table avec la hauteur de l'œil, la hauteur observée (corrigée de la collimation) et avec la parallaxe. Cette valeur est donnée pour chaque heure dans les éphémérides nautiques. 103 Tables de correction NA 104 Tables de correction NA : Lune • Correction HP (parallaxe horizontale) – Lire dans les éphémérides la valeur de la HP • Deux corrections : – Totale – Parallaxe • Bord supérieur (U) • Bord inférieur (L) 105 Tables de correction NNT Sun & Stars (planets) 106 Add to the observed altitude if the moon’s lower limb Tables de correction NNT Moon (Upper or Lower limb) Add to the observed altitude of the moon’s upper limb THEN SUBTRACT 30’ 107 Nautical Almanach : Étoiles & Planètes 108 Nautical Almanach : Soleil & Lune • • • • Équation du temps Passage au méridien Age de la lune Phase 109 NA : Lever, Coucher, Crépuscule 110 NA : Incréments & Corrections • ==> Pages Jaunes • Incrément (GHA) : hh.00 ==> hh.mm.ss • 3 colonnes : – Soleil & Planètes – Ariès => Étoiles – Lune • Corrections : – v => variation horaire du GHA (lune, planètes) – d => hh.00 ==> hh.mm 111 La Méridienne La mesure de la hauteur d’un astre à son zénith permet le calcul de la latitude Méridienne • La méridienne d’un astre donne la latitude • La hauteur de l’astre est mesurée au moment de sa culmination (=> soleil = au midi vrai). • Lat = Déclinaison + DistanceZénithale • Régles de signe : • Déclinaison : Nord >0, Sud <0 • Distance zénithale (dz=90°-h) • L’observateur tourne le dos au pôle • Nord : dz >0, Sud : dz<0 113 Méridienne : cas 1 & 2 Dz & dec >0 Dz > 0, dec <0 114 Méridienne : cas 3 Dec >0, dz <0 115 Méridienne : cas 4 • Passage au méridien inférieur • Concerne les astres circumpolaires (lat ≥ (90°- déc) • Lat = h + dp 116 Détermination de la latitude en mesurant la hauteur de Polaris Dans l’hémisphère Nord, la mesure de la hauteur de l’étoile Polaire permet après de petites correction la détermination de la latitude La latitude via Polaris • L’étoile Polaire est quasi juste au dessus du pôle Nord; en mesurant la hauteur de l’astre, moyennant quelques corrections, l’on détermine la latitude. • Les corrections sont au nombre de 3 • Correction a0 qui dépend du LHA d’Aries • Correction a1 qui dépend de la latitude (hauteur) • Correction a2 qui dépend du mois. • Les trois corrections sont disponibles dans le NA • Les trois corrections sont POSITIVES et il faut retirer 1°de la somme (hauteur vraie, corrections=) pour obtenir la latitude. • Possible uniquement dans l’hémisphère Nord 118 Amplitude L’amplitude du soleil permet de déterminer la variation du compas L’amplitude • L’amplitude est l’azimut du soleil à son lever ou à son coucher la hauteur de l’astre = 0° • Sin dec = sin h . sin lat + cos h . cos lat cos Z (h=0) • ⇒ sin dec = cos lat . cos Z • ⇒Cos Z = sin dec / cos lat • Les tables Nories donnent la valeur de l’amplitude. • L’azimut se compte à partir de 90°au lever et à part ir de 270° au coucher vers le Nord si la déclinaison est Nord et vers le sud si la déclinaison est Sud. • L’amplitude est utile pour déterminer la variation du compas en haute mer lorsque aucun amer n’est visible 120 Droite de hauteur Déterminer la hauteur calculée hc Calcul de l’Intercept (I=hv-hc) Calcul de l’azimut Déterminer la position estimée (PE) Déterminer la hauteur calculée 122 Calculer l’Intercept 123 Calculer l’Azimut 124 Déterminer le Point Déterminatif 125 Exercice 126 Canevas Mercator 127 Déterminer le point déterminatif sur le canevas Mercator 128 Naviguer avec les tables nautiques Traverse Tables (loxodromie) Meridional Parts (Navigation Mercator) Haversines Tables ABC Tables Nories • • • • • • • • • • Tables Traverses (⇒ Navigation estimée) Meridional Parts (⇒ Navigation Mercator) log(x)+log(y) Logarithms : x . y ⇒ 10 Logs of Trig. Functions : permet la multiplication de fonctions trigonométriques via leur logarithme Haversines : Hav(α) = (1-cos α)/2, toujours positif (Log & Nat) L’utilisation des haversines permet la résolution des problèmes de navigation astronomique (hc) et orthodromique (distance ortho) grâce à des canevas où il n’y a que des additions. Natural Functions of Angles (Sines, Cosines, Tangents, Cosecants, Secants, Cotangents). Tables ABC : Azimut d’un astre (Z) en navigation astronomique et Angle de Route (AR) en navigation orthodromique en ne faisant que des additions. Tables de correction : Sun, Star, Moon Conversion Arc to Time 130 NNT : Traverse Table 131 NNT : Meridional Parts 132 NNT : Logs of Trig Functions 133 NNT : Haversines 134 NTT : Tables ABC 135 Extraction de la formule des haversines • • • • • • • • • • • • Formule fondamentale : Cos A = (cos a – cos b . cos c) / (sin b . sin c) 11- Cos A = 1 – (cos a – cos b . cos c) / (sin b . sin c) Ver A = (sin b . sin c – cos b . cos c –cos a) / (sin b . sin c) Ver A . sin b . sin c = sin b . sin c – cos b . cos c –cos a comme sin b . sin c – cos b . cos c ≡ cos (b ∼ c), alors Ver A . sin b . sin c = cos (b ∼ c) – cos a -cos(b-c) + Ver A . sin b . sin c = - cos a commutativité de l’égalité -cos a = - cos(b ∼ c) + Ver A . sin b . sin c en ajoutant 1 aux deux membres 1-cos a = 1-cos(b ∼ c) + ver A . sin b . sin c 1 – cos α = Ver α Ver a = Ver (b ∼ c) + ver A . sin b . sin c en divisant les 2 membres par 2 • hav(a) = hav(b ∼ c) + hav(A) . sin b . sin c 136 La formule haversine en Navig Astro • on cherche hc ou dz • on connaît dec (∆P) , latitude (colat) et LHA • LHA est opposé à dz • hav(dz) = hav(dec lat)+ hav(LHA).cos dec.cos lat • A résoudre via les logarithmes 137 Canevas hauteur calculée via haversines • hav(dz) = hav(dec • • • • • • • • lat)+ hav(LHA).cos dec.cos lat Log cos (Lat) : ……………. Log cos (deg) : ……………. Log Hav(LHA) : ……………. Σ Log A : ……………. A : ……………. Hav (dec lat) : ……………. Σ Hav (Z) : ……………. Dz : ……………. Hc 138 La formule haversine en Navig Ortho • on cherche MOrtho • on connaît (co)lat de départ et d’arrivée et Dg • Dg est opposé à MOrtho • hav(M) = hav(Ld La)+ hav(Dg).cos Ld.cos La • A résoudre via les logarithmes 139 Canevas Distance ortho via haversines • hav(Mo) = hav(La • • • • • • • • LD)+ hav(Dg).cos La.cos Ld Log cos (Ld) : ……………. Log cos (La) : ……………. Log Hav(Dg) : ……………. Σ Log A : ……………. A : ……………. Hav (La ld) : ……………. Σ Hav (Mo) : ……………. Mo : ……………. 140 Tables ABC 141 Annexes Liste réduite des ports Constellations Liste réduite ports 143 Constellations • • • • Bélier, Taureau, Gémaux Cancer, Lion, Vierge Balance, Scorpion, Sagittaire Capricorne, Verseau, Poissons • • Le bélier et le tareau sont gémaux • Le cancer et le lion sont vierges • Balancé, le scorpion s’agite Le capricorne verse de l’eau aux poissons. 144 ;-) 145 Résolution du triangle polaire rectangle Sont connus A’= 126°50’ et b’= 153°40’) Sont recherchés c’ et B’ Voir Dessin Sin Co-A’ = tg Co-c’ tg b’ Pour B’ : Cos A’ = tg b’ / tg c’ sin Co-B’ = cos Co-A’ .cos b’ tg c’ = tg b’ /Cos A’ B’= Arcos (Sin 126°50’ . cos 153° 40’) B’ = 135° 50.0’ Sin Co-B’ = cos Co-A’ cos b’ Pour c’ : Cos B’ = sin A’ cos b’ sin Co-A’ = tg Co-c’ . tg b’ c’ = Arctg (tg 153°40’/Cos 126° 50’) c’ = 39°36.6’ (c’<90°; vérifie la règle des quadrants (A & B > 90° ==> c< 90°) •Retour à l’énoncé 146 Rappels algèbre élémentaire Règles de priorité algébrique Résolution équations 1er degré Logarithmes Régles de priorité algébrique Les parenthèses 7 + 5³ 7 + 125 7 + 2 x 3² 7+2x9 7 + 18 5+3x9 5 + 27 (d'abord exécuter le produit, puis la somme) (5 + 3) x 9 8 x 9 ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Les puissances Les produits/quotients Les sommes/différences Utiliser des parenthèses pour modifier l'ordre des priorités algébriques 148 Utilisation des parenthèses • Prix par personne : 5 € + 9 € de frais de dossier Nous sommes 3 Prix total = 3 x 5 € + 9 € Prix total = 24 € Application règles normales de priorité pas de parenthèses • Prix par animal : 3 € Il y a 5 guépards et 9 éléphants Prix total = 3 x (5 + 9) Prix total = 42 € Modification régles normales de priorité paranthèses • Nous sommes 3, le voyage coûte 6 € mais chacun a une réduction de 2 € 3 x (6 – 2) = 12 € • Nous sommes 3, le voyage coûte 6 € et nous obtenons une réduction globale de 2 € 3 x 6 – 2 = 16 € 149 Bon usage des règles de priorité • • • • • 3 x 9 +5 5+3x9 9x3+5 5+9x3 Résoudre d'abord le produit 3 x 9 = 27 • Effectuer ensuite la somme 27 + 5 = 32 • Une mauvaise application des règles de priorité donnerait : • 3 x 9 + 5 = 32 • 5 + 3 x 9 = 72 Erreur • 9 x 3 + 5 = 32 • 5 + 9 x 3 = 42 Erreur 150 Equations du premier degré • • • a, b c, d, r ,s sont des coéfficient connus x, y sont les inconnues recherchées Régle : Les sommes changent de membre en inversant leur signe Les produits sont inversés en changeant de membre : numérateur dénominateur et dénominateur numérateur a + r.x = b r .x = b − a b−a x= r − a + r.x = b r .x = b + a b+a x= r a+ x =b r+s x =b−a r+s x = (b − a).(r + s ) 151 Mise en équation cos a = cos b. cos c + sin b. sin c. cos A cos a − cos b. cos c = sin b. sin c. cos A cos a − cos b. cos c = cos A sin b. sin c cos a − cos b. cos c A = Arc cos( ) sin b. sin c cos A = − cos B. cos C + sin B. sin C. cos a cos A + cos B. cos C = sin B. sin C. cos a cos A + cos B. cos C = cos a sin B. sin C cos A + cos B. cos C a = Arc cos( ) sin B. sin C 152