Géométrie

Université Joseph Fourier Année 2007-2008
LST Mathématiques DKMAT368
Géométrie
version du 26 août 2007

Table des matières
Introduction 1
1 Espaces affines 3
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Caractérisation en termes de barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Intersection, sous-espace engendré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Repères, équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Coordonnées barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Enveloppe convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Demi-espaces, régionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Complément : calcul barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Applications affines 17
2.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Caractérisation en termes de barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Image d’un sous-espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Expression dans un repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Le groupe affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Le groupe des homothéties-translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Projections, symétries, affinités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Espaces affines euclidiens 27
3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
i

Projection orthogonale sur un sous-espace affine . . . . . . . . . . . . . . . 28
Repères orthonormés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Réflexions, bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Cercles et sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Puissance d’un point par rapport à un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Axe radical de deux cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Faisceaux linéaires de cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Théorème de l’angle inscrit, cocyclicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Géométrie du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Médiatrices, cercle circonscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Hauteurs, orthocentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Bissectrices, cercles inscrit et exinscrits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Isométries 41
4.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Décomposition en produit de réflexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3 Classification des isométries planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4 Les isométries de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Antidéplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5 Groupe d’isométries conservant une figure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Coniques en géométrie euclidienne 51
5.1 Définition par foyer et directrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Définition bifocale des coniques à centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3 Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Représentation paramétrique des coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Dérivation vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Tangentes à la parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Tangentes aux coniques à centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Génération tangentielle des coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4 Ellipse et cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5 Hyperbole rapportée à ses asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.6 Réduction des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Recherche d’un centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Cas de la parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Coniques à centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 Applications des nombres complexes à la géométrie 63
6.1 Le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Définition et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Similitudes du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
ii

6.3 Homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
La sphère de Riemann b C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Le groupe des homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Effet sur les droites et les cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
A Rappels d’algèbre linéaire 70
A.1 Projections et symétries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
A.2 Transformations orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Le groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Orientation, déterminant d’une famille de nvecteurs . . . . . . . . . . . . 72
Le groupe orthogonal en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Le groupe orthogonal en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
A.3 Angles de vecteurs et de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Angles : première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Angles : seconde approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Angles dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
iii